资源简介

第13讲：数列求和解析版
【基础知识回顾】
一、公式法
等差数列 等比数列
二、裂项相消法
裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，高考中常见以下几种类型。
常见的裂项技巧
类型① 类型②
类型③
三、错位相减法
通项特征：一次函数*指数型函数
解题思路
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
四、分组求和法
1.通项特征：两类数列相加减或
2.解题思路
【典型题型讲解】
考点一：裂项相消求和
例1.已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，∴，解得，
当时，由①可得，②，
①－②：，
∵，∴，∴，即∴，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是：.
（2）由（1）可得
∴，
综上所述，.
【方法总结】
熟记各种裂项的方法；
练熟各种裂项求和的步骤。
【练一练】
1.已知，设，数列的前项和______.
【答案】
【解析】由，，
所以数列{}前项和为
.故答案为：.
2.已知是等差数列的前项和，若， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意得：
∴即
∴.
（2）由（1）知，
∴
∴.
3.已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）设的公差为d，因为，，成等比数列，所以.
即，即又，且，解得
所以有.
（2）由（1）知：
则.即.
4.在等差数列中，为其前n项和．若．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）设数列的首项为，公差为，
由题意得，
解得，
故数列的通项公式；
（2）由（1）得，
即有前项和
．
考点二：错位相减
例1.设数列 的前项和分别为 ，且，，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令，求的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由得，
当时，，
当时，也适合，故.
由得，得，
当时，，得，
又，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
综上所述：，.
（2），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
【方法总结】
错位相减
【练一练】
1.设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，①得，②
①②，得，所以，
又，，所以，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）由（1）得，，
所以，③
，④
③④得，，所以.
2．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，且，求的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由得，，，
故，，故，
即是为首项，公比为的等比数列，故；
（2）由（1）知，，设的前项和，
，
，
作差得， ，
即，
，化简得，故的前项和为.
3．已知数列的前n项和为，且
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】（1）数列的前n项和为，且①，
当时，解得：，当时，②，
①-②得：，故：(常数)，
所以，数列是以1为首项，3为公比的等比数列.
所以，(首项符合通项)，故：.
（2）
所以，
，
两式相减得，，因此.
4.已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）因为方程两根为或7，
又 是方程的两根，数列是递增的等差数列，
，，设公差为，则，解得，.
.
对于数列，，
当时，，解得；
当时，，
整理得，即，所以数列是等比数列，
（2），
数列的前项和，，
......
两式相减可得......，
.
考点三：分组求和
例1.已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，
∴数列的通项公式为，∴.
又，∴，
∵数列是公比为2的等比数列，
∴，∴；
（2）由题意得，
.
【方法总结】
根据通项公式的特点，采用分组求和
【练一练】
1.设是公比为正数的等比数列， ，.
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意设等比数列的公比为q，，
，，
，即，
的通项公式.
（2）是首项为1，公差为2的等差数列，
，
数列的前n项和.
2.已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2），.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，
依题意有，
由，又，
解得，
∴，
即，
；
（2）∵，
∴前项和
.
∴前项和，.
3.已知等差数列的前项和为., .
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由, ,得，解得, 所以；
（2）.因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
4.已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）设公差为,由已知得,
解得,,
∴.
（2）∵
∴
.
【巩固练习】
1．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【详解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
2．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
3．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
4.在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．
【详解】
（1）选①②：因为是等差数列，且，，
所以，解得，，所以.
选①③：所以，解得，，所以.
选②③：因为是等差数列，且，
所以，解得，，所以.
（2）因为，所以，
所以.
5．数列的前项和为，是和1的等差中项，等差数列满足,.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1） an＝2n－1；bn＝2n－17；（2） .
【详解】
（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1.
∴a1＝1且an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝2n－1，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1.
设{bn}的公差为d，b1＝－S4＝－15，b9＝－15＋8d＝1，∴d＝2，
∴bn＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.
（2）cn＝＝，
∴Wn＝＝＝.第13讲：数列求和原卷版
【基础知识回顾】
一、公式法
等差数列 等比数列
二、裂项相消法
裂项相消法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于类似这种形式，用裂项相消法求和，高考中常见以下几种类型。
常见的裂项技巧
类型① 类型②
类型③
三、错位相减法
通项特征：一次函数*指数型函数
解题思路
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
四、分组求和法
1.通项特征：两类数列相加减或
2.解题思路
【典型题型讲解】
考点一：裂项相消求和
例1.已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，求数列的前项和.
【方法总结】
熟记各种裂项的方法；
练熟各种裂项求和的步骤。
【练一练】
1.已知，设，数列的前项和______.
2.已知是等差数列的前项和，若， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
3.已知数列（）是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
4.在等差数列中，为其前n项和．若．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
考点二：错位相减
例1.设数列 的前项和分别为 ，且，，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令，求的前项和.
【方法总结】
错位相减
【练一练】
1.设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
2．已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，且，求的前项和.
3．已知数列的前n项和为，且
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
4.已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
考点三：分组求和
例1.已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【方法总结】
根据通项公式的特点，采用分组求和
【练一练】
1.设是公比为正数的等比数列， ，.
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.
2.已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
3.已知等差数列的前项和为., .
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
4.已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【巩固练习】
1．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
2．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
3．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
4.在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列，且___________.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
5．数列的前项和为，是和1的等差中项，等差数列满足,.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.

展开更多......

收起↑