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(共28张PPT)
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式;
2.能利用计算公式求旋转体的表面积与体积;
3.能利用公式解决与旋转体相关的简单实际问题.
4.核心素养:直观想象、数学抽象,数学运算.
PART 01
知识回顾
棱柱、棱锥、棱台的体积：
复习
棱柱、棱锥、棱台的表面积：
围成它们的各个面的面积的和，即侧面积+底面积
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它们的各个面的面积和,即
侧面积+底面积
我们知道了多面体的表面积，那你认为旋转体——圆柱、圆锥、圆台、球的表面积又是怎样的呢？
复习
l
O
O'
2πr
r
2πr
O
S
l
r
O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr
1、 圆柱、圆锥、圆台表面积
圆台
圆柱
圆锥
空间问题“平面”化
圆柱、圆锥、圆台
数学思想：
柱体、锥体、台体的表面积
知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
图形 表面积公式
旋转体 圆柱 底面积：S底＝____
侧面积：S侧＝____
表面积：S＝________
圆锥 底面积：S底＝___
侧面积：S侧＝___
表面积：S＝_______
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
旋转体 圆台 上底面面积：S上底＝______
下底面面积：S下底＝____
侧面积：S侧＝__________
表面积：S＝_______________
_____
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l
＋rl)
2、 圆柱、圆锥、圆台体积
l
O
O'
r
O
S
l
r
h
h
O'
O
r'
r
l
S
O'
O
r'
r
l
圆柱体积
圆锥体积
圆台体积
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系 你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗
l
O
O'
r
h


O
S
l
r
h

O'
O
r'
r
l


h
上底面缩小为一个点
上底面扩大到与下底面全等
r′=r
r′=0
O
球体的表面积
球体的半径为R,则其表面积为
第一步：分割
O
球面被分割成n个网格，连接球心O和每个小网格的顶点。
则球的体积为：
设“小锥体”的体积为：
O
球体的体积
第二步：求近似和,取极限
O
如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥
因为
所以球的体积为
O
的值就趋向于球的半径R
2
题型探究
PART TWO
题型一　求圆柱、圆锥、圆台的表面积
【例1】　圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.
解　如图所示，
设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，
变式1 已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为
A.7 B.6 C.5 D.3
√
解析　设圆台较小底面的半径为r，
则另一底面的半径为3r.
由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
反思感悟
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
例2　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
√
√
变式2　(1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.
解析　设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，
则A1D＝3，∠A1AB＝60°，
又∠BA1A＝90°，
∴∠BA1D＝60°，
反思感悟
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
三、球的表面积与体积
√
∴S球＝4πR2＝16π.
变式3一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心与截面圆圆心的距离
为4 cm，则球的体积为______cm3.
解析　如图所示，
由已知得O1A＝3 cm，OO1＝4 cm，
从而R＝OA＝5 cm.
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反思感悟
计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径.
本课结束

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