资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 一元二次方程
【考情预测】
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右，预计2023年浙江各地中考还将继续考查上述的几个题型，为避免丢分,学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1、一元二次方程的概念
1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
2、一元二次方程的解法
1）直接开平方法：适合于或形式的方程．
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3）公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
3、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2）一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3）根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
4、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1）增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2）利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．
3）面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．
图1 图2 图3
4）碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m=n（n－1）
（2）不重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=n（n－1）
【重难点突破】
考点1. 一元二次方程及方程的解
【解题技巧】
紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
【典例精析】
例1.（2022·浙江·一模）若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是_____．
【答案】x2﹣x＝0（答案不唯一）
【分析】利用因式分解法求一元二次方程根的方法进行倒推即可，答案不唯一．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是1，则符合条件的一个一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0，整理得：x2﹣x＝0．故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，答案较为开放，符合题意即可，找到合适的方程是解题的关键．
例2.（2023·福建福州·统考一模）关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果．
【详解】解∵，当时，，∴该方程必有一个根是，故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江金华·统考一模）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－40
【答案】B
【分析】将a代入方程得到，再将其整体代入所求代数式即可得解．
【详解】∵a是方程的一个解，∴有，即，，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取．
变式2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根据题意有，即有，据此即可作答．
【详解】∵m为的根据，
∴，且m≠0，∴，
则有原式=，故选：B．
【点睛】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为得到是解答本题的关键．
变式3．（2023·福建南平·统考一模）写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据一元二次方程的定义，写出方程，即可求解．
【详解】解：此方程可以为． 故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
考点2. 解一元二次方程
【解题技巧】一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
直接开平方法 形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法 可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法 若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法 利用求根公式：
【典例精析】
例1.（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解：，，
，，故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
例2.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小敏：两边同除以，得，则．（×） 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．（×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵，∴，，
则，即，∴，，∴．故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
变式2．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．
【答案】或
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知：或，
∴或，故答案为：或．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，，
或，或，故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
考点3. 换元法
【典例精析】
例1．（2022·浙江台州·统考二模）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
【答案】或##或
【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
【详解】解：一元二次方程的解为，，
，解得，一元二次方程可化为，
，，解得，．
一元二次方程的解为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解．
例2.（2023·浙江台州·中考模拟）阅读下面的材料， 回答问题： 解方程+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ， 那么， 于是原方程可变为（1）， 解得 ，
当 时， ；
当 时， ；
原方程有四个根： ．
在由原方程得到方程（1）的过程中， 利用换元法达到降次的目的， 体现了数学的转化思想．
（1）试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ．
（2）解方程 ．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设，则有，然后方程变为，进而求解即可；
（2）设，则有，然后方程变为，进而求解即可．
【详解】解：（1）设，则有，
∴原方程可变为，解得：（不符合题意，舍去），
∴，∴，∴原方程的解为；
故答案为；
（2）设，则有，∴原方程可变为，
解得：，∴或，
当时，解得：；
当时，则有，故方程无解；
∴综上所述：原方程的解为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法进行求解方程是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2020·湖北荆州市·中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
【答案】，．
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
【详解】续解：，，
解得，（不合题意，舍去），，
，，，经检验都是方程的解．
【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
变式2．（2023·云南昆明·一模）已知，则的值为__________．
【答案】１
【分析】设 ，原方程化为关于t的方程，解该方程求得t即的值
【详解】解：设 ，由原方程得，
解得，或（舍去）所以， 故答案为：1
【点睛】本题考查了换元法解方程.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理
变式3．（2020·湖北随州市·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，代入即可得出答案．
【详解】∵，∴，，
∴=====，
∵，且，∴，∴原式=，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
考点4.一元二次方程根的判别式
【解题技巧】
对于方程，，①若，方程有两个不相等的实数根；②若，方程有两个相等的实数根；③若，方程没有实数根．
【典例精析】
例1．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根
∴ 解得 故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
例2.（2022·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．
【详解】解：
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
【变式训练】
变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根
【答案】B
【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程，
∵，∴此方程有两个不相等的实数根．故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
变式2．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，解得：a＞-1且a≠0，故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
变式3．（2022·辽宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．9 C．6 D．
【答案】B
【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，建立方程，再解方程即可．
【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴ 解得： 故选B
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系，解题的关键是掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
考点5. 根与系数关系
【解题技巧】
设一元二次方程的两根分别为，，则，．
【典例精析】
例1.（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【答案】A
【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,
∴,∴ ∵是方程的两个实数根,
∵，又∴
把代入整理得,解得, 故选A
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．
例2.6．（2022·浙江杭州·校联考一模）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）
A．方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0
C．若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程
D．若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程
【答案】B
【分析】通过解一元二次方程可对A进行判断；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用2m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断．
【详解】A. 解方程 3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A选项的说法正确但不符合题意；
B. 解方程得x1=2，x2=-，当 =2×2，4m+n=0；当 =×2，则m+n=0所以B选项的说法错误符合题意；C. 解方程得x1=2，x2= ，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法正确但不符合题意；
D. 解方程得x1= m，x2=n，而2m+n=0，即n= 2m，所以x1=2x2，所以D选项的说法正确但不符合题意．
故本题选B．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知识点是解答本题关键.
