资源简介

数列及其典型问题
一 等差数列
针对训练一
一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为，且点在直线上，则（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
2．已知数列，，均为等差数列，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ）
A．1640 B．1660 C．1680 D．1700
4．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
5．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知数列，满足为的前项和，且，则（ ）
A．数列为等差数列 B．
C． D．或时，取得最大值
8．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知等差数列中, ，公差，当的前n项和最大时, n=_______.
10．已知为数列的前项和，且满足，，则______.
11．数列中，，，且是以2为公差的等差数列，则______.
12．已知数列中， ，，则数列的通项公式为__________．
四、解答题
13．等比数列的各项均为正数，且,.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
14．在等差数列中，，求
15．已知等差数列的公差，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且成等比数列，.
(1)求证：；
(2)数列满足，，求.
二 等比数列
针对训练二
一、单选题
1．设是等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列，公差为，且、、成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列中，，则等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
4．记为等比数列的前项和，若数列也为等比数列，则（ ）．
A． B． C． D．
5．已知等比数列满足，，则该数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
6．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前n项和不可能为1028的数列是（ ）
(参考公式：)
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知数列的通项公式为，，下列仍是数列中的项的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知公比为的等比数列满足，则__________________．
10．已知数列的通项公式为，则________．
11．在等比数列中，，记数列的前项和 前项积分别为，则的最大值是______.
12．已知正项等比数列，，若存在两项、，使得，则的最小值为___________.
四、解答题
13．求数列 …的通项公式和前6项和.
14．已知等比数列的公比不为，，对任意的，都有，求的通项公式.
15．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为千万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多千万元．
(1)分别求甲、乙超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
16．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an+1＝2+Sn，（n∈N*）．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝1+log2（an）2，求证数列{}的前n项和Tn．
三 通项与求和问题
针对训练三
一、单选题
1．现有组数对依次排列为，，，则（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
2．设等差数列和等比数列的首项都是1，公差与公比都是2，则（ ）．
A．54 B．56 C．58 D．57
3．卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则卢卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列中，，公比，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列不是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是单调递减数列
5．已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列的前项和等于
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知为等比数列，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．若，则
8．已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．对任意 B．
C．若，则 D．当数列是等差数列时，
三、填空题
9．为和的等差中项，则_____________.
10．在数列中，，则的前n项和_________．
11．已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.
12．设集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136个二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等.记这136个二元子集为B1，B2，B3，…B136，.设，定义S（B1）＝|x﹣y|，则S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝_____.（结果用数字作答）
四、解答题
13．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值.
14．设是各项都为正数的单调递增数列，已知，且满足关系式：，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
15．已知等比数列满足，且是，的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的的最小值．
16．已知数列满足，且对一切，有，其中为数列的前n项和．
（1）求证：对一切，有；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：．数列及其典型问题
一 等差数列
针对训练一
一、单选题
1．已知等差数列的前n项和为，且点在直线上，则（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质求解，根据可求答案.
【详解】因为点在直线上，所以；
因为等差数列满足，
所以.
故选：A.
2．已知数列，，均为等差数列，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得选项.
【详解】由题有数列是以为首项、为公差的等差数列，故 ，
故选：D.
3．已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ）
A．1640 B．1660 C．1680 D．1700
【答案】A
【分析】由得到数列的特征，再求数列的前81项的和.
【详解】由，
有，有．
又由，可得，可得，
则数列的前81项的和为．
故选：A
4．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案.
【详解】因为
所以
所以数列是等差数列，
又
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以
所以
因为，，且，
所以当时，取最大值2.
故选：B.
【点睛】方法点睛：判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法：（），则数列是等差数列；(3) 通项公式：(为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式：(为常数) ， 则数列是等差数列.
5．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等差比数列的定义可求得的通项公式，将变为，利用通项公式即可求得答案.
【详解】因为为等差比数列，，，，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，
所以．
故选:C．
6．数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据递推公式可得，即可得到是首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列通项公式求出，即可得解.
【详解】解：因为，所以，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故，所以.
