资源简介

常用逻辑用语
知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.
4．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p q p且q p或q 非p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
5.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示．
6．全称命题和特称命题
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
名称 全称命题 特称命题
结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x0，使p(x0)成立
简记 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
否定 x0∈M，綈p(x0) x∈M，綈p(x)
常用结论
1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
典 型 例 题 剖 析
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
例1　(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是(　　)
①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；
②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③命题“全等三角形面积相等”的否命题；
④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(2020新课标III理16)关于函数．
①的图像关于轴对称；②的图像关于原点对称；
③的图像关于对称；④的最小值为．
其中所有真命题的序号是 ．
练习：
1．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））若，，则p为q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2022·四川省通江中学高二开学考试（理））“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围
延伸探究　本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围．
6．（2022·山东聊城·高一期末）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
7.已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
8.命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
练习：
4.（2022·广东珠海·高一期末）设集合，语句，语句.
(1)当时，求集合与集合的交集；
(2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
5.若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是16.（2022·全国·高三专题练习）已知命题：，命题：，若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
高频考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假判
例9.下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
10.已知命题p： k∈(1,2)，方程－＝1都表示双曲线；q：抛物线y＝4x2的焦点坐标为(1,0)，下列判断正确的是(　　)
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
11.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
12.命题“”的否定是
A． B．
C． D．
练习：
7.下列命题中的假命题的是
A． B．
C． D．
8.设命题：，，则为( )
A． B．
C． D．
9.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
高频考点四：根据全称（特称）命题的真假求参数
例13.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14.已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤2
C．a>1 D．－2≤a≤1
15.已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对 x1∈[0,3]， x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________．
延伸探究　本例(2)中，若将“ x2∈[1,2]”改为“ x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
练习：
10.命题“”为真，则实数a的范围是__________
11.已知命题“ x0∈R，使ax－x0＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
12.已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
13.命题，恒成立是假命题，则实数a的取值范围是________________．
解答题：
1．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
2．已知命题p：若关于x的方程有实根.命题q：关于x的函数在上是增函数.
(1)若是真命题，是真命题，求实数a的取值范围.
(2)命题r：，若命题r是命题q的充分不必要条件，求实数t的取值范围.
3．已知命题：函数的图象与轴至多有一个交点，命题．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
4．已知集合，．
（1）命题：，命题：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
5．（2022·辽宁·育明高中高二期末）已知集合．
(1)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．常用逻辑用语
知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A B；②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；④若p是q的充要条件，则A＝B.
4．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p q p且q p或q 非p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
5.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示．
6．全称命题和特称命题
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
名称 全称命题 特称命题
结构 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x0，使p(x0)成立
简记 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
否定 x0∈M，綈p(x0) x∈M，綈p(x)
常用结论
1．逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
典 型 例 题 剖 析
高频考点一：充分条件与必要条件的判断
例1　(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是(　　)
①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；
②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③命题“全等三角形面积相等”的否命题；
④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
2．（2022·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
3.已知p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
4．(2020新课标III理16)关于函数．
①的图像关于轴对称；②的图像关于原点对称；
③的图像关于对称；④的最小值为．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
练习：
1．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））若，，则p为q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
2．（2022·四川省通江中学高二开学考试（理））“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
高频考点二：充分条件与必要条件的应用
已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈A是x∈B的必要条件，知B A.
则
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
延伸探究　本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围．
解　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，
∴AB，
则或
解得m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞)．
6．（2022·山东聊城·高一期末）已知集合，非空集合，若是成立的一个充分而不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
由题意得，，
由是成立的一个充分而不必要条件，得，
即解得，，
故答案为：.
7.已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　A
解析　因为q：|x＋2a|<3，
所以q：－2a－3记A＝{x|－2a－3p：x≥a，记为B＝{x|x≥a}．
因为p是q的必要不充分条件，所以AB，
所以a≤－2a－3，解得a≤－1.
8.命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
练习：
4.（2022·广东珠海·高一期末）设集合，语句，语句.
(1)当时，求集合与集合的交集；
(2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)由题设，，当时，
所以；
(2)由题设，，且，
若是的必要不充分条件，则，又a为正实数，即，解得，
故的取值范围为.
5.若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1答案　[1,2]
6.（2022·全国·高三专题练习）已知命题：，命题：，若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
【答案】##（4，6]
高频考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假判
例9.下列命题中的假命题是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
10.已知命题p： k∈(1,2)，方程－＝1都表示双曲线；q：抛物线y＝4x2的焦点坐标为(1,0)，下列判断正确的是(　　)
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
答案　C
11.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
【答案】A
12.命题“”的否定是
A． B．
C． D．
【答案】C
练习：
7.下列命题中的假命题的是
A． B．
C． D．
【答案】B
8.设命题：，，则为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
9.命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
高频考点四：根据全称（特称）命题的真假求参数
例13.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
14.已知命题p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“ x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤2
C．a>1 D．－2≤a≤1
答案　C
15.已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
16.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对 x1∈[0,3]， x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________．
答案　
解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥.
延伸探究　本例(2)中，若将“ x2∈[1,2]”改为“ x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．
答案　
解析　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，
由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，
∴m≥.
练习：
10.命题“”为真，则实数a的范围是__________
【答案】
11.已知命题“ x0∈R，使ax－x0＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案　a>
12.已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是_________.
【答案】
当，有，
则，，使得成立，
等价于，，
即，在上恒成立，
参变分离可得：，
当，，当时取等，
所以，
故答案为：.
13.命题，恒成立是假命题，则实数a的取值范围是________________．
【答案】
∵ 命题，恒成立是假命题，
∴ ，，
∴ ，，
又函数在为减函数，
∴ ，
∴ ，
∴ 实数a的取值范围是,
故答案为：.
解答题：
1．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
2．已知命题p：若关于x的方程有实根.命题q：关于x的函数在上是增函数.
(1)若是真命题，是真命题，求实数a的取值范围.
(2)命题r：，若命题r是命题q的充分不必要条件，求实数t的取值范围.
【答案】(1)a的取值范围；
(2)t的取值范围.
3．已知命题：函数的图象与轴至多有一个交点，命题．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）;（2）.
4．已知集合，．
（1）命题：，命题：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
5．（2022·辽宁·育明高中高一期末）已知集合．
(1)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)设命题，若命题p为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)依题意，
，
，，所以.
由于是的充分不必要条件，
所以.
(2)由于命题为假命题，
所以为真命题，
即为真命题，
构造函数，是开口向上的二次函数，
所以，即

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