【变式训练】
变式1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A． B． C．或3 D．或3
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系以及求解即可．
【详解】解：由题意可知：，且
∵，∴，解得：或，
∵，即，∴，故选：A
【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
变式2．（2022·宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=10，故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出s-t的值，然后将进行变形求解即可．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．故答案为：；．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，∴
(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，
∵
∴或，当时，，
当时，，综上分析可知，的值为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出或，是解答本题的关键．
考点6. 一元二次方程在实际问题中的应用
【解题技巧】
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．
【典例精析】
例1．（2022·重庆·中考真题）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x） 棵，再根据题意列出方程即可．
【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x） 棵，根据题意列出方程：．故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．
例2．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】设有x支队伍，根据题意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
例3．（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，解得：，∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)解：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去）
∴，∴的值20；
(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x 1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x 1）文，依题意得：3（x 1）x＝6210，故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式2．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【答案】
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
变式3．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【答案】(1)2022(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
(1)，故答案为：2022；
(2)根据题意有：，整理得：，
解得n=9，（负值舍去），故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
考点7. 配方的运用
【典例精析】
例1. （2023·浙江·中考模拟）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于_____．
【答案】
【分析】由可得再代入，再利用配方法配方，从而可得答案.
【详解】解： ，
所以的最小值是 故答案为：
【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.
例2.（2021·浙江·二模）已知a、b满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　）
A．x≤y B．x≥y C．x＞y D．x＜y
【答案】C
【分析】用x减去y，对x和y分别配方，利用偶次方的非负性，可判断x-y的正负，从而问题得解．
【详解】∵x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a）
∴x﹣y＝a2+b2+21﹣4（2b﹣a）＝a2+b2+21﹣8b+4a＝（a+2）2+（b﹣4）2+1
∵（a+2）2≥0，（b﹣4）2≥0∴x﹣y＞0∴x＞y故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在代数式比较大小中的应用，掌握求差法及配方法，是解答本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2023·河北·九年级专题练习）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
【答案】1，-2；11，9；证明见解析
【分析】把a＝0与a＝2代入代数式进行计算可得代数式的值，再利用作差的方法比较A，B的大小.
【详解】解：当a＝0时，A＝1，B＝-2．
当a＝2时，A＝
B＝．
此时都有
嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．理由如下：
而 则
即
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，同时考查了配方法的应用，熟练的利用配方法判断一个代数式的值的范围是解本题的关键.
变式2． （2022·浙江·中考模拟）关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】①将代入计算验证即可；②根据题意=2，解得a的值即可作出判断；③若a＞-2，则a+2＞0，则对配方，利用偶次方的非负性可得答案．
【详解】解：①当时，．故①正确；
②若值为2，则，∴a2+2a+1=2a+4，∴a2=3，∴．故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，∴==
=≥0．∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．故③正确．
综上，正确的有①③．故选：C．
【点睛】本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6
∵∴的最小值6答案为：6．
【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
变式4．（2022秋·广东·九年级专题练习）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵ ∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【答案】(1)-2(2)当时，有最大值(3)证明见详解
【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）由题中所给方法可得，然后问题可求解；
（3）由题意可得，进而问题可求解．
(1)解：由题意得：，
∵∴∴当时，有最小值．
(2)解：由题意得：，
∵∴
∴当时，有最大值．
(3)解：由题意得：
==；
∵∴，
∴无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
【点睛】本题主要考查配方法的应用及完全平方公式，熟练掌握配方法及完全平方公式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 一元二次方程
【考情预测】
本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右，预计2023年浙江各地中考还将继续考查上述的几个题型，为避免丢分,学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1、一元二次方程的概念
1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
2、一元二次方程的解法
1）直接开平方法：适合于或形式的方程．
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3）公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
3、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2）一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3）根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
4、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1）增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2）利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．
3）面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．
图1 图2 图3
4）碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m=n（n－1）
（2）不重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.
