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(共22张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
2023/3/18
第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图
学习目标：
P
A
B
A′
B′
O′
O
美术与数学,
一个属于艺术,一个属于科学,看似毫无关系
事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系,
在美术中,山川草木，实物、
生物栩栩如生，
平面画板上的图形画得如此富有立体感,原来遵循的是几何原理
将空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使它富有立体感，让我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这样的平面图形就叫做这个空间几何体直观图.
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.
直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.
问题 如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？
眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
斜二测画法
(1)正方体的每个面都是正方形，
但在直观图中有几个面画成正方形？
有几个面画成平行四边形？
(2)观察正方体的上底面，想一想应该如何来画水平放置的正方形的直观图？
观察正方体的直观图
在初中，我们已经学习过投影.
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.
水平放置的正方形的直观图
1. 水平方向线段长度不变;
2. 竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;
3. 平行线段仍然平行.
变化规则：
x'
y'
O'
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.
A
B
C
D
A'
B'
D'
① 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交
于点O.
x
y
O
画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45 (或135 )，它们确定的平面表示水平面.
C'
用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的步骤：
二测：画直观图时，已知图形中
平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半.
简记为：
【斜二测画法归纳】
横不变,纵折半,平行位置不改变
斜：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45 (或135 )
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
(1)建系时要尽量考虑图形的对称性；(2)关键是确定多边形顶点的位置．
画法：①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，
对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．
画对应的x′，y′轴，两轴相交于点O′，使∠ x′O y′=45°.
②以O′为中心，在x′上取A′D′=AD，在y轴上取
以点N′为中心，画B′C′∥x′轴，并等于BC，
再以M′为中心，画E′F′∥x′轴，并等于EF.
横不变,纵折半,平行位置不改变
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′ 并擦去辅助线x′轴和y′轴，
得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′
不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度
变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度
【总结】斜二测画法中“变”与“不变”
③
直角梯形的直观图
x′
y′
C′
x
y
A′
B′
D′
A
B
C
D
例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图
关于水平放置的圆的直观图非常像椭圆．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．
空间几何体的直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
画法:
(1)画轴. 画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O(A)，
使∠xOy=45 ，∠xOz=90 .
（2）画底面.
在x轴正半轴上取线段AB，使AB=4 cm；
在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1.5cm，
过点B作y轴的平行线，
过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
(3)画侧棱. 过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上
分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
思考 画棱柱的直观图大致可分几个步骤进行？
画轴
→
画底面
成图
→
画侧棱
→
(4)成图. 顺次连接A′，B′, C′, D′，整理（去掉辅助线，遮挡的部分改为虚线）
得到长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
分析：画组合体几何体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.
例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱, 上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.
本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.
解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.
P
A
B
A′
B′
O′
O
A
B
A′
B′
P
·
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，在借助圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆. 同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性.
课堂小结
1.直观图:直观图是把空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形．
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤:
(1)建系：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或),它们确定的平面表示水平面.
(2)平行不变：已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。
(3)长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.

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