故选：A
二、多选题
7．已知数列，满足为的前项和，且，则（ ）
A．数列为等差数列 B．
C． D．或时，取得最大值
【答案】ACD
【分析】对A，等式移项即可判断，对B，根据等差数列下标和性质求出，则可求出，则得到其通项，对C，直接利用等差数列前项和公式即可判断，对D，利用二次函数性质即可判断.
【详解】对A，，
则数列为等差数列，故A正确，
对B，，则，
则，则，则，则，故B错误，
对C，，则，故C正确，
对D，，开口向下，对称轴为，
，故当或时,取得最大值，故D正确，
故选：ACD.
8．已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先求出，，判断出，得到等差数列为递增数列，利用等差数列的性质对四个选项一一验证.
【详解】因为，所以，，
所以.故A错误，B正确；
因为，所以等差数列为递增数列.
因为，所以，，
所以.故C正确；
因为，所以.故D正确.
故选：BCD
三、填空题
9．已知等差数列中, ，公差，当的前n项和最大时, n=_______.
【答案】8
【分析】根据已知条件，求出等差数列的前项和，根据其函数性质，即可容易求得结果.
【详解】因为数列是等差数列，，公差，
故可得其前项和，又的对称轴为，
故当时，该数列的前项和取得最大值.
故答案为：.
【点睛】本题考查等差数列前项和最值的求解，属简单题.
10．已知为数列的前项和，且满足，，则______.
【答案】74
【分析】由已知得，然后依次计算出数列的前几项，得出规律（通项公式），再计算前20的和．
【详解】由题意，又，所以，，，时，，
所以．
故答案为：74．
【点睛】本题考查数列的递推公式，考查求数列的前项和，解题方法是由递推关系得出数列的前几项，归纳出数列的性质与通项公式，从而再求和．
11．数列中，，，且是以2为公差的等差数列，则______.
【答案】
【分析】由是以2为公差的等差数列，可得：，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出.
【详解】∵是以2为公差的等差数列，
∴，
∴
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
12．已知数列中， ，，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【分析】由证明出数列是等差数列，从而解得数列的通项公式，将整理即可.
【详解】解：由
整理得：
又
，
数列 是以为首项，以为公差的等差数列，
故答案为：.
四、解答题
13．等比数列的各项均为正数，且,.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设等比数列的公比为，则，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用定义证明出数列是等差数列，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列前项和.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，由题意得，解得，
因此，；
（2），，
所以，数列是等差数列，首项为，
设数列前项和为，则.
【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.
14．在等差数列中，，求
【答案】
【分析】结合等差数列前项和公式代入相关数据可得答案.
【详解】解：∵在等差数列中，，
∴
15．已知等差数列的公差，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合等差数列前n项、等差数列通项公式和等比数列性质，解关于的方程即可求解；
（2）由（1）结合裂项公式得，采用累加法即可求解.
(1)
因为成等比数列，则，
即，化简得：，
，①
又，则，即，②
联立①②解得：，
.
(2)
当时，
所以时，.
16．已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且成等比数列，.
(1)求证：；
(2)数列满足，，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，，然后由成等比数列，列方程组可求出，从而可求得，再对作差判断即可，
（2）由题意可得，然后利用累加法可求出
(1)
证明：设等差数列的公差为，，
由，
成等比数列，
，，
，
，
， 即
(2)
由已知得
.
二 等比数列
针对训练二
一、单选题
1．设是等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据等差数列的通项公式求出的通项公式，然后代入根据等比数列求和公式求解即可.
【详解】解：由题意得：
设的公差为
又
又，
故选：D
2．已知等差数列，公差为，且、、成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出的值，即可求得的值.
【详解】因为、、成等比数列，则，即，解得，
所以，.
故选：D.
3．已知等比数列中，，则等于（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质：若，则即可求解.
【详解】数列为等比数列，，
则，即，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了等比数列的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.
4．记为等比数列的前项和，若数列也为等比数列，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分公比是否为进行讨论，再利用等比数列的前项和公式及定义求解即可.