∴m=n（n－1）
【重难点突破】
考点1. 一元二次方程及方程的解
【解题技巧】
紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。
【典例精析】
例1.（2022·浙江·一模）若x＝1是关于x的一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是_____．
例2.（2023·福建福州·统考一模）关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江金华·统考一模）已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－40
变式2．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
变式3．（2023·福建南平·统考一模）写出一个关于x的一元二次方程，此方程可以为_______．
考点2. 解一元二次方程
【解题技巧】一元二次方程的常见解法及适用情形：
一般形式：
直接开平方法 形如的方程，可直接开方求解，则，
因式分解法 可化为的方程，用因式分解法求解，则，
配方法 若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为，再直接开方求解
公式法 利用求根公式：
【典例精析】
例1.（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【变式训练】
变式1．（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
变式2．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根是_________．
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
考点3. 换元法
【典例精析】
例1．（2022·浙江台州·统考二模）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
例2.（2023·浙江台州·中考模拟）阅读下面的材料， 回答问题： 解方程+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 ， 那么， 于是原方程可变为（1）， 解得 ，
当 时， ；
当 时， ；
原方程有四个根： ．
在由原方程得到方程（1）的过程中， 利用换元法达到降次的目的， 体现了数学的转化思想．
（1）试用上述方法解方程： ，得原方程的解为 ．
（2）解方程 ．
【变式训练】
变式1．（2020·湖北荆州市·中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
变式2．（2023·云南昆明·一模）已知，则的值为__________．
变式3．（2020·湖北随州市·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点4.一元二次方程根的判别式
【解题技巧】
对于方程，，①若，方程有两个不相等的实数根；②若，方程有两个相等的实数根；③若，方程没有实数根．
【典例精析】
例1．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B． C．9 D．
例2.（2022·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
【变式训练】
变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根
变式2．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
变式3．（2022·辽宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A．36 B．9 C．6 D．
考点5. 根与系数关系
【解题技巧】
设一元二次方程的两根分别为，，则，．
【典例精析】
例1.（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
例2．（2022·浙江杭州·校联考一模）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）
A．方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0
C．若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程
D．若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程
【变式训练】
变式1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ）
A． B． C．或3 D．或3
变式2．（2022·宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
考点6. 一元二次方程在实际问题中的应用
【解题技巧】
列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．
【典例精析】
例1．（2022·重庆·中考真题）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
例3．（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【变式训练】
变式1．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·青海·中考真题）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
变式3．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
考点7. 配方的运用
【典例精析】
例1. （2023·浙江·中考模拟）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于_____．
例2.（2021·浙江·二模）已知a、b满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y的大小关系是（　　）
A．x≤y B．x≥y C．x＞y D．x＜y
【变式训练】
变式1．（2023·河北·九年级专题练习）已知：A、B是两个整式，A＝3a2﹣a+1，B＝2a2+a﹣2．
尝试当a＝0时，A＝______，B＝______．
当a＝2时，A＝______，B＝______．
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A＞B始终成立．
验证 请证明嘉淇猜测的结论．
变式2． （2022·浙江·中考模拟）关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
变式3．（2022·四川凉山·中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
变式4．（2022秋·广东·九年级专题练习）我们可以用以下方法求代数式的最小值．
∵ ∴
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x的值；
(3)求证：无论x和y取任何实数，代数式的值都是正数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 一元二次方程
【考场演练1】热点必刷
1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若是关于的一元二次方程的解，则的值等于( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
【答案】A
【分析】将x=1代入原方程即可求出答案．
【详解】解：将x=1代入原方程可得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，
∴=2(a+2b)=2×(-1)=-2，故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
2．（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【答案】A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵Δ＝（ 5）2 4×2×6＝-23＜0，∴方程无实数根．故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2 4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
3．（2022·浙江宁波·校联考一模）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】形如的方程叫一元二次方程，根据定义分别判断，即可解答．
【详解】解：A、是二元一次方程，故该选项错误，不符合题意；
B、是分式方程，故该选项错误，不符合题意；
C、由得，是一元一次方程，故该选项错误，不符合题意；
D、由得，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；熟练掌握定义是解题关键．
4．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【详解】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．
【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
5．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，解得：m=，故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1 x2=是解题的关键．
6．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【详解】x+1+（x+1）x=81整理得，（1+x）2=81．故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
7．（2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【详解】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键．
