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(共32张PPT)
7.5 正态分布
引例1
100个产品尺寸的频率分布直方图
25.235
25.295
25.355
25.415
25.475
25.535
产品
尺寸
（mm)
频率
组距
引例2
200个产品尺寸的频率分布直方图
25.235
25.295
25.355
25.415
25.475
25.535
产品
尺寸
（mm)
频率
组距
样本容量增大时
频率分布直方图
频率
组距
产品
尺寸
(mm)
总体密度曲线
产品
尺寸
(mm)
总体密度曲线
高尔顿板
11
总体密度曲线
0
Y
X
导入
产品尺寸的总体密度曲线
就是或近似地是以下函数的图象：
1 、正态曲线的定义：
函数
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示
总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为正态曲线
c
d
a
b
平均数
X
Y
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a则称为X服从正态分布..记作 X~ N（ μ，σ2）
（1）正态分布密度曲线
（2）正态分布由参数μ、σ唯一确定
μ：变量X的期望（平均值）
σ：变量X的标准差
μ的意义
产品
尺寸
(mm)
x1
x2
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
x3
x4
平均数
x= μ
产品
尺寸
(mm)
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
总体标准差反映总体随机变量的
集中与分散的程度
平均数
s的意义
正态密度曲线的函数表示式
当μ= 0，σ=1时
标准正态密度曲线的函数表示式
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
标准正态曲线
μ
（－∞，μ]
（μ，+∞）
（1）当 = 时,函数值为最大.
(3) 的图象关于 对称.
（2） 的值域为
（4）当 ∈ 时 为增函数.
当 ∈ 时 为减函数.
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
标准正态曲线
正态总体的函数表示式
=μ
重点一：熟记正态分布的函数表达式及正态曲线的特点
例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
B
重点一：熟记正态分布的函数表达式及正态曲线的特点
练习1、若标准正态总体的函数为
（1）f(x)是_______函数（填奇，偶）；
（2）f(x)的最大值为___________；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
练习2：
1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
数的最大值等于 ，该正态分布的概率密度函数的解析式为________________。
20
25
30
15
10
x
y
5
35
2、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，总体随机变量的期望和方差分别为_____________。
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
重点二：正态曲线的性质
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
重点二：正态曲线的性质
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
X=μ
σ=1
σ=2
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
重点二：正态曲线的性质
练习：已知 (均数相等)，下列三个图像， ，请在对应图像上填上.

=？
=？
=？
μ=0　
=0.5, = 1,或 = 2
重点三、正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。
对称区域面积相等。
S(- ,-X)
S(X, )＝S(- ,-X)

正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
-x1 -x2 x2 x1
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

4、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
特别地有
例1、若X~N(5,1).求：
(1)P(X<5) (2)P(3(3)P(3我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6％，在 以外取值的概率只有0.3 ％。
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。
例4、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即 ~N(90,100).
（1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~ ，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）
(90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
C
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 内取值的概率等于（ ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 = ,
= .
4、若X~N(5,1),求P(6D
0.5
0.9544
方差相等、均数不等的正态分布图示
3
1
2
σ=0.5
μ=　-1
μ=0　
μ=　1
若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数；
均数相等、方差不等的正态分布图示

=0.5
=1
=2
μ=0　
若 固定, 大时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦而高, 故称
为形状参数。
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。
C

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