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第11讲：等比数列原卷版
【基础知识回顾】
一、等比数列的概念
符号语言（或者）(为常数，，)
二、等比数列的通项公式
通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.
三、等比中项
(1)前提：三个数，，成等比数列．
(2)结论：叫做，的等比中项．
(3)满足的关系式：.
四、等比数列项的运算性质
在等比数列中，若，则.
①特别地，当时，
五、等比数列前项和
【典型题型讲解】
考点一：等比数列基本量运算
例1.已知等比数列满足，，则（ ）
A．12 B．16 C．32 D．64
例2.设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝
【方法总结】
等比数列的通项公式和求和公式的熟练应用
【练一练】
1.在等比数列中，，则项数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.在等比数列中，，，则等于（ ）
A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-32
3.在数列中，若，，则（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192
4.设等比数列满足，，则公比______．
5.已知等比数列满足且，则________.
6.数列中，数列前项和为，若，，则________.
考点二：等比数列的等比中项的性质
例1.在等比数列中，若，，那么等于（ ）
A． B．5 C． D．25
【方法总结】
熟记等比的中项的性质
【练一练】
1.在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）.
A．4 B． C． D．2
2.已知成等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（ ）
A． B．或 C．或 D．
4.与的等比中项是（ ）
A．1 B． C．2 D．或1
5.（多选）等比数列中，，，则与的等比中项可能是（ ）
A． B．4 C． D．
6.等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A． B．4 C． D．
考点三：等比数列的性质
例1.在等比数列|中，，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【方法总结】
等比数列多项乘积的性质
【练一练】
1.在等比数列中，，，则（ ）
A．12 B． C． D．15
2.在等比数列中，，则等于（ ）
A．16 B．32 C．4 D．8
3.已知等比数列中，，则的值等于（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
4.若数列是等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5.公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6.在正项等比数列中，，则的值是（ ）
A．10 B．1000 C．100 D．10000
7.在等比数列中，是方程的根，则（ ）
A． B． C． D．
考点四：等比数列的前n项和
例1.首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为（ ）
A．62 B．63 C．66 D．68
【方法总结】
熟记等比数列前n项和公式
【练一练】
1.已知等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.若递增的等比数列的前项和为，，则等于（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
3.已知等比数列的前项和为，且，，则________.
4.设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5.在各项均为正数的等比数列中，已知，，求：
（1）与公比的值；
（2）数列前6项的和 .
【巩固练习】
1．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
2．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3.设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
5．在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
6.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8 C．4 D．2
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
8．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
9.设是等差数列，是等比数列，且．求与的通项公式；
10.设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
11.已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
12．设等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
13.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
14.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
15.等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．第11讲：等比数列解析版
【基础知识回顾】
一、等比数列的概念
符号语言（或者）(为常数，，)
二、等比数列的通项公式
通项公式：an＝a1qn－1an＝am·qn－m.
三、等比中项
(1)前提：三个数，，成等比数列．
(2)结论：叫做，的等比中项．
(3)满足的关系式：.
四、等比数列项的运算性质
在等比数列中，若，则.
①特别地，当时，
五、等比数列前项和
【典型题型讲解】
考点一：等比数列基本量运算
例1.已知等比数列满足，，则（ ）
A．12 B．16 C．32 D．64
【答案】D
【详解】
因为
所以解得或（舍去），所以.
所以.
故选:D
例2.设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝
设公比为，则，即，解得，所以，
所以，故选:A.
【方法总结】
等比数列的通项公式和求和公式的熟练应用
【练一练】
1.在等比数列中，，则项数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
在等比数列中，，，，
所以，即
解得：，
故选：B.
2.在等比数列中，，，则等于（ ）
A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-32
【答案】C
【详解】
由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.
故选：C
3.在数列中，若，，则（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192
【答案】C
【详解】
因为，，所以是等比数列，公比为，
所以.
故选：C.
4.设等比数列满足，，则公比______．
【答案】
【解析】由于数列是等比数列，故由，可得，
，两式作比可得：，解得，即.故答案为：
5.已知等比数列满足且，则________.