8．（2020·江苏南京市·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】解：，整理得：，
∴，∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为、，∵，∴两个异号，而且负根的绝对值大．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系：，
9．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（　　）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
【答案】C
【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．
【详解】A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．
10．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
11．（2022·辽宁营口·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由关于x的一元二次方程有两个实数根，可得，求解即可．
【详解】关于x的一元二次方程有两个实数根，
，解得，故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
12．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
【答案】30%
【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，
依题意得100（1+x）2=169，
解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），
∴x=0.3=30%，故答案为：30%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
14．（2021·湖北十堰市·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
【答案】或2
【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】解：根据新定义内容可得：，
整理可得，解得，，故答案为：或2．
【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
15．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
【答案】8或9
【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，
因此有，解得，则方程为，解得另一个根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，
因此，根的判别式，解得，则方程为，解得方程的根为，
此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；
16．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为，则根据题意列出的方程是______．
【答案】
【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x，
∴八月份的营业额为万元，
∴九月份营业额为万元，
∴可列方程为，
故答案为：．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
17．（2021·四川成都·二模）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__．
【答案】2020
【分析】由于m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，并且m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．
【详解】解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）
＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝2+2019﹣1
＝2020，
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和正确计算．
18．（2022·湖南常德·中考真题）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数解，
∴解得：故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
19.（2023 余姚市一模）若是一元二次方程（且）的一个根，则的值为________．
【答案】5
【分析】方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值．同时注意根据分式的基本性质化简分式．
【详解】解：∵x=-1是一元二次方程ax2+bx-10=0的一个解，∴a-b-10=0，∴a-b=10．
∵a≠-b，∴a+b≠0，∴=5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，得到a-b的值，首先把所求的分式进行化简，并且本题利用了整体代入思想．
20. （2023·浙江·中考模拟）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
【答案】或1
【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为，根据一一对应的原则求得b、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．
【详解】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，
又由题意得：，∴解得：
∴，∴，，∴由求根公式得：，
则原方程所有的解为： 或1，故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的值．
21．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）根据根的判别式，即可判断；（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【解析】(1)，
∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，
∵，∴，∴，解得：，，
∴，即．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
22．（2021·山东菏泽市·中考真题）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
【答案】27元．
【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
【详解】解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，
整理得， 或，
要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克27元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（2022·福建福州·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况．
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根
(2)或
【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴是腰长，是方程的一个根，
∴，整理，得：，
解得：或，
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长；
当时，，
解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．
24．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x 1=0；移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2 3x=0；因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3；
③x2 4x=4；配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，∴x1=2+，x2=2-；
④x2 4=0．因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，解得x1=-2，x2=2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·重庆·校考一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴ ∴ ，故③错误；
④整理得：∴
∵整数解∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；综上所述，结论正确的有②；故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
2．（2023·湖北·校联考一模）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【详解】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．∴．故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．（2022·广东深圳·校考模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
【答案】A
【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案．
【详解】解：∵∴∴
