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数系的扩充与复数的概念
7.1.1
学习目标
“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会，世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
一、数系的扩充
珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米
吐鲁番盆地大约比海平面低155米
整数
自然数
负整数
零
正整数
自然数集
整数集
等额分配问题
整数
自然数
负整数
正整数
零
分数
有理数
自然数集
整数集
有理数集
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1
1
有理数
整数
分数
自然数
负整数
正整数
零
无理数
实数
自然数集
整数集
有理数集
实数集
问题1：在自然数集中方程 有解吗？
问题2：在整数集中方程 有解吗？
问题3：在整数集中方程 有解吗？
自然数
整数
自然数
负整数
有理数
整数
分数
自然数
整数
自然数
负整数
有理数
整数
分数
问题4：在有理数集中方程 有解吗？
实数
有理数
无理数
问题5：在实数集中方程 有解吗？
没有实数根
二、复数的概念
我们已经知道：
对于一元二次方程 没有实数根
思考
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到有效解决？
引入一个新数：
满足
二、复数的概念
新数 叫做虚数单位，并规定：
（1）
（2）实数可以与 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律仍然成立
1777年 欧拉首次提出用 表示平方等于-1的新数
1801年 高斯系统使用了这个符号使之通行于世
二、复数的概念
形如 的数叫做复数，通常用字母 表示
全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母 表示
实部
虚部
其中 称为虚数单位
有理数
整数
分数
自然数
负整数
正整数
零
无理数
实数
自然数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
虚数
条件 数的类型
三、复数的分类
实数集 是复数集 的真子集
实数（ ）
虚数（ ）
纯虚数（ ）
非纯虚数（ ）
实数
实数0
虚数
纯虚数
纯虚数集
虚数集
复数集
实数集
四、复数相等的充要条件
注意：
五、例题分析
例1　
已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　)A．－3 B．3 C．－1 D．1
跟踪训练1　
若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　)A．2 B. C． D．－2
例2　
当m为何实数时，复数 是下列数？
(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数．
例3　
(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．
(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实数根，求实数a的值．
六、随堂演练
1．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(1＋ )i的实部与虚部分别是(　　)
A．1， B．1＋，0C．0,1＋ D．0，(1＋ )i
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－1 B．±1 C．1 D．－2
4．已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为________．
1,1
七、课堂小结
1.同学们本节课都学到什么知识？
2.用到什么思想方法？
方程思想
八、作业布置
必做：1.课本70页练习1,2,3题
2.练透187页基础巩固
选做：练透187页综合应用

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