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江苏省新高考2023届高三下学期大联考3月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、设集合，则满足的集合B的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
2、在等差数列中，若，，则( )
A.16 B.18 C.20 D.22
3、命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4、任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.则( )
A.1 B. C. D.i
5、已知函数同时满足下列条件：
①定义域为R；
②；
③为偶函数；
④，
则( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
6、在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
7、如图1所示，抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于焦点上的照射器(馈源，通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角满足，则其焦径比为( )
A. B. C. D.
8、已知，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、在正方体中，点P满足，则( )
A.若，则AP与BD所成角为
B.若，则
C.平面
D.
10、下列命题中，正确的命题是( )
A.若事件A，B满足，，则
B.设随机变量服从正态分布，若，则
C.若事件A，B满足，，，则A与B独立
D.某小组调查5名男生和5名女生的成绩，其中男生平均数为9，方差为11；女生的平均数为7，方差为8，则该10人成绩的方差为9.5
11、已知，是双曲线的左、右焦点，是C上一点.若C的离心率为，连结交C于点B，则( )
A.C的方程为
B.
C.的周长为
D.的内切圆半径为
12、已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线相切于点，则( )
A. B.
C.的最大值为0 D.当时，
三、填空题
13、已知函数则当时，的展开式中的系数为___________.
14、中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为，，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为___________.(参考数据：)
15、已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是___________.
16、在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆.若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是__________.
四、解答题
17、设数列的前n项和为，已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足，求数列的前14项的和.
18、如图，在平面四边形ABCD中，，，，.
(1)若，求；
(2)记与的面积分别记为和，求的最大值.
19、2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩.统计数据显示，中国队主力队员A能够胜任小前锋(SF)大前锋(PF)和得分后卫(SG)三个位置，且出任三个位置的概率分别为，，，同时，当队员A出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为，，.(队员A参加所有比赛均分出胜负)
(1)当队员A参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
(2)在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积3分，负一场积-1分.本轮比赛球队一共进行5场比赛，且至少获胜3场才可晋级第二轮.已知队员A每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为X，求X的数学期望.
20、如图，在五面体ABCDE中，平面，，，.
(1)求证：平面平面ACD；
(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求平面CDE与平面ABED所成角的余弦值.
21、已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N.
(1)若A为线段DM的中点，求点A的坐标；
(2)设，的面积分别为，，若，求线段OA的长.
22、已知函数.
(1)当时，证明：在区间上单调递增；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：，，B可取，，，，4个，选C.
2、答案：B
解析：，，，选B.
3、答案：D
解析：“，”为真命题，“，”成立的一个必要不充分条件为，选D.
4、答案：B
解析：，
，选B.
5、答案：A
解析：满足①②③④(③表示关于对称，④表示关于对称)，，选A.
6、答案：C
解析：，即，即，，，，，，选C.
7、答案：B
解析：，或(舍)，
，即，令抛物线方程：，则，，
，，，
即，，选B.
8、答案：A
解析：，，，在，，
，，，则，，，，，排除D.
，则，，，，排除B.
比较与大小，先比较与大小，，
，综上，选A.
9、答案：BCD
解析：时P与重合，与所成角为，则AP与BD所成角为，A错.如图建系，令，
，，，，，，B对.
面面，平面，平面，C对.，，，D对.
10、答案：AC
解析：，，A对.
，，则，，B错.，A与独立，则A与B对立，C对.
男生成绩设为，，，，，，
，.
女生成绩设为，，，，，，
，.
，
有这样一个结论：m个数据平均数，方差，n个数据平均数，方差，
结合在一起后平均数为，方差，
此题，如此计算量大大减小.
11、答案：ABD
解析：，，双曲线，A对.
，，，，
，，B对.
，，，周长，C错.
令，则，，，
内切圆半径，D对.
选ABD.
12、答案：AB
解析：，，，切线：，即，
，，，切线，即，
切线重合，由①知即，A对.
由①②知，，，，，B对.
，时，，，时，，，，，，C错.
，，，在，，由②知，，，，在，，，D错.
选AB.
13、答案：270
解析：时，，，
展开式第项，时，，的系数270.
14、答案：
解析：，.
15、答案：
解析：在，，，，，，，，
，无解，则.
16、答案：
解析：设，中点，D也是AB中点，，
，，，
，，
P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，两圆有且仅有一个公共点，或，或4或0或2，a的取值集合.
17、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)，①
时，，②
①-②，，
，
，而，
成首项为1公比为2的等比数列.
(2)由(1)知，，
，，
n为偶数时，，
.
18、答案：(1)
(2)
解析：(1)，，
，，
，，
.
(2)设，，，
，，①
，
当且仅当，时取“=”.
19、答案：(1)
(2)
解析：(1)比赛获胜的概率.
(2)A贏3场，负两场积分7；A赢4场负一场积分10；A赢5场，积分15分.
X的所有可能取值为7，11，15.
记表示第一轮比赛最终积分为，D表示“A所在的球队顺利晋级第二轮”，
，
，
，
，.
，
.
X的分布列如下：
X 7 11 15
P
.
20、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取AC中点M，连接，，，
又平面，，，
平面ACD，取CD中点F，连接MF，EF，
，又，，
四边形BMFE为平行四边形，.
平面ACD，又平面，平面平面ACD.
(2).
设，，
.
如图建系，，，，，，
，，，
设平面CDE与平面ABED的一个法向量分别为，，
，
，
设平面CDE与平面ABED所成角为，.
21、答案：(1)
(2)
解析：(1)设，，
由A，M均在椭圆C上，，，
.
(2)设DA方程为，，，，，
，，
，
.
同理，
，
，
.
而，.
22、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)，，
且当时，，；当时，，，
，
在R上单调递增.
(2)，
，
存在两个不同的极值点，存在两个不同的变号零点，
令，
，
令，
，在R上，
注意到，当时，，，；
当时，，，，.
要使有两个不同的变号零点，则，.
且当时，，当时，，.
综上：，即m的取值范围为.

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