设t＝|x﹣3|，则原方程变形为，所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，∴方程有一正根和负根，
∴ 解得k＞﹣9，∴k的取值范围是k＞﹣9．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键．
4．（2023·安徽·中考模拟）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，把代入得：，即方程的一个解是，
把代入得：，即方程的一个解是；故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
5．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：，
解得：（舍去），故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
6．（2022·山东滨州·统考三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，解得：，∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
7．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．3 D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入求解即可
【详解】解：∵实数满足，
∴、是方程的两个根，∴，
∴
∵，且，∴的最小值是，故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
8．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关系得出x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，，然后根据，得出m-1<0，n>0，即可求解．
【详解】解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1-m）x+n=0，
∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根． ∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，
∵，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m-1<0，n>0，∴m<1，n>0，故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“，是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x1+x2=-，x1x2=”是解题的关键．
9．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
10．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
【答案】
【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，
∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，
∴a+b=4，ab=3，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11．（2022·福建福州·统考二模）若，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】由，得，代入中得关于n的二次三项式，配方即可求得最小值．
【详解】由，得
∴
∴的最小值是 1
故答案为： 1
【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是把m用n的代数式表示并代入，然后配方．
12．（2023·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．
综合（1）（2），可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为 _____．
【答案】，
【分析】仿照范例，可以设，则原方程化为一元二次方程：，先解出y的值，再进一步解出x的值．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
解得：y1＝3，y2＝﹣2，
（1）当y＝3时，x2＝3，解得x1＝，x2＝，
（2）当y＝﹣2．时，x2＝﹣2，此方程无实数根，
综合（1）（2），可得原方程的解是：x1＝，x2＝，
故答案为：x1＝，x2＝
【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
13．（2022·山东济南·校考模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
【答案】 B车 2
【分析】（1）由已知行驶的距离x与行驶时间t的函数关系可表示出速度与时间的关系式，比较刚离开时即时，两车的速度大小即可得到答案；（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B速度的时刻，列出方程求解即可．
【详解】（1）由已知得，A车的速度与时间关系式为，B车的速度与时间关系式为
它们刚离开出发点时，B车速度大于A车速度（时，）
行驶在前面的一辆车是B车 故答案为：B车
（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B车速度的时刻
，即解得或（舍去）故答案为：2
【点睛】本题考查变速运动中运动距离与速度的关系，解题的关键是由已知的行驶的距离x与行驶时间t关系式求出速度与时间的关系式．
14．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则实数a的值是______．
【答案】或
【分析】先根据根与系数的关系得到，再根据完全平方公式得到，再根据已知条件得到，解方程即可．
【详解】解：∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，解得或，
∵，
∴当或都满足判别式大于0，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，正确得到是解题的关键．
15．（2022秋·九年级课时练习）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
【答案】
【分析】先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】解：，
,
解得，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
16．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
【答案】
【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m n<1＜m+n即可求得k的取值范围．
【详解】解：由题意得：， ∴
设的两根分别是、；则，；∴；
根据三角形三边关系定理，得：，即；
，解得．故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键．
17．（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
【答案】（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．
【分析】（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，
解得，， 答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．
（2）根据题意得，，
解得，（舍去），，答：a的值为8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．
18．（2022秋·福建南平·九年级统考阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为解得，当时，即，解得：；当时，即解得：，所以原方程的解：
请利用这种方法求方程的解
【答案】x1＝ 1，x2＝
【分析】先设2x＋5＝y，则方程即可变形为y2 7y＋12＝0，解方程即可求得y即（2x＋5）的值．
【详解】解：设2x＋5＝y，则原方程可化为y2 7y＋12＝0，
所以 （y 3）（y 4）＝0解得y1＝3，y2＝4．
当y＝3时，即2x＋5＝3，解得x＝ 1；
当y＝4时，即2x＋5＝4，解得x＝ ，
所以原方程的解为：x1＝ 1，x2＝ ．
【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
19．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程变为（t＋3）（t 3）＝27，解出一元二次方程即可；
（2）设a2＋b2＝t，则原方程变为t（t 4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，，可求a2＋b2＝5，再由直角三角形的性质可得c＝，即可求解．
【详解】解：（1）设2x2＋2y2＝t，则原方程可变为（t＋3）（t﹣3）＝27，解得：t＝±6，
∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6，∴x2＋y2＝3；
（2）（a2＋b2）（a2＋b2﹣4）＝5，
设a2＋b2＝t，则原方程可变为t（t﹣4）＝5，
即t2﹣4t﹣5＝0，解得t1＝5，t2＝﹣1，
∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝5，∴c2＝5，∴c＝，∴外接圆的半径为．
【点睛】本题考查因式分解的应用，一元二次方程的解法，直角三角形的性质；能够将换元法灵活应用，结合直角三角形外接圆的特点解题是关键．
20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：方程的解为_______________________；
