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布洛赫定理和布洛赫函数
布洛赫证明：满足(8)、(9)方程的波函数的解，必具备如下形式：
（10）
其中:
（11）
即满足方程(8)的波函数必拥有(10)形式的解，该结论叫布洛赫定理。
具有方程(10)形式的波函数成为布洛赫函数。
布洛赫定理和布洛赫函数
布洛赫函数的意义
a.晶体中电子的波函数与自由电子的波函数形式相似。反映出了晶体中电子的波函数实际上相当于一被调幅的自由电子波。
且uk(x)＝ uk(x+a)
b.在空间某点找到电子的概率与波函数的强度成比例。在晶体中找到电子的概率是周期性变化的。反映出电子共有化运动的特征。
|Ψ|2=ΨkΨk* =uk(x)uk* (x)
c. 与自由电子中的波函数一样，波矢k描述晶体中电子的共有化运动状态。注意： 晶体中电子波函数K取值非连续. 只要晶体边界确定，电子波函数的k值即可被确定，与其它参量无关。
能带形成的另一种情况
硅、锗外壳层有4个价电子，形成晶体时，产生SP杂化轨道。原子间可能先进行轨道杂化（形成成键态和反键态），再分裂成能带。
原 子 能 级
反 成 键 态
成 键 态
当原子数很大时，导带、价带内能级密度很大，可以认为能级准连续。
存在轨道杂化，失去能带与孤立原子能级的对应关系。杂化后能带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导带，下能带称为价带。
低温下，价带填满电子，导带全空，高温下价带中的一部分电子跃迁到导带，使晶体呈现弱导电性。
导带与价带间的能隙（Energy gap）称为禁带（forbidden band）.禁带宽度取决于晶体种类、晶体结构及温度。
电子先填充低能级，下面一个能带填满了(满带)，再填上面的能带。 下面一个能带称为满带。上面的带通常是空的，称为导带。
价电子形成的能带为上、下两个能带，中间为禁带。上、下两个能带分别包含2n个状态，可容纳4n个电子。
上述分析优点：
注意到孤立原子和晶体内原子的相同之处，可用于定性分析能带的形成原因。
上述分析不足：
忽略了两者最重要区别：前者电子是在单势场中的运动；后者是在周期性势场中的运动。
晶体中运动的电子：在周期性势场中运动自由电子：处于零势场中运动。
运动具有相似之处。差别：自由电子的势场为零。
本节从薛定谔方程出发，可获得它们E(k)~k关系图， 并作简单比较。
单电子近似模型：晶体中的某个电子在周期性排列的且固定不动、以及其他大量电子的平均势场中运动。
周期与晶格周期相同。
自由电子具有波粒二象性。假设某电子质量为m0，速度为v，则：
1. 粒子性的描述 (经典物理学)：
自由电子的能带
特点：能量连续变化
动量方程： p = m0v （1）
能量方程： E = |p|2/m0 （2）
总能量：动能＋势能
2. 波动性的描述 特点：能量不连续变化
其中k 为波矢，大小等于波长倒数1/λ ，方向与波面法线平行，即波的传播方向。得
能量：E = hν （4）动量：p = hk （5）
德布罗依波函数的基本形式
Ψ(r,t) = Aexp[i2π(k ·r – v t)] (3)
由于无边界条件限制，故k取值可连续变化。即：与经典物理（粒子性）得出相同结论。
(6)
对自由电子，势能为零，故薛定谔方程为：
将方程(6)代入(1)、(2)得
v = hk /m0 (5)
E = h2k2/2m0 (6)
自由电子能带图特点：
a. 自由电子E(k)和k之间呈抛物线变化关系；
b. K与E存在一一对应关系。
c. K取值无限制，可连续变化，从0到无穷大的值都可以，因此自由电子的能谱是连续能谱。
波动性与粒子性描述的对应关系：
自由电子的E与K关系
晶体中的电子状态
1.晶体中电子的薛定谔方程
a、晶体中存在有周期性势场：
V(x)=V(x+na) (8)
b、边界条件有限制
(9)
薛定谔方程改变为
只要V(x), 就可以得到电子的波函数和能量。但找出晶体中的V(x)是很困难的

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