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郑州市重点中学2022-2023学年下期高三调研5考试试卷
数 学（理科）
（120分钟 150分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集U＝{x∈N|2}，A＝{2，3}，则 UA＝（　　）
A．{0，1} B．{0，4} C．{1，4} D．{0，1，4}
2．已知复数z≠0，则“|z|＝1”是“”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足
①对任意的x都有f（x+4）＝f（x）成立；
②当x∈[0，2]时，f（x）＝2﹣2|x﹣1|，
则在[﹣4，4]上根的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n（Ω）＝12，n（A）＝6，n（B）＝4，n（A∪B）＝8，则事件A与事件（　　）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
5．设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．9
6．已知随机变量，下列表达式正确的是（　　）
A． B．E（3X+1）＝4 C．D（3X+1）＝8 D．
7．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P（B|A），P（A|B）分别等于（　　）
A．， B．， C．， D．，
8．矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且AB＝BC＝20m，则四门通天的高度为（　　）
A． B． C． D．
9．函数的部分图象如图所示，f（x）的图象与y轴交于点M，与x轴交于点C，点N在f（x）的图象上，点M、N关于点C对称，则下列说法中正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）的图象向右平移后，得到函数g（x）的图象，则g（x）为偶函数C．函数f（x）在（，）上单调递减
D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称
10．已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与C在第二象限交于点A，且双曲线C的一条渐近线垂直平分线段AF2，则C的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
11．已知点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为线段B1C1上一点，NC1＝2B1N，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（　　）
A． B． C． D．
12．对于函数f（x）＝ex+alnx（a∈R），有下列四个论断：
①f（x）是增函数； ②f（x）是奇函数；
③f（x）有且仅有一个极值点； ④f（x）的最小值为e．
若其中恰有两个论断正确，则a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣e D．e
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上.）
13．在等比数列{an}中，a3，a7是函数的极值点，则a5＝
14．若直线ax+by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为
15．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为
16．已知正四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上．过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形T，则T的边数至多为 　　，T的面积的最大值为 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（一）必考题：共60分.
17．（12分）记Sn为数列{an}的前n项的和，已知a1＝1，是公差为的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令，记数列{bn}的前n项和为Tn，试求T2n﹣1除以3的余数．
18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，AD∥BC，AF∥BE，AD⊥AB，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2．
（1）已知点G为AF上一点，且AG＝1，求证：BG∥平面DCE；
（2）已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．
19．（12分）某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2．
（1）若p1，p2，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
（2）已知p1+p2，则：
①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．过右焦点F2的直线l与C交于A，B两点，△ABF1的周长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点O作一条垂直于l的直线l1，l1交C于P，Q两点，求的取值范围．
21．（12分）已知函数，，其中a∈R．
（1）若方程f（x）＝g（x）在[1，e]（e为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围；
（2）若存在x∈[1，e]，使不等式成立，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题给分.
22．【选修4﹣4：极坐标与参数方程】（10分）
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l的一个公共点在x轴上．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若点P，Q，R在曲线C上且三点的极坐标分别为，求的值．
23．【选修4﹣5：不等式选讲】（10分）
已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≤3的解集M；
（2）设M的最小的数为m，正数a，b满足a+b＝3m，求的最小值．2023年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试参考答案
1.D【命题意图】本题考查复数的乘法和复数的模，要求考生会求复数的模
【解题分析】因为之·=(2+i)(2-i)=5,所以川z·一1十3i=4十3i=5.
2.A【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解并集和补集的含义
【解题分析】因为U={1,2,3,4,5,6},AUB=1,2,3,4,5},所以0(AUB)=6}.
3.D【命题意图】本题考查统计图表，要求考生理解数据的数字特征
【解题分析】这16日道路中度拥培的频率为-0375，故A项错误：
极差为275
80=195,故B项错误；
中位数为
×(192+214)=203,故C项错误：
x=200
×[14+75+43+(43)十(120)+(48)+60+(-117)+(-40)+(-21)+
1
(一62)+14叶21+63+23+(-80]-209<20，故D项正确
4.C【命题意图】本题考查向量的夹角，要求考生会使用向量的坐标进行向量数量积的运算
【解题分析】由cos(a,b》=
a·b
=31十4
ab5X√+i
号，解得0或学
5,C【命题意图】本题考查对数的实际应用，要求考生理解对数的运算性质，能使用对数解决现实
生活中的问题.
【解题分析】由题意知1g(100X)=6lg(1十p)十gX,
即1g102+1gXo=61g(1+p)+lgX,即2+lgX。=6g(1Tp)+lgXg,
所以1十p=10京≈2.154，解得≈1.154-115.4%.
6.D【命题意图】本题考查椭圆的离心率，要求考生能根据椭圆的性质求椭圆的离心率，
【解题分析】设c为半焦距，因为△ABOAF PF2,所以PF:⊥FF2,
6
故点，=名)，因为受名，至理得62，所份=-，得日-号
7.C【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数y=Asi(ax十g)中各参数
对图象的影响，理解正弦函数在区间[0,2x]上的性质.
【解题分析】因为函数)的最小正周期为T4×(餐吾)=行，所以w-祭=3。
所以f(x)=sin(3x+)
因为=爵是)的一-个极值点，所以3×管十p一十
18
∈D,
所以g=kπ
哥ke.
因为<罗
所以9=一
，所以f)=sin(3x
3
数学卷参考答案（玉）第1页〔共8页)
【23·ZX·MNW·数学理科·N】
所以f)=m(3×号一君=停
8.C【命题意图】本题考查三视图，要求考生能根据三视图还原出几何体，并能求出儿何体的表
面积，
【解题分析】由已知中的三视图，得圆锥丹线1=√(5)+(2)=2，
圆锥的高h=√(5)一1？=2，圆锥的底面半径为r=√一2=2，
载去的底面圆弧的圆心角为暂，故该几何体的侧面积为S=号
2
含×2gx5-82+v压.
底面利余部分的面积为S-=号r+rn经=号x+3。
2
故几何体的表面积为S职
8√2+8
3
π+/3士√15
9D【命题意图木题考查解三角形，要求考生理解正弦定理和余弦定理
【解题分析】由题意知SAAc-
nA号解得血A-厚放A音或号
①当A=于时，a2=+c2-2 ebccos A-=3=a-V3,故BD=9
因为a+2=6,所以B=受，
在R△ABD中，AD=AB+BD=子>AD=号，
2
②当A=时，a2=分+e2-20sA=7a-7敌BD-
2
在△ABC中，由余弦定理可知cos B=十二2_27
2ac
在△ABD申，ADP=AB+BD-2AB·BDeos B=子，放AD=
综上所述，△ABC的中线AD的长为号或号
10,A【命题意图】本题考查计数原理与古典概型，要求考生理解计数原理，会使用计数原理进行
简单的计算
【解题分析】从正四棱柱的8个顶点及其体对角线的交点（中心点）中任取4个点，有C=126种
结果，4个点恰好能构成三棱锥的情况有两类：
①从正四棱柱的8个顶点中取4个点，共有C=70种结果，
其中四点共面有两种情况，一是四点构成侧面或底面，有6种情况：
二是四点构成对角面（如平面AACC),有6种情况.
四点在同一个平面的情况有6+6=12种，故能构成的三棱锥有70一12=58个.
②从正四棱柱的8个顶点中任取3个，共有C=56种结果，
数学卷参考答案（五）第2页（共8页）
【23·ZX·MNJ·数学理科·N】

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