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8.2立体图形的直观图
初中我们学习了三视图,它可以精确地描述一个空间几何体.那么我们如何在平面上很富有立体感地表示一个空间几何体呢 这就是这节课将要介绍的内容----空间几何体的直观图.
正六棱柱
正六边形
引入新课
观察下面几何体？
问题：
你为什么觉得它就是你认识的立体图形的？
你知道它们是怎样画出来的吗？
直观图又是如何定义的呢？
观察：矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？
眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里似乎并不是矩形的？
那是什么图形？
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图，这种画法叫做斜二测画法．
1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；
2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；
3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变．
投影规律
举例：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．
x
y
o
①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系
新课讲解
②建立∠x’o’y’=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半
X’
y’
O’
X’
y’
O’
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o点．画直观图时把它画成对应的x′轴y′轴，使它确定的平面表示水平平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
例1：六边形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中，取AD所在直线为X轴，对称轴MN所在直线为Y轴，两轴交于O'，使∠X'oy'=45°
（2）以o'为中心，在X'上取A'D'=AD，在y'轴上取M'N'= MN。以点N为中心，画B'C'平行于X'轴，并且等于BC；再以M'为中心，画E'F'平行于X‘轴并且等于EF。
（3）连接A'B',C'D',E'F',F'A',并擦去辅助线x轴y轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'F'
平面图形的斜二测画法步骤：
（1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为450或1350；
（3）水平线段等长，竖直线段减半；
（2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合；
“横不变，竖减半，平行、重合不改变。”
空间几何体的直观图的绘制方法




例2．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
联想水平放置的平面图形的画法，并注意高的处理.
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
4
1.5
画法：（1）画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xoy=45°，
∠xoz=90°.
（2）画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=____cm；在y
轴上取线段PQ，使PQ=_____cm，分别过点M和N作y轴的平行线，过点
P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD
就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′，CC′,DD′.
直观图与原图相关量的关系
斜二测画法是绘制平面图形与空间图形的直观图的一种重要方法：主要特征为一“斜”(坐标系)，二“测”(两种度量形式).绘制时既要有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系.









在直观图中，

在直观图中，

B









在直观图中，

在直观图中，

2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：
画轴——画底面——画侧棱——连线成图
口诀：横竖不变纵减半，平行性不变
1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：
画轴取轴——取点——连线成图
口诀：横不变纵减半，平行性不变
3.三视图与直观图联系，平行投影与中心投影不同表现形式
小结

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