7.4.2超几何分布课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册(共24张PPT)

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7.4.2超几何分布课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册(共24张PPT)

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(共24张PPT)
7.4.2 超几何分布
回顾1 什么是二项分布?二项分布是怎么判断的?二项分布的期望与方差分别是多少?
1.二项分布的定义:一般地,在重伯努利试验中, 设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为
如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作.
复习回顾
一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:
(1)明确伯努利试验及事件的意义,确定事件A发生的概率;
(2)确定重复试验的次数, 并判断各次试验的独立性;
(3)设为次独立重复试验中事件发生的次数, 则
二项分布的期望与方差
一般地,可以证明:
如果, 那么; .
复习回顾
问题1 已知10件产品中有4件次品 , 分别采用有放回和不放回的方式随机抽取3件 . 设抽取的3件产品中次品数为, 求随机变量的分布列.
如果采用有放回抽样, 则每次抽到次品的概率为,且各次抽样的结果相互独立 , 此时服从二项分布, 即.
采用不放回抽样?
探究一:超几何分布概念
新知探究
问题2 如果采用不放回抽样 , 那么抽到3件产品中次品数是否也服从二项分布 如果不服从,那么的分布列是什么
采用不放回抽样 , 虽然每次抽到次品的概率都是0.4 , 但每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征, 因此不服从二项分布.
我们可以根据古典概型求的分布列
新知探究
问题1 已知10件产品中有4件次品 , 分别采用有放回和不放回的方式随机抽取3件 . 设抽取的3件产品中次品数为, 求随机变量的分布列.
解:由题意可知,可能的取值为0,1,2,3.
从10件产品中任取3件,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的.
其中3件产品中恰有件次品的结果数为
由古典概型的知识,得的分布列为
新知探究
超几何分布:一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品. 从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为:
其中n,M,N∈N*,M≤N,m≤n
m=max{0,n-N+M},r=min{n , M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式
那么称随机变量服从超几何分布.
:总体中的个体总数;
:总体中的特殊个体总数
(如次品总数);
:样本容量
:样本中的特殊个体数
(如次品数)
新知讲解
问题2 超几何分布的特征是什么?
超几何分布特征:
(1)“由较明显的两部分组成”:如“男生、女生”,“正品、次品”;
(2)不放回抽样:“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件,连续取n件”
新知讲解
例4 从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.
解: 设表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1)
则服从超几何分布 , 且,,
因此甲被选中的概率为
容易发现,每个人被抽到的概率都是.
这个结论非常直观,这里给出了严格的推导.
例题讲解
例5 一批零件共有30个,其中有3个不合格,随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.
法一:
解: 设抽取的10个零件中不合格品数为X , 则X服从超几何分布
且N=30 , M=3 , n=10
X的分布列为
至少有1件不合格的概率为P(X ≥1)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
法二:P(X≥1)=1 P(X=0)
正难则反
例题讲解
问题3 服从超几何分布的随机变量的均值是什么
设随机变量服从超几何分布 , 则可以解释为从包含件次品的件产品中,不放回地随机抽取件产品中的次品数.
令,则是件产品的次品率,而是抽取的件产品的次品率.
我们猜想,即 .
实际上,令m=max{0,n-N+M},r=min{n , M} , 由随机变量均值的定义:
探究二:超几何分布均值
新知讲解
当时,注意到上式中间求和的第一项为0 ,类似可以证明结论依然成立.
服从超几何分布的随机变量的均值E()=p,即 E(X)=np
新知讲解
例6 一袋中有100个大小相同的小球, 其中有40个黄球、60个白球,从中随机摸出20个球作为样本 . 用表示样本中黄球的个数.
(1)分别就有放回和不放回摸球,求的分布列;
(2)分别就有放回和不放回摸球, 用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率.
分析:因为只有两种颜色的球,每次摸球都是一个伯努利试验,摸出20个球,采用有放回摸球,各次实验结果相互独立,X~B(20,40); 而采用不放回摸球,各次实验结果不独立,X服从超几何分布.
例题讲解
解: (1)对于有放回摸球,每次摸到黄球的概率为0.4,且各次试验之间的结果是独立的
因此,
的分布列为
对于不放回摸球,各次试验的结果不独立,服从超几何分布
的分布列为
例题讲解
问题4 超几何分布与二项分布有什么区别?
区别:
超几何分布需要知道总数N,而二项分布不需要;
超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复);
当总数N非常大时,超几何分布近似于二项分布.
二项分布的分布列计算要知道概率
超几何分布的分布列计算不需知道概率,只需要抽取
所以,先要判断是哪种概型,在进行公式运算
新知讲解
巩固训练
1、一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
巩固训练
巩固训练
延伸探究
1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量η,求随机变量η的分布列.
巩固训练
2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次抽取1个球”,其他条件不变,结果又如何
巩固训练
所以X的分布列为
巩固训练
方法总结 超几何分布的求解步骤
(1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转化为超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数M,N,n,k的含义.
(3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来.
巩固训练
2.(2020湖南长沙高二月考)一工厂生产100个产品中有90个一等品、10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为(  )
D
1.超几何分布:一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品. 从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为:
其中n,M,N∈N*,m=max{0,n-N+M},r=min{n , M}.
2. 超几何分布的期望. 即
课堂小结
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