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泸州市龙马高中高2022级高一下第一次月考数学试题
命题人：成忠航做题人：尚文平审题人：温振华
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名考号、姓名、班级填写在答题卡.
2.回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目所选的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再涂黑.回答非选择题，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.总分150分，建议答题不超过120分钟；考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.的值是（ ）
A. B. C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.0
4.在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：，，则这两个声波合成后即的振幅为（ ）
A. B.8 C.4 D.
5.已知，，，，则（ ）
A. B. C. D.或
6.函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A. B. C. D.
7.某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（ ）
A. B.
C. D.
8.若函数（）在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列叙述不正确的是（ ）
A.若，则
B.“”是“”的充分不必要条件
C.命题：，，则命题的否定：，
D.函数的最小值是4
10.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度
B.所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度
C.向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D.向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
11.下列说法正确的有（ ）
A.若函数的图象经过点，则函数是偶函数
B.函数为奇函数
C.函数（且）的图像恒过定点
D.函数的递减区间是
12.已知函数，则下列选项中结论正确的是（ ）
A.由可得是的整数倍
B.函数为偶函数
C.函数在为减函数
D.函数在区间上有19个零点
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.求值：______.
14.已知，则______.
15.函数的定义域为______.
16.记集合，当时，函数的值域为，若“”是“”的必要条件，则的最小值是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）已知集合，，.
（1）求，；
（2），求实数的取值范围.
18.（12分）已知，是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且.
（1）求点的坐标；
（2）求的值.
19.（12分）已知函数.
（1）若关于的不等式的的解集是，求，的值；
（2）设关于不等式的在上恒成立，求实数的取值范围.
20.（12分）如图所示，有一块扇形钢板，面积是平方米，其所在圆的半径为1米.
（1）求扇形圆心角的大小；
（2）现在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求使裁下的钢板面积最大.设，试问如何确定的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
21.（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数所在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围，并计算的值.
22.（12分）已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，
①判断的单调性（不要求证明）；
②对任意实数，不等式恒成立，求正整数的取小值.
泸州市龙马高中高2022级高一下第一次月考
数学试题（参考答案）
一、选择题
1-8.CACAACCB 9.BD 10.AC 11.ABC 12.BC
7.【分析】由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据的图象变换规律，可得结论.
【详解】解：由函数（其中，）的图象可得，，求得.再根据五点法作图可得，求得，
函数.故把的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选C.
8.【分析】利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式，结合三角函数的最值即可求解.
【详解】因为在上单调，所以，即,则，
由此可得.
因为当，即（）时，函数取得最值，
欲满足在上存在极最点，
因为周期，故在上有且只有一个最值，
故第一个最值点，得，
又第二个最值点，
要使在上单调，必须，得.
综上可得，的取值范围是.故选：B.
12.【分析】根据三角恒等变换求得的解析式，对于A，取特殊值，，即可得出判断，
对于B，求出的表达式，由三角函数的奇偶性即可判断，对于C，当时，求得，结合正弦函数单调性即可判断；对于D，令，则，，
由题意解得，由此即可判断.
【详解】由题意得函数，
对于A，当，时，，但不是的整数倍，A错误；
对于B，是偶函数，B正确；
对于C，当时，，
由正弦函数在上单调递减，知在上为减函数，C正确；
对于D，令，则，，
即，，由，解得，
因为，所以，因此在区间上有20个零点，D错误，
故选：BC
二、填空题
13. 14. 15. 16.3
16.【分析】根据三角函数知识求出，再根据必要条件的概念列式可解得结果.
【详解】函数f（θ）＝2.
当时，，所以，
所以，即，
若“”是“”的必要条件，则.
所以，所以，
的最小值是3.故答案为：3.
三、解答题
17.解：（1）由已知得；
，；
（2）， ，
当集合时，，即；
当集合时，，即，
综上所述，实数的取值范围为.
18.解：设点坐标为，则，
因为点在第二象限，所以，
点坐标为.
（2）解：由诱导公式可得
由（1）知，，所以，
所以.
19.解：（1）根据二次不等式的解集与系数的关系可得和是方程的两根，
故，解得，由韦达定理有，解得.
故，
（2）在上恒成立，即恒成立.当时满足题意，
当时，恒成立，因为，当且仅当时取等号.
故，即的取值范围为.
20.解：（1）依题意，，
设，则，，
即扇形圆心角的大小为.
（2）连接，设，过作，垂足为，
在中，，
所以，
设四边形的面积为，
则
，
由于，，，
所以当，时，取得最大值为（平方米）.
所以当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米.
21.解：函数.
化简可得：
（1）函数的最小正周期，
由时单调递增，
解得：
函数的单调递增区间为：，.
（2）函数所在匀上有两个不同的零点，，
转化为函数与函数有两个交点
令，，
可得的图象（如图）.
从图可知：在，函数与函数有两个交点，
其横坐标分别为，.
故得实数的取值范围是，
由题意可知，是关于对称轴是对称的：
那么函数在的对称轴
那么：
22.解；（1）因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，
则，得或.此时定义域为，满足题意.
（2）①因为，所以.函数，定义域为，
因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增.
②对任意实数，恒成立，，
由①知函数在上单调递增，
可得在上恒成立.
因为，
所以，即.
于是正整数的最小值为3.

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