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2022-2023学年第一学期第二次月考
高三数学试题
考试范围：不等式部分 函数2.1-2.9 导数3.1-3.3 三角函数4.1-平面向量5.1
说明：1.本试卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.
2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.
一 单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数在上是（ ）
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定
3.设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2022年我国某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于（ ）参考数据：；
A.战国 B.汉 C.唐 D.宋
5.（ ）
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.若，则（ ）
A. B.
C. D.
8.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数的图象（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
10.已知函数，下列说法正确的有（ ）
A.曲线在处的切线方程为
B.的单调递减区间为
C.的极大值为
D.方程有两个不同的解
11.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是和图象的连续相邻的三个交点，若为钝角三角形，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.1
三 填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________.
①为偶函数；②关于中心对称；③在上的最大值为3.
14.已知向量，则在上的投影向量__________.
15.设函数，已知在上有且仅有675个极值点，则的取值范围是__________.
16.已知，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知的内角所对的边分别为，记的面积为，且满足.
（1）求角；
（2）若，且，求.
18.（12分）设.
（1）求的单调递增区间及对称中心；
（2）当时，，求的值.
19.（12分）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离.
（1）请将表示为的函数；
（2）如何行使用时最短，最短时间是多长？
20.（12分）已知函数.
（1）求在的切线方程；
（2）求的最值.
21.（12分）阅读下面的两个材料：
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜 中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式.
请你解答下面的两个问题：
（1）已知的三条边为，求这个三角形的面积；
（2）已知的三条边为，求这个三角形的面积；
（3）请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明.（如果多做，则按所做的第一个证明记分）.
22.（12分）函数，在点处的切线方程为.
（1）求；
（2），证明：.
2022-2023学年第一学期第二次月考
高三数学答案
一 单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.A
二 多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.AD 10.AB 11.BCD 12.ABC
三 填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.（答案不唯一） 14. 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解析：（1）由余弦定理可得，，所以，
所以，所以.
（2），
所以.
，所以，所以，
由正弦定理可得，，所以，
所以.
18.解析：（1）由题意得：，
由，可得；
所以的单调递增区间是；
令，，解得：，，此时函数值为-1，
所以对称中心为.
（2）∵
∴，
∵，∴，
∵当时，，
∴
，
.
19.解析：（1）；
（2），
所以，
令，则；令，则，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当，有最小值.
20.解析：（1），，，
所以在的切线方程为.
（2）由（1）得，所以为奇函数且，所以只需研究即可，
因为，
由得，即时单调递增，
由得，即时单调递减，
所以当时，，
又因为为奇函数，所以.
21.解析：（1）由题意得：，
由海伦公式得：.
（2）由题意得：，
由秦九韶公式得：.
（3）证明秦九韶公式如下：
在中，，，，
过点作，设，，，
由得：，，，
.
证明海伦公式如下：
根据秦九韶公式得：
设，
.
22.解析：（1），
，所以.
所以.
（2）令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即.
若要证明，只需证明，
先证当时，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以当时，，即，所以.
故只需证明.
令，
则，所以在上单调递减，
所以当时，，
所以.综上知，.

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