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海淀区重点中学2023届高三下学期3月模拟数学试题
教学班级__________姓名__________学号__________
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，则满足的集合B可能是（ ）．
A． B． C． D．
2．复数z满足，则在复平面内，z对应的点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在的展开式中，x的系数为（ ）．
A．80 B． C．40 D．
4．下列函数中是奇函数，且在区间上是增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
5．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段的中点M的横坐标为4，则长为（ ）．
A．10 B．8 C．5 D．4
6．当N个相同的声强级为的声源作用于某一点时，就会产生声强级的叠加，叠加后的声强级，已知一台电锯工作时的声强级是，则10台相同电锯工作时的声强级与5台相同电锯工作时的声强级的关系约为（ ）．（（参考数据：）
A． B． C． D．
7．已知函数满足，则函数是（ ）．
A．奇函数，关于点成中心对称 B．偶函数，关于点成中心对称
C．奇函数，关于直线成轴对称 D．偶函数，关于直线成轴对称
8．数列是无穷项数列，则“存在，且”是“存在最大项”的（ ）．
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知点，直线l与圆交于两相异点B，C，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
10．现有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是（ ）．
A．12 B．16 C．20 D．24
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则为__________．
12．已知双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率e的最大值是__________．
13．在平面直角坐标系中，单位圆上三点A，B，C满足：A点坐标为并且，在上的投影向量为，则__________．
14．已知函数，则的最小值是__________，若关于x的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数a的取值范围是__________．
15．如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；②一定是锐角；
③；④三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有__________．
三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
在中，，，．
（1）求；
（2）求c．
17．（本小题13分）
为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：
康复时间 只服用药物A 只服用药物B
7天内康复 360人 160人
8至14天康复 228人 200人
14天内未康复 12人 40人
假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：
(3)从只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中，1，2，…，100．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
18．（本小题14分）
如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，，，E是的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)已知，点M在棱上，且二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的值．
条件①：平面平面；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题15分）
已知函数．
（1）若在处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
（3）若在区间上恒成立，求a的取值范围．
20．（本小题15分）
已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
21．（本小题15分）
对于一个有穷单调递增正整数数列P，设其各项为，，…，，若数列P中存在不同的四项，，，满足，则称P为等和数列，集合称为P的一个等和子集，否则称P为不等和数列．
（1）判断下列数列是否是等和数列，若是等和数列，直接写出它的所有等和子集；
A：1，3，5，7，9； B：2，4，6，7，10；
（2）已知数列P：，，，，是等和数列，并且对于任意的，总存在P的一个等和子集M满足集合，求证：数列P是等差数列；
（3）若数列P：，，…，是不等和数列，求证：．
数学答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A C D D A B
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
11． 12． 13． 14．， 15．①③④
三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，，，
所以在中，由正弦定理得．
所以．
故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．
又因为，所以．
所以．
在中，．
所以．
17．（本小题13分）
解：（1）只服用药物A的人数为人，
且能在14天内康复的人数有人，
故一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率为．
（2）只服用药物A的患者7天内康复的概率为，
只服用药物B的患者7天内康复的概率为，
其中X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
则分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望为．
（3）2．
18．（本小题14分）
（1）取中点F，连接，，
因为E是的中点，F是中点，所以是中位线，
所以平行且等于的一半，
因为，所以平行于，
又，所以与平行且相等，
所以四边形为平行四边形，
所以平行于，而平面，平面，
所以直线平面．
（2）若选①：平面平面，取中点O，
因为侧面为等边三角形，所以平面，
易证平面，
以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，解得，所以，
易知底面一个法向量为，
又二面角的大小为，
所以，解得，
又点M在棱上，所以，所以，所以的值为．
若选②：则取中点O，
因为侧面为等边三角形，所以平面，
连接，，，
易知≌≌，
所以，
以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，解得，所以，
易知底面一个法向量为，
又二面角的大小为，
所以，解得，
又点M在棱上，所以，所以，所以的值为．
19．（本小题15分）
解：（1），
令，解得．
经检验，当时，在处的切线为，满足题意．
（2）的定义域为，，
当时，，在上单调递增，无极值点；
当时，令，，
x
－ 0 ＋
此时，存在极小值点，无极大值点．
（3）设，，
当时，，在上单调递增，，结论不成立；
当时，令，，
若，即，
x
－ 0 ＋
只需，
设，，，
所以，在上单调递增，，
因此，在上无解；
若，即，，在上单调递减，
所以，恒成立，
综上所述，a的取值范围是．
20．（本小题15分）
解：（1）依题意，，解得，
所以，椭圆E的方程为．
（2）显然直线l的斜率存在，不妨设直线，
因为过点，所以，，
联立，消去y，得，
，
设点，，
所以，，，
，
直线，直线，
联立，解得，即，
所以，，，
所以，．
21．（本小题15分）
解：（1）A是等和数列，所有的等和子集为，，；
B是不等和数列．
（2）数列P最多有如下五个等和子集：，，，，，
考虑，，只可能是如下三种情况的一种：
，，，
若，则，不是P的等和子集，
否则，或，并且不是P的等和子集，否则，，
所以，P的所有等和子集有，，
此时，，该情况不成立，即；
由对称性可知，，
因此，，此时，，不是P的等和子集，
考虑，，
故，是P的等和子集，
故，，
由以上三式可知＝，即数列P是等差数列．
（3）假设，且不是整数，
则对于任意，总有，
因为数列P是不等和数列，所以，至少有个不同的取值，
若存在，则，，此时，有，
所以，，只有个不同的取值，
因此，，，
又因为存在，所以，，
此时，，矛盾．
若不存在，则，恰个不同的取值，
所以，，，并且，，
此时，，矛盾．
综上，．

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