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汇文中学教育集团2023届高三下学期3月校模数学试题
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，那么等于（ ）．
A． B． C． D．
2．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
3．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．已知直线m，n和平面，如果，那么“”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在等比数列中，，，则等于（ ）．
A．9 B．72 C．9或72 D．9或72
6．下列函数中，定义域为R的奇函数是（ ）．
A． B． C． D．
7．已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）．
A． B． C． D．
8．在空间直角坐标系中，正四面体的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
9．如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么的值为（ ）．
A．1 B． C． D．
10．如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，上的动点，设，．若棱与平面有公共点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．
11．复数__________．
12．在的展开式中，常数项是__________（用数字作答）．
13．若，则__________．
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则__________．
15．设函数，其中．
①若，__________；
②若函数有两个零点，则a的取值范围是__________．
三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本小题14分）
如图，在四边形中，，，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的长．
17．（本小题14分）
如图，在四棱锥中，O是边的中点，底面，．在底面中，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
18．（本小题14分）
自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．
19．（本小题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的，都有，求k的取值范围．
20．（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线，分别与x轴交于点M，N．当时，求k的值．
21．（本小题14分）
设数列A：，，…，．
如果，且当时，，则称数列A具有性质P．对于具有性质P的数列A，定义数列：，，…，，
其中．
（1）对：0，1，1，写出所有具有性质P的数列A；
（2）对数列E：，，…，，其中，证明：存在具有性质P的数列A，使得与E为同一个数列；
（3）对具有性质P的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个．
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．i 12．15 13．40 14． 15．；
三、解答题（共6小题，共85分）
16．解：（Ⅰ）因为，，，，
所以，，
由于，
则
．
（Ⅱ）由已知及正弦定理，可得，解得，
由于，，
在中，由余弦定理可得
．
17．解：（Ⅰ）在四边形中，
因为，，O是的中点，
则，．
所以四边形是平行四边形．所以．
又因为平面，平面，
所以平面．（5分）
（Ⅱ）连结．
因为平面，所以，．
又因为点O是的中点，且，所以．
因为，，，
所以四边形是正方形．所以．
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，
则，即．
令，则．
因为平面，
所以是平面的一个法向量．
所以．
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
18．解：（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在且未使用自由购的共有（人），
所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率为．
（2）X所有的可能取值为1，2，3，
，，
．
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以X的数学期望为．
（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有（人），
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为（个）．
19．解：（Ⅰ）．
令，得．
当时，与的情况如下：
x k
＋ 0 － 0 ＋
0
所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是．
当时，与的情况如下：
x k
0 0 ＋ 0 －
0
所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是．
（Ⅱ）当时，因为，所以不会有，．
当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是．
所以，等价于．
解得．
故当，时，k的取值范围是．
20．解：（1）依题意可知：，解得，
故椭圆E的方程为：．
（2）由题可设直线方程为：，，，
联立直线和椭圆E方程：，
可得，
由可得，解得，
根据韦达定理可得：，，
直线的斜率为，的直线方程为，
令，可得点M的横坐标，
同理可得点N的横坐标．
则有
即．
∵，
，
∴，
即，两边平方则有，解得．故k的值为．
21．解：（1）因为：0，1，1，所以，则．
因为，，，所以，，，
又，
所，或，
当时，，，
当时，，或，，
综上所述：所有具有性质P的数列A为：4，1，2，3、3，1，2，4、2，1, ，3，4．
（2）由于数列E：，，…，，其中，
不妨设数列E：，，…，中恰有s项为1，
若，则A：n，，…，1符合题意，
若，则A：1，2，…，n符合题意，
若，则设这s项分别为，，…，，
构造数列A：，，…，，令，，…，分别为，，…，n，
数列A的其余各项，，…，分别为，，…，1，
经检验数列A符合题意．
（3）对于符合题意的数列A：，，…，，
①当n为奇数时，存在数列：，，…，符合题意，
且数列A与不同，与相同，
按这样的方式可由数列构造出数列A，
所以n为奇数时，这样的数列A有偶数个，
当时，这样的数列A也有偶数个，
②当n为偶数时，
如果n，是数列A中不相邻的两项，交换n与得到数列符合题意，
且数列A与不同，与相同，
按这样的方式可由数列构造出数列A，
所以这样的数列A有偶数个，
如果n，是数列A中相邻的两项，由题设知，必有，，，
除这三项外，，，…，是一个项的符合题意的数列A，
由①可知，这样的数列A有偶数个，
综上，这样的数列A有偶数个．

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