【详解】解：设等比数列的公比为，当时，，
则不为等比数列，舍去，
当时，，
为了符合题意，需，得，故.
故选D．
【点睛】本题考查等比数列的前项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.
5．已知等比数列满足，，则该数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式及等比数列的前项和即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，则
由，，得，解得，
所以该数列前项的和为.
故选：C.
6．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”下列数列中，其前n项和不可能为1028的数列是（ ）
(参考公式：)
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用等差数列、等比数列的前项和公式以及参考公式求数列前项和，令，看是否有正整数解即可判定选项A、B、D的正确性；通过分类讨论分别求出和，然后可得到，令，看是否有正整数解即可选项C的正确性．
【详解】设数列的前项和为，
对于A：由等差数列的前项和公式，得：
，
因为方程无正整数解，即选项A错误；
对于B：不妨令，，
数列和的前项和分别为和，
则，，
由参考公式和等差数列的前项和公式，得：
，
，
所以，
解得，即选项B正确；
对于C：①当时，
，故此时；
②当时，
令，解得，
即时，，
即选项C正确；
对于D：由等比数列的前项和公式可知，
，
解得，即选项D正确．
故选：A．
二、多选题
7．已知数列的通项公式为，，下列仍是数列中的项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】根据的通项公式依次计算判断即可.
【详解】对A，，可得不是中的项，故A错误；
对B，，可得不是中的项，故B错误；
对C，，可得是中的第项，故C正确；
对D，，可得是中的第项，故D正确.
故选：CD.
8．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由等比数列公比为负数，可知正确；设等差数列的公差为，根据题意可得，，，就的正负分类讨论，即可判断，，所以错误，正确，无法确定．
【详解】解：因为等比数列的公比，所以，正确；
设等差数列的公差为，所以，，
显然，若，则，即，所以，，，
若，则，即，所以，，，
所以无法确定，错误，正确．
故选：．
三、填空题
9．已知公比为的等比数列满足，则__________________．
【答案】1
【解析】根据等比数列通项公式可得，化简整理，即可得结果.
【详解】因为为等比数列，且，
所以，即，解得，
故答案为：1
10．已知数列的通项公式为，则________．
【答案】
【分析】利用分组求和，结合等比数列的前n项和公式可得，由极限的求法求即可.
【详解】由题设，，
∴.
故答案为：
11．在等比数列中，，记数列的前项和 前项积分别为，则的最大值是______.
【答案】8
【分析】结合题意求出数列的首项与公比，进而求出前项和 前项积分别为，，然后表示出，结合函数的性质即可判断.
【详解】因为，，所以公比，所以，所以，，，，因为，所以或时，取最大值.
故答案为：8
12．已知正项等比数列，，若存在两项、，使得，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由等比数列的通项公式结合可得出，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由于，则，即，则，
，
由已知可得、，因此，，
当且仅当时，等号成立，
所以，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
四、解答题
13．求数列 …的通项公式和前6项和.
【答案】
【分析】由题可以判断数列是一个等比数列，利用等比数列的通项公式和前项和公式即可计算.
【详解】根据题意，是首项为，公比为的等比数列，
，前6项和.
【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式和前项和公式的计算，属于基础题.
14．已知等比数列的公比不为，，对任意的，都有，求的通项公式.
【答案】
【解析】由等比数列通项公式列出关于的方程求得公比可得通项公式．
【详解】设数列的公比为，当时，，设公比为，则，
则，∵，∴，
则．
【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，解题方法是基本量法．属于基础题．
15．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为千万元，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多千万元．
(1)分别求甲、乙超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？
【答案】(1)甲超市第n年销售额为，乙超市第n年销售额为
(2)乙超市将被甲超市收购，至少第6年
【分析】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，利用即可求出，利用累加法求出即可；
（2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用得到，通过得到，代入具体的值即可
【详解】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，
假设甲超市前年总销售额为，则，
当时，，
易得不满足上式，故；
时，，
故，
显然也适合，故；
（2）甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下：
①因为，，当时，，
所以甲超市不可能被乙超市收购；
②设即，即，
设，
令
即，解得，所以
，
，
所以，解得，
综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购
16．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an+1＝2+Sn，（n∈N*）．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝1+log2（an）2，求证数列{}的前n项和Tn．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用裂项相消法求出数列的和．
【详解】（1）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an+1＝2+Sn，（n∈N*）．
则an＝2+Sn﹣1，（n∈N*）．
所以an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，
所以，
所以数列{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列．
则，
故．
（2）设bn＝1+log2（an）2，
则bn＝2n+1．
则，
所以
，
因为n∈N*，
所以.
