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2023年高考数学重点突破练3 解析几何
一、离心率的范围问题
1．(2022·南充质检)已知F1(－c，0)，F2(c，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P使得·＝c2，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A. B. C．2 D.
3．(2022·湘豫名校联考)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆O与双曲线M在第一象限交于点A，若tan∠AF2F1≤2，则双曲线M的离心率的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．(1，]
C．(1，] D．[，＋∞)
4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线x＝2a与C交于A，B两点(A在B的上方)，＝，点E在y轴上，且EA∥x轴．若△BDE的内心到y轴的距离不小于，则C的离心率的最大值为(　　)
A. B. C. D.
5．(多选)(2022·重庆育才中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)
A．|QF1|＋|QF2|＝4
B．当离心率为时，|QF1|的最大值为2＋
C．椭圆C离心率的取值范围为
D．存在点Q使得·＝0
6．(多选)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则(　　)
A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点
B．C的离心率的最大值是
C．若·>0，则C的离心率的取值范围是
D．若＝，则C的离心率为
7．(2022·湖南六校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点Q是双曲线C的左支上一动点，圆O：x2＋y2＝1与y轴的一个交点为P，若|PQ|＋|QF|＋|PF|≥13，则双曲线C的离心率的取值范围为______________．
8.(2022·温州模拟)如图，椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)和C2：＋＝1有相同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，B为椭圆C1的上顶点，F2P⊥F1B，且垂足P在椭圆C2上，则的最大值是________．
二、椭圆、双曲线的二级结论的应用
1．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是(　　)
A. B. C．3 D．5
3．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，且＝2，则△AF1B的外接圆面积为(　　)
A. B．4π C．9π D.
4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．3
5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　)
A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2
C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是
D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是
6．(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线的左支上一点，且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线C的离心率为2
B．若PF1⊥PF2，且＝3，则a＝2
C．以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切
D．若点P在第二象限，则∠PF1A2＝2∠PA2F1
7．椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在两点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为－，则椭圆的离心率e＝________.
8.(2022·成都模拟)经过椭圆＋y2＝1中心的直线与椭圆相交于M，N两点(点M在第一象限)，过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则cos∠NMP的值是________．
三、抛物线的二级结论的应用
1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则·等于(　　)
A. B．－ C．3 D．－3
2.如图，过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则|AB|等于(　　)
A．8 B．9 C．10 D．12
3．倾斜角为的直线l交抛物线C：y2＝2px(p>0)于A，B两点，且OA⊥OB，S△AOB＝8，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝4x D．y2＝8x
4．直线l过抛物线y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，则(　　)
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M(－1，－1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝2 B．k＝－2
C．MF⊥AB D.＝
7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为______．
8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________．
参考答案
一、离心率的范围问题
1．B　2.B　3.D
4．B　[因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以A(2a，b)，B(2a，－b)，
则|AB|＝2b.
因为＝，
所以A是线段BD的中点，
又EA∥x轴，
所以|ED|＝|EB|，EA⊥BD，
所以△BDE的内心G在线段EA上．
因为DG平分∠EDA，在△EDA中，
由角平分线定理知＝，
因为G到y轴的距离不小于，
所以≥＝2，
所以≥2，所以∠EDA≥60°，
因此tan∠EDA＝＝≥，即a≥3b，≤，
故15．AB　[由长轴长为4，故2a＝4 a＝2，由点Q在椭圆上，
根据椭圆的定义得|QF1|＋|QF2|＝4，故A正确；
当离心率为时，
可得e＝＝ c＝，
则|QF1|的最大值为2＋，故B正确；点P(，1)在椭圆内部，
故＋<1 4>b2>2，
椭圆C的离心率为e＝＝∈，故C错误；
由选项C知，c＝ae∈(0，)，
b∈(，2)，
∴|OQ|min＝b>c，
故不存在点Q使得·＝0，故D错误．]
6．ACD　[对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与C没有公共点(如图)，故选项A正确；
对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知|FD|＝b，
因为圆F与直线l相交，
所以b所以c2<2a2，即e2<2，
所以C的离心率的取值范围是(1，)，故选项B错误；
对于C，若·>0，
则0<∠AFB<，
故0<∠AFD<，
故cos∠AFD>，
所以>，
即>，a得e2>，
又由B知e∈(1，)，
所以e∈，故选项C正确；
对于D，因为＝，
所以A为线段OB的中点，
设|AD|＝m，
则|OA|＝2m，|OD|＝3m，
在Rt△AFD和Rt△OFD中，
由勾股定理得消去m2，
得c2＝9a2－8b2，
即17a2＝9c2，
所以e＝，故选项D正确．]
7.　8.
二、椭圆、双曲线的二级结论的应用
1．C　2.B　3.D
4．A　[如图，
∵·＝0，
∴BA⊥BP，令kAB＝k，
∵∠ADO＝∠AOD，
∴kAP＝－kAB＝－k，
又BA⊥BP，∴kPB＝－，
依题意知kPB·kPA＝，
∴－·(－k)＝，
∴＝1，即e＝.]