(2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，(2)或(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵，∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，∴即，∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，故．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
21．（2022·湖南长沙·校考三模）已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．
(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）
① ② ③
(2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值．
(3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时．
①试求出m的取值范围．②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)② (2)当时，；当时，
(3)①或；②
【分析】（1）分别求出三个方程的根，根据“灵粹二次方程”的定义进行判断即可；
（2）先将t当作已知数，解一元二次方程，得出，，根据此方程是“灵粹二次方程”，得出或，解得或，然后分别求出一元二次方程的最大值即可；
（3）①先求出点A、B、C的坐标，然后分或两种情况，列出关于m的不等式组，然后解不等式组即可；
②根据m为整数，先求出m的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系，求出b、c的值，即可得出一元二次方程．
(1)解：，
∵，∴此方程无解，不是“灵粹二次方程”；
，解方程得：，，
∵，∴此方程是“灵粹二次方程”；
，解方程得：，
∵，∴此方程不是“灵粹二次方程”；
综上分析可知，是“灵粹二次方程”的为②．故答案为：②．
(2)解一元二次方程得：，，
∵是“灵粹二次方程”，
∴或，解得：或，
当时，函数
∴函数的对称轴为直线， ∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当或时，函数最大，此时最大值为：
；
当时，函数
∴函数的对称轴为直线，∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当时，函数最大，此时最大值为：；
综上分析可知，当时，；当时，．
(3)①联立，解得：，∴点A的坐标为：，
把分别代入和得：和，
解得：和，
∴点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1,0），
直线AB的解析式为：，直线AC的解析式为
当时，∵D点坐标为（m，n），∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，解得：；
当时，∵D点坐标为（m，n），∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，解得：；
综上分析可知，m的取值范围是：或；
②存在；∵m为整数，∴当时，，
∴此时，解得：，“灵粹二次方程”的二次项系数a=1，
∴，即，，
∴，∴该“灵粹二次方程”；
当时，没有符合条件的值，不存在“灵粹二次方程”；
综上分析可知，该“灵粹二次方程”为．
【点睛】本题是一道新定义类题目，求二次函数的最值，解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法，理解新定义，是解题的关键．
22．（2022·北京海淀·校考模拟预测）已知关于x的方程．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根(2)若此方程的两个根分别为，其中，若，求m的值．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立；（2）利用分解因式法得出方程的根，结合、即可得出关于m的一元一次方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2），即，解得：．
∵，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．
23．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的，而第三周草莓的销售总额为元，求a的值．
【答案】(1)60；(2)5．
【分析】（1）设第一周草莓销售单价是每千克元，第二周草莓销售单价是每千克元，然后根据题意，列出关于的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据第三周草莓的销售总额为元，列出关于的一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：设第一周草莓销售单价是每千克元，第二周草莓销售单价是每千克元，
根据题意，得，解得，
答：第二周草莓销售单价是每千克60元；
（2）解：根据题意，3月份第三周的销售单价是60元/千克，
3月份第三周的销售量为千克，
其中会员购买的销量为：千克，非会员购买的销量为：千克；
第三周草莓的销售总额为元，
，整理，得，
或（不符合题意，舍去），a的值为5．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意准确列出二元一次方程组和一元二次方程．
24．（2022·四川南充·模拟预测）已知关于的方程．
(1)当取什么值时，一元二次方程没有实数根？
(2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方．
【答案】(1)； (2)取，可得这两个实数根的差的平方为12．
【分析】（1）利用根的判别式即可求出m的取值范围；
（2）求出方程有根时，m的取值范围，再利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：方程中，
若一元二次方程没有实数根，则，解的：．
（2）解： 令，解得：，即当是方程有两个根，
取代入可得方程为：
设方程的两根为：，，则，，
∵∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握并理解根的判别式，熟记根与系数的关系．
25．（2022·广东东莞·校考二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若抛物线与x轴相交于A、B两点，当OA+OB=5时，求k的值．
【答案】(1)见解析 (2)k的值为-3或k=2．
【分析】（1）先根据判别式的值得到Δ=1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先解方程，求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据OA+OB=5得出|k|+|k+1|=5，再根据绝对值的意义取绝对值求k的值即可．
（1）证明：∵＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由，解得：=k，=k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），∵OA+OB=5，∴|k|+|k+1|=5，
①当k＜-1时，|k|+|k+1|=5整理得-k-（k+1）=5，解得：k=-3；
②当-1≤k＜0时，|k|+|k+1|=5整理-k+k+1=5，此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|=5整理为k+k+1=5，解得：k=2．
综上所述，k的值为-3或k=2．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点和绝对值的意义，解题关键是求出一元二次方程的两个根．
25.（2022·重庆中考模拟）知识储备
在求二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的右边配方，得
y＝ax2+bx+c
＝a（x2+x）+c
＝a[x2+2 x+（）2﹣（）2]+c
＝a（x+）2+
∵a（x+）2≥0，
∴当x＝﹣时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值为．
解决问题
（1）请你通过配方求函数y＝x2+的最小值．（2）你能否通过配方求函数y＝x+（x＞0）的最小值．
数学模型
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【答案】（1）当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2；（2）当x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2；数学模型：该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
【分析】(1)根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值；
(2) 根据完全平方公式，进行配方得，即可得到最小值；数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），根据完全平方公式，进行配方得到y＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，即可求出答案．
【详解】（1）＝＝
∵，∴当x＝±1时，函数y＝x2+的最小值为2；
（2）y＝x+＝＝（）2+（）2﹣2+2＝（﹣）2+2，
∵（﹣）2≥0，∴当﹣＝0时，即x＝1时，y＝x+（x＞0）的最小值为2；
数学模型：设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0），
y＝2（x+）＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，
当﹣＝0时，即x＝，y有最大值4，
∴该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
【点睛】本题主要考查对完全平方公式，二次函数的最值，配方法的应用，能熟练地运用学过的性质进行计算是解本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 一元二次方程
【考场演练1】热点必刷
