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7.2离散型随机变量的均值
一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列
X
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···
2、离散型随机变量分布列的性质：
(1)pi≥0，i＝1，2，…；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，
3，3，4；则所得的平均环数是多少？
把环数看成随机变量的概率分布列：
X 1 2 3 4
P
权数
加权平均
二、互动探索
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
则称
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
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···
···
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y的分布列是什么？
（2） EY=？
思考：
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一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
···
···
···
···
二、数学期望的性质
题型一、期望的性质 的应用
X -2 -1 0 1 2
P 1/4 1/3 1/5 m 1/20
例1、已知随机变量X的分布列如下
(1)求m的值； (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y)
练习、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
(1)则Eξ= .
2.4
(2)若η=2ξ+1，则Eη= .
5.8
题型二、均值（期望）的求法
例2、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1/2与p，且乙投球2次均未命中的概率为1/16．
（1）求乙投球的命中率；
（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中得次数
为X，求X的分布列和数学期望.
练习1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X 1 0
P p 1－p
则
小结：
练习2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望。
一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则
小结：
例3、一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4
个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得5
分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意
一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选
项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测
验中的成绩的均值。
题型三、二项分布的均值（期望）
练习2、一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 .
例4、 决策问题：
根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
题型四、均值的应用问题
例5.某商场的促销决策：
统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨则损失4万元。9月30日气象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？
（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：
1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元， 表示经销一件该商品的利润。
（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款” 的概率P(A)；
（2）求 的分布列及期望 。
离散型随机变量的方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
2、数学期望的性质
···
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···
···
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
三、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0
P p 1－p
则
四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），
则
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、 x2的
分布列如下：
试比较两名射手的射击水平. 应派哪一名选手参赛？
x1 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
x2 8 9 10
P 0.4 0.2 0.4
显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.
二、问题探究:
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？
权数
反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
一、离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
为随机变量X的方差
···
···
···
···
为随机变量X的标准差
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
题型一、方差和标准差的计算
0 1 x
方差的性质：
1.已知随机变量x的分布列如右图、则Ex与Dx的值为
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3
(C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21
练习1、
X 1 2
P 0.3 0.7
117
二、两个特殊分布的方差
1、如果随机变量X服从两点分布，
X 1 0
P p 1－p
2、如果变量随机变量X～B（n,p），则
期望（均值） 方差
二项分布：ξ~B(n，p)
两点分布
线性关系：
小结：
练习2、
1.已知X~B(100,0.5),则EX=___,DX=____,sX=___. E(2X-1)=____, D(2X-1)=____, s(2X-1)=_____
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX
4、 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望与方差．
题型二、实际问题的期望、方差
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
题型二、实际问题的期望、方差
练习、甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的
随机变量X、Y,已知甲、乙两名射手在每次射击中的环数
均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，
3a,a,0.1,乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
（1）求X、Y的分布列；
（2）试比较两名射手的射击技术
题型三、期望、方差、分布列的综合运用
例3、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设 为成活沙柳的株数，数学期望 ，
标准差 。
（1）求n,p的值并写出 的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种
沙柳的概率

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