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6.3.2二项式系数的性质
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
复习引入
探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
n (a＋b)n的展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
(a＋b)1
(a＋b)2
(a＋b)3
(a＋b)4
(a＋b)5
(a＋b)6
杨辉三角
(1)每行两端的数都是1；
(2)与两端等距离的项的系数相等；
(3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
上表写成如下形式，并说说你发现了什么规律？
1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … … …
(a + b)n
每一行的系数具有对称性
一、新知探究
对于 展开式的二项式系数
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是
下面从函数角度分析二项式系数：
对于确定的n，我们还可以画出它的图象. 例如，当n=6时，函数 的图象是右图中的7个孤立点．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
n=7
n=8
n=9
1. 对称性
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
2. 增减性与最大值
所以在中间项取得最大值.
（1）当n为偶数时，
正中间一项的二项式系数 最大；
f (k)
k
6
3
O
5
15
20
1
10
1
2
4
5
例如：当 n=6 时, 其图象是7个孤立点
（2）当n为奇数时，
中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
f (r)
r
n
O
5
15
20
1
10
3. 各二项式系数的和
思考
即
这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于
同时由于 上式还可以写成：
这是组合总数公式.
（赋值法）
一般地， 的展开式的二项式系数有如下性质：
(1)
(2)
(3)当 时,
当 时,
(4)
小结：二项式系数性质
分析：奇数项的二项式的系数和为
偶数项的二项式的系数和为
由于
中的
可以取任意实数，因此我们可以通过对 适当赋值来得到上述两个系数和。
例3 求证：在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即
证明：
在展开式
因此
即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
思考：
题型一：求二项展开式中系数或二项式系数的最大项
例1.(1)的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( ).
A.第5项 B.第6项或第7项 C.第6项 D.第7项
解：(1)，，依题意有.
所以的展开式中，二项式系数最大的项为第5项.故选A.
答案：A.
方法技巧：
(1)根据二项式系数的性质，为奇数时，中间两项的二项式系数最大；为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第项的系数最大，则与之相邻两项(第项、第项)的系数均不大于第项的系数，由此列不等式组可确定的范围，再根据来确定的值，即可求出最大项.
变1.(1)的展开式中系数最小的项为( ).
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
解(1)：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大.由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数.所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项.故选C.
答案：C.
变1.(2)在的展开式中，的系数等于-5，则该展开式的各项的系数中最大值为( ).
A.5 B.10 C.15 D.20
解(2)：的展开式的通项，
令，则，所以，即，展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为.
答案：B.
例1.(2)的展开式中，系数最大的项为( ).
A.第6项 B.第3项 C.第3项或第6项 D.第5项或第7项
解：(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等.由于二项式系数的最大项为，且中的二项式系数的相反数，此时的系数最小.而，，且.所以系数最大的项为第5项和第7项.故选D.
答案：D.
题型二：求二项展开式的系数和
例2.设
(1)求的值；
(2)求的值；
解：(1)令，得①
(2)令，得②
①②得，
∴.
例2.设
(3)求的值.
解：(3)∵，
∴，.
∴.
方法技巧：
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可.
(2)一般地，若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为.
变2.已知求：
(1)；(2)
解：(1)由∵
令，得，
∴.
(2)由(1)得，，①
令得②
所以
解：
C
解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，
令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，
题型三：二项式系数性质的应用
例3.已知二项式
(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
解：(1)由题意，得，∴∴或
①当时，展开式中二项式系数最大的项是和，的系数为，的系数为.
故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，.
②当时，展开式中二项式系数最大的项是，
∴的系数为.
故展开式中二项式系数最大项的系数分别为.
例3.已知二项式
(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.
解：(2)由题意知
解得或(舍去).
设展开式中第项的系数最大，由于，
则解得.
又，∴，
∴系数最大的项为，且.
方法技巧：
(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决.
(2)若展开式的系数为的形式，如求的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，，，，且第项系数最大，应用解出，即得系数最大项.
(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定.
变3.已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
解：令，则二项式各项系数的和为，又展开式中各项的二项式系数之和为，由题意知，.
∴.∴.
∴(舍去)或，∴.
(1)由于为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
，.
变3.已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(2)求展开式中系数最大的项.
(2)展开式的通项公式为.
假设项系数最大，则有∴
∴∴，∵，∴.
∴展开式中系数最大的项为.
课堂小结
二项式系数的性质：
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由
得到.
直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2.增减性与最大值
因为，即，
所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性知，当
时，随的增加而减小.当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值.
二项式系数的性质：
3.含二项式系数的和
已知，
令，得.
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于.
注：求二项式系数的最大、最小值时，一定要搞清楚是奇数还是偶数.

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