1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若是关于的一元二次方程的解，则的值等于( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
2．（2022·山东滨州·中考真题）一元二次方程的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定
3．（2022·浙江宁波·校联考一模）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
5．（2021·湖北鄂州市·中考模拟）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
6．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
8．（2020·江苏南京市·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根
9．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（　　）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
10．（2022·重庆·中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·辽宁营口·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·浙江杭州·中考真题）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．
13．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
14．（2021·湖北十堰市·中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．
15．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
16．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为，则根据题意列出的方程是______．
17．（2021·四川成都·二模）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__．
18．（2022·湖南常德·中考真题）关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19.（2023 余姚市一模）若是一元二次方程（且）的一个根，则的值为________．
20. （2023·浙江·中考模拟）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
21．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
22．（2021·山东菏泽市·中考真题）列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
23．（2022·福建福州·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况．
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
24．（2022·贵州贵阳·中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x 1=0；②x2 3x=0；③x2 4x=4；④x2 4=0．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·重庆·校考一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·湖北·校联考一模）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·校考模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
4．（2023·安徽·中考模拟）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
6．（2022·山东滨州·统考三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（　　）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2018
7．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．3 D．0
8．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
10．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____．
11．（2022·福建福州·统考二模）若，则的最小值是__________．
12．（2023·全国·九年级专题练习）请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y1＝1，y2＝4．
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±．
综合（1）（2），可得原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．
参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为 _____．
13．（2022·山东济南·校考模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
14．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）已知m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则实数a的值是______．
15．（2022秋·九年级课时练习）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
16．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是___．
17．（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
18．（2022秋·福建南平·九年级统考阶段练习）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为解得，当时，即，解得：；当时，即解得：，所以原方程的解：
请利用这种方法求方程的解
19．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2＋n2＋1）（2m2＋n2－1）＝80，试求2m2＋n2的值．
解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为（t＋1）（t－1）＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，
所以t＝±9，因为2m2＋n2≥0，所以2m2＋n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y，满足（2x2＋2y2＋3）（2x2＋2y2－3）＝27，求x2＋y2的值；
（2）已知Rt△ACB的三边为a、b、c（c为斜边），其中a、b满足（a2＋b2）（a2＋b2－4）＝5，求Rt△ACB外接圆的半径．
20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：方程的解为_______________________；
(2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值．
21．（2022·湖南长沙·校考三模）已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．
(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）
① ② ③
(2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值．
(3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时．①试求出m的取值范围．②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．
22．（2022·北京海淀·校考模拟预测）已知关于x的方程．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根(2)若此方程的两个根分别为，其中，若，求m的值．
23．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元．(1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的，而第三周草莓的销售总额为元，求a的值．
24．（2022·四川南充·模拟预测）已知关于的方程．
(1)当取什么值时，一元二次方程没有实数根？
(2)对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的差的平方．
25．（2022·广东东莞·校考二模）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若抛物线与x轴相交于A、B两点，当OA+OB=5时，求k的值．
25.（2022·重庆中考模拟）知识储备
在求二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的右边配方，得
y＝ax2+bx+c＝a（x2+x）+c＝a[x2+2 x+（）2﹣（）2]+c＝a（x+）2+
∵a（x+）2≥0，∴当x＝﹣时，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值为．
解决问题：（1）请你通过配方求函数y＝x2+的最小值．（2）你能否通过配方求函数y＝x+（x＞0）的最小值．数学模型：已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