三 通项与求和问题
针对训练三
一、单选题
1．现有组数对依次排列为，，，则（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】B
【解析】根据给出的前4组数得出规律，从而得出答案.
【详解】由这组数对依次排列为，，
根据给出的前4组数的规律:为第一个数的通项公式
第二个数的通项公式
所以可得第5组为
故选：B
2．设等差数列和等比数列的首项都是1，公差与公比都是2，则（ ）．
A．54 B．56 C．58 D．57
【答案】D
【分析】根据等差数列等比数列的通项公式，求出，,结合已知条件即可求解.
【详解】由题意知，等差数列的首项是1，公差是2，则
所以，
等比数列的首项是1，公比是2，则
所以，
所以．
故选：D.
3．卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢卡斯数列为：、、、、、、、、、、，即，，且.则卢卡斯数列的第项除以的余数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】列举出数列各项除所得余数的数列，可得出数列是以为周期的周期数列，进而可求得，即可得解.
【详解】设数列各项除所得余数所形成的数列为，
则数列为：、、、、、、、、、、，
由上可知，数列是以为周期的周期数列，即对任意的，，
，因此，.
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题中数列相关信息，列举出数列的前若干项；
（2）根据规律判断出数列的周期；
（3）根据所求数列的周期，求出所求项的项数除以周期的余数，即可求解结果.
4．已知等比数列中，，公比，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列不是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是单调递减数列
【答案】C
【分析】先求得，然后结合等差、等比数列的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项．
【详解】∵等比数列中，，公比，∴．
由此可得，故A错误；
，故数列是等比数列，故B错误；
，故数列是等比数列，故C正确；
，故数列是递增数列，故D错误．
故选：C．
5．已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由等差数列的通项公式和等比中项的性质，化简得，即可求出
【详解】解：因为,,成等比数列，所以 ，
因为是等差数列，且所以，整理得，
所以，
故选：A.
6．已知递增数列对任意均满足，记 ，则数列的前项和等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
若，那矛盾，
若，那么成立，
若，那矛盾，
所以 ，当，
所以，
即，数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以前项和为.
故选：D.
【点睛】本题解题的关键是对于首项的确定，可以采用列举法，就会发现，再令后，利用公式巧妙变形为 ，这样对数列的构造打下基础，最后转化为数列是等比数列求和.
二、多选题
7．已知为等比数列，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【解析】根据等比数列下标和性质结合基本不等式的变形式判断出AB是否正确；根据条件分析公比的取值情况，由此判断出C是否正确；根据等比数列的通项公式的变形式结合不等式性质判断D是否正确.
【详解】A．因为，取等号时，故正确；
B．因为，取等号时，故正确；
C．设等比数列的公比为，因为，所以，所以，当时，，故错误；
D．设等比数列的公比为，因为且，所以，所以，故正确；
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若，
（1）当为等差数列，则有；
（2）当为等比数列，则有.
8．已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．对任意 B．
C．若，则 D．当数列是等差数列时，
【答案】AC
【分析】因为，所以，两式相减可判断A的正误；利用累加法可判断B，C的正误；当数列是等差数列时，求出首项及公差，可判断D的正误.
【详解】选项A：因为，所以，
两式相减得，故A正确；
选项B：因为，所以，…，
累加得，
即，故B错误；
选项C：，所以，…，
累加得，
所以，故C正确；
选项D：因为数列是等差数列，且，所以公差，
又因为，当时，，
即，得，
所以，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
9．为和的等差中项，则_____________.