5．BD　[设P(x0，y0)，
所以＋＝1，
∵e＝＝，
∴a＝2c，∴a2＝b2，
∴＝－＝－，
∴选项A错误；
若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan＝b2，∴选项B正确；
若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，
∴·2c·b>b2，
∴c>b，∴c2>a2－c2，
∴e∈，∴选项C错误；
若|PF1|≤2b恒成立，
∴a＋c≤2b，
∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，
∴5e2＋2e－3≤0，
∴0∴选项D正确．]
6．ACD　[对于A，设P(x，y)，则y2＝b2，
因为A1(－a，0)，A2(a，0)，
所以＝＝3，
得e＝＝2，故A正确；
对于B，因为＝2，
所以c＝2a，根据双曲线的定义可得
|PF2|－|PF1|＝2a，
又因为PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的面积为＝b2＝3，
又＝3，所以a＝1，故B错误；
对于C，设PF1的中点为O1，O为原点．因为OO1为△PF1F2的中位线，
所以|OO1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a，
则可知以线段PF1，A1A2为直径的两个圆外切，故C正确；
对于D，设P(x0，y0)，
则x0<－a，y0>0.
因为e＝2，所以c＝2a，b＝a，
则渐近线方程为y＝±x，
所以∠PA2F1∈，
∠PF1A2∈.
又tan∠PF1A2＝＝，
tan∠PA2F1＝－，
所以tan 2∠PA2F1＝
＝
＝
＝
＝
＝＝tan∠PF1A2，
因为2∠PA2F1∈，所以∠PF1A2＝2∠PA2F1，故D正确．]
7.
解析　如图，设MN的中点为Q，
∴yQ＝－，
∴xQ＝yQ－1＝－，
∴Q，∴kOQ＝，
M，N关于直线l对称，
∴MN⊥l，∴kMN＝－1，
由点差法可得kMN＝－·，
又kOQ＝，
∴kOQ·kMN＝－，
∴×(－1)＝－，
∴＝，即a2＝4b2＝4(a2－c2)，
即3a2＝4c2，
∴e＝.
8．0
解析　设M(x1，y1)(x1>0，y1>0)，P(x0，y0)，
则N(－x1，－y1)，E(x1，0)，
所以kMN＝，
kPN＝kEN＝＝，
kPM＝，
kPN×kPM＝·＝＝－，
所以kPN＝－＝，
所以kPM＝－.
所以kMN×kPM＝×＝－1，
所以MN⊥MP，
所以cos∠NMP＝cos ＝0.
三、抛物线的二级结论的应用
1．D　2.B　3.B
4．C　[不妨令直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝＝，
|BF|＝＝，
又|AF|＝3|BF|，
∴＝3·，
解得cos θ＝，
又θ∈[0，π)，∴θ＝，
∴|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，
∴|AA′|＝6，|BB′|＝2，
∴|A′B′|＝|AB|sin θ＝8×＝4，
∴S四边形ABB′A′＝×(2＋6)×4＝16.]
5．BCD　[因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线为x＝－1，故A错误；
若|AF|＝4，则xA＝3，
所以y＝4xA＝12，
所以|OA|＝＝，故B正确；
设直线AB的倾斜角为α，α∈(0，π)，
|AF||BF|＝·＝＝4p2，
∴sin2α＝，
∴sin α＝，
∴α＝30°或150°，
∴tan α＝±，故C正确；
对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴，
所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠AFH，所以HF＝AF＝AH，
所以＝xF，即xA＝3，
所以|AF|＝xA＋1＝4，故D正确．]
6．ABC　[由题意知，抛物线C的准线为x＝－1，
即＝1，解得p＝2，故选项A正确；
∵p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，
∵以AB为直径的圆与准线相切，
∴点M(－1，－1)为切点，
∴圆心的纵坐标为－1，即AB中点的纵坐标为－1，
设AB：x＝ty＋1，联立
得y2－4ty－4＝0，Δ＝16t2＋16>0，
∴y1＋y2＝4t＝－2，
∴t＝－，即k＝－2，
故选项B正确；
∵k＝－2，kMF＝＝，kMF·k＝－1，
∴MF⊥AB，故选项C正确；
过A作AA1⊥x轴，过B作BB1⊥x轴，
抛物线的准线交x轴于点C，设∠BFB1＝θ，
∴|BF|＝，
|AF|＝，
又p＝2，k＝－2，则cos θ＝，
∴＝＝
＝＝，
故选项D错误．]
7．±2
解析　由抛物线的焦点弦的性质知＋＝＝1，
又|MF|＝2|NF|，
解得|NF|＝，|MF|＝3，
∴|MN|＝，
设直线l的倾斜角为θ，
∴k＝tan θ，
又|MN|＝，∴＝，
∴sin2θ＝，
∴cos2θ＝，
∴tan2θ＝8，
∴tan θ＝±2，故k＝±2.
8．13
解析　由题设知，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程为y2＝8x，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，
则＋＝＝，
圆C2：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，
|PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1)
＝|PF|＋4|QF|－5
＝2(|PF|＋4|QF|)－5
＝2×＋5
≥4＋5＝13，
当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13.

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