【答案】
【解析】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案为：
6.数列中，数列前项和为，若，，则________.
【答案】1023
【解析】因为，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.故答案为：.
考点二：等比数列的等比中项的性质
例1.在等比数列中，若，，那么等于（ ）
A． B．5 C． D．25
【答案】C
【详解】
由题意，等比数列中，满足，，
根据等比中项，可得，所以.
故选：C.
【方法总结】
熟记等比的中项的性质
【练一练】
1.在递增的正项等比数列中，和是方程的两个根，则（ ）.
A．4 B． C． D．2
【答案】A
【详解】
和是方程的两个根，故或.
因为为递增的正项等比数列，故，故.
又且，故，
2.已知成等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
解：因为成等比数列，所以，即，所以
故选：A
3.已知递增等差数列，且为与的等比中项，则公差（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【详解】
解：因为且为与的等比中项，
所以，解得或(舍)，
故选：D.
4.与的等比中项是（ ）
A．1 B． C．2 D．或1
【答案】D
【详解】
由题意可设与的等比中项是，
则，解得或.
故选：D.
5.（多选）等比数列中，，，则与的等比中项可能是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】AB
【详解】
设与的等比中项是．由等比数列的性质可得，则．
故选:AB．
6.等比数列中，，，则与的等比中项是（ ）
A． B．4 C． D．
∵，，∴.又.∴与的等比中项是.
故选：A.
考点三：等比数列的性质
例1.在等比数列|中，，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【答案】D
【详解】
由，得，由，得，
所以，所以．
故选：D．
【方法总结】
等比数列多项乘积的性质
【练一练】
1.在等比数列中，，，则（ ）
A．12 B． C． D．15
【答案】C
【详解】
由等比数列的性质，，∴．
故选：C
2.在等比数列中，，则等于（ ）
A．16 B．32 C．4 D．8
【答案】A
【详解】
解：因为在等比数列中，，
所以，
故选：A
3.已知等比数列中，，则的值等于（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】C
【详解】
是等比数列，，.
故选：C.
4.若数列是等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.
故选：C.
5.公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【解析】等差数列中,,故原式等价于解得或
各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.
6.在正项等比数列中，，则的值是（ ）
A．10 B．1000 C．100 D．10000
【答案】D
【解析】正项等比数列中，因为，所以，即，，故，.故选：D.
7.在等比数列中，是方程的根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意：，，故，，
故，则.故选：A.
考点四：等比数列的前n项和
例1.首项为1，公比为2的等比数列的前6项和为（ ）
A．62 B．63 C．66 D．68
【答案】B
【详解】
设等比数列，，公比
则前6项和
故选：B
【方法总结】
熟记等比数列前n项和公式
【练一练】
1.已知等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，等比数列中，，
可得，解得，
所以.
故选：A.
2.若递增的等比数列的前项和为，，则等于（ ）
A．63 B．64 C．65 D．66
【答案】A
【详解】
设等比数列公比为q，由得，
所以，或，
因为数列递增且，所以，
所以．
故选：A．
3.已知等比数列的前项和为，且，，则________.
【答案】
【详解】
设等比数列的公比为，由题意可得，解得，
所以，，，
因此，.
故答案为：.
4.设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
若，则，矛盾，故，
根据题意得：，解得，.
故选：BC.
5.在各项均为正数的等比数列中，已知，，求：
（1）与公比的值；
（2）数列前6项的和 .
【答案】（1）；（2）63.
【详解】
（1）由已知得，解得
（2）由求和公式可得
【巩固练习】
1．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【详解】∵为等比数列的前n项和，
∴，，成等比数列
∴，
∴，
∴.
故选：A.
3.设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选：B.
5．在等比数列中，，，则等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，
所以，
故选：A.
6.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8 C．4 D．2
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
8．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
9.设是等差数列，是等比数列，且．求与的通项公式；
【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
10.设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
11.已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，
所以；
设等比数列的公比为，
所以，解得（负值舍去），
所以；
12．设等比数列{an}满足，．
（1）求{an}的通项公式；
【详解】（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
13.已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
14.已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
15.等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．

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