【答案】
【分析】利用等差中项的定义可求得结果.
【详解】由等差中项的定义可得.
故答案为：.
10．在数列中，，则的前n项和_________．
【答案】
【分析】由已知可得，所以是首项为4，公差为2的等差数列，由此可求出，从而可得，进而可得，再利用裂项相消求和法求解即可
【详解】因为，
所以，，
所以是首项为4，公差为2的等差数列，
所以，
则，
所以．
故答案为：
11．已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.
【答案】
【分析】利用倒序相加法可得到，即可求得前16项的和.
【详解】，①
，②
两式相加，又因为，
故，所以，
所以的前16项的和为
故答案为：
12．设集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136个二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等.记这136个二元子集为B1，B2，B3，…B136，.设，定义S（B1）＝|x﹣y|，则S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝_____.（结果用数字作答）
【答案】1835028
【分析】由题意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215），利用等比数列的求和公式即可得出．
【详解】由题意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）
＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215）
＝-16×20+-15×21+……+-2×214+216-215
＝217×15+216-（2+22+……+215）-（16+15×21+……+2×214+215）
＝217×15+216--（217-18）
＝217×14+20
＝1835028．
故答案为：1835028
四、解答题
13．已知数列为等差数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最大值.
【答案】（1）；（2）36.
【分析】（1）由已知求出公差，从而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，然后配方利用二次函数的性质可得答案
【详解】解：因为为等差数列，令其公差为，
则由题意得，
得，
故
，
即的通项公式为.
（2）由（1）知，，
故
，
所以当，的最大值为.
14．设是各项都为正数的单调递增数列，已知，且满足关系式：，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，可得，再由是各项为正数的单调递增数列，可得，从而可判断数列是首项为3，公差为3的等差数列，进而可求出通项公式；
（2）由（1）得，然后利用裂项相消法求和
【详解】解：（1）∵，
∴，即.
又是各项为正数的单调递增数列，
∴，又，
∴数列是首项为3，公差为3的等差数列，
∴，
∴.
（2）由（1）可得：，
∴.
15．已知等比数列满足，且是，的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的的最小值．
【答案】（1）;（2）．
【详解】试题分析：（1）基本量法，即用表示条件，且是，，列出方程组，解之求出，即可求数列的通项公式；（2）由（1）及求出数列的通项公式，用分组求和法求出其前项和，代入表达式，化得得，解之可求的最大值．
试题解析：（1）设等比数列的公比为，依题意，有
，即：
由得，解得或．
当时，不合题意，舍去；
当时，代入得，所以．
故所求数列的通项公式（）．
（2）
所以
．
因为，所以，
即，解得或．
因为，故使成立的正整数的最小值为．
16．已知数列满足，且对一切，有，其中为数列的前n项和．
（1）求证：对一切，有；
（2）求数列的通项公式；
（3）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．
【分析】（1）把两式a13+a23+…+an3=Sn2，，相减即可得到，即，又an+1＞0，可得；
（2）当n≥2时，由an+12﹣an+1=2Sn及可得（an+1﹣an）（an+1+an）=an+1+an，进而得到an+1﹣an=1，（*），,当n=1，2时也满足（*）．数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由bn=2n an═n 2n，可得Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．
【详解】（1）∵a13+a23+…+an3=Sn2，，
∴，
∴（Sn+1﹣Sn）（Sn+1+Sn）=，
即，又an+1＞0，
∴，∴，
∴an+12﹣an+1=2Sn；
（2）当n≥2时，
由an+12﹣an+1=2Sn及可得（an+1﹣an）（an+1+an）=an+1+an，
∵an+1+an＞0，∴an+1﹣an=1，（*）
当n=1时，，a1＞0，可得a1=1，
当n=2时，，得到，及a2＞0，解得a2=2．
a2﹣a1=1也满足（*）．
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式an=1+（n﹣1）×1=n．
（3）欲证不等式成立，
即证不等式成立．
设，，
因为，所以，即．
所以．

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