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高一年级下学期开学测试
数学 试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的运算即可求解.
【详解】因为集合，，
所以，也即,
故选：.
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 单位向量都相等 B. 相等向量一定是共线向量
C. 若，则 D. 任意向量的模都是正数
【答案】B
【解析】
【分析】根据单位向量，共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.
【详解】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；
对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；
对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；
对于D，零向量的模长是，故D错误．
故选：B.
3. 设，，且，则的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】因为，
当且仅当，即，即时取得等号，
故选:D.
4. 如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.
【详解】在边长为2的等边中, BD为中线，则
故选：A
5. 已知，且，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用二倍角公式，平方关系代换，可得，根据的范围即可求解.
【详解】由，得
，
则，
即，得，
则，
得或，
又，所以，
故.
故选：B
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项.
【详解】的定义域为,
,所以为奇函数,由此排除AC选项;
又,排除B选项.
故选：D.
7. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，对数函数的真数大于0，建立不等式组，求解即可．
【详解】由已知得，解得且，
所以函数的定义域为．
故选：B．
8. 已知的解集为，求的解集（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系求的关系，再根据一元二次不等式解法求解即可.
【详解】因为的解集为，
所以，且为方程的根，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
所以的解集为，
故答案为：B
二、多选题（多选、错选不得分，少选得2分，每题5分，共计20分）
9. 下到说法正确的是（ ）.
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 图象关于点成中心对称
C. 幂函数在上为减函数，则的值为
D. 若，则的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用抽象函数定义域的求法可判断A选项；利用函数的对称性的定义可判断B选项；利用幂函数的定义与单调性求出的值，可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，若函数的定义域为，对于函数，则，解得，
故函数的定义域为，A错；
对于B选项，对任意的，，
故函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，若幂函数在上为减函数，
则，解得，C对；
对于D选项，若，，
当且仅当时，等号成立，D对.
故选：BCD.
10. 下列函数存在零点且零点在区间内的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】对于ACD，分析其单调性，结合零点存在定理可判断；对于C，直接求零点可判断.
【详解】对于A，在上单调递增，且,
故函数在内有零点，故A正确；
对于B，，故,
故在内有零点，故B正确；
对于C，在上单调递增，且，，
故函数在内有零点，故C正确；
对于D，在上单调递增，且，，
故函数在内有零点，故D正确.
故选:ABCD.
11. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据命题“”是真命题求出m的取值范围，结合充分不必要条件与集合之间的包含关系，即可判断出答案.
【详解】命题“”是真命题,
则，当时，取得最大值0，
即，即，
结合四个选项，有是集合的真子集，
故命题“”是真命题的一个充分不必要条件可以是或，
故选：.
12. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C
D. 在上单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】根据求出最小正周期，A正确；令，求出定义域，B错误；代入计算，C正确；代入检验得到在上单调递增，D错误.
【详解】，故的最小正周期为，A正确；
令，解得：，B错误；
，，C正确；
时，，因为在上单调递增，
故在上单调递增，D错误.
故选：BD
三、填空题（每题5分，共计20分）
13. 函数（且）的图象恒过定点,则的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据恒过点,代入即可得点坐标.
【详解】解:由题知,因为（且）,
所以令,即,可得
故图象恒过定点,
即点坐标.
故答案为:
14. 已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得方程在区间内有解，函数的图象与的图象在区间内有交点，结合图象即可得解.
【详解】解：由题意得方程在区间内有解，
即在区间内有解，
即函数的图象与的图象在区间内有交点，
如图，作出函数与在区间上的图象，
把点带入，得，解得，
所以.
故答案为：．
15. 已知，成立，则实数的取值范围为_____________；
【答案】
【解析】
【分析】直接根据基本不等式求解最值，但不符合题意，经分析需用函数单调性求解函数最值，然后求解关于的一元二次不等式即可求得结论.
【详解】因为，，
当且仅当，即时，取等号，但不内.
所以取，令，则
，，，
，在内单调递减.
有最小值，且最小值为.
分析可得，，，
即，.
故答案为：
16. 已知函数的最小正周期为，其图象过点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的最小正周期求出的值，由以及的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】因为函数的最小正周期为，则，则，
因为，可得，，则，，
因此，.
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其它每题12分，共计70分.请写出必要的步骤或文字说明）
17. 已知集合，.
（1）求；
（2）定义且，求.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据并集的定义可求得集合；
（2）根据题中定义可求得集合.
【小问1详解】
解：因为，，则.
【小问2详解】
解：由题意可得：且或.
18. 已知，，且与夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律，求出的值，即可得出答案；
（2）先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算得出的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.
【小问1详解】
由已知可得，.
所以有，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以
又，
所以，
所以与的夹角为．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复合函数的单调性可知，内层函数单调递增，找外层函数的单调递增区间整体代入化简求解.
(2)根据的范围，求出内层函数的范围，根据内层函数的范围求函数的值域.
【小问1详解】
证明：令，
得
所以函数的单调递增区间：．
【小问2详解】
因为，所以．
所以．
当，即时，；
当，即时，．
所以函数在区间上的值域为．
20. 已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数的解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
【答案】（1）
（2）的最小值为，且取最小值时x的值为.
【解析】
【分析】（1）由求出，可得的解析式；
（2）化简得，再根据基本不等式和对数函数的单调性可求出结果.
【小问1详解】
依题意可得，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，此时.
所以的最小值为，且取最小值时x的值为.
21. 已知函数，．
（1）用定义证明函数在上为增函数；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用定义法证明函数的单调性即可；
（2）根据题意，由（1）中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果.
【小问1详解】
任取，，且，则，
因为，所以，，所以，即，
所以函数在上为增函数．
【小问2详解】
由（1）知在上为增函数．
又，所以解得即，
所以实数a的取值范围是．
22. 已知函数 .
（1）若函数的图像关于直线对称，求的最小值；
（2）若存在 ，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的对称轴即可求出，可得答案；
（2）由，确定 ，可得 范围，讨论其是否为0，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意得
，
令，得，
所以 ，
又，所以的最小值为.
【小问2详解】
当 时， ， ，
，
所以当时，即，不合题意；
当时，即，
则 .高一年级下学期开学测试
数学 试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 单位向量都相等 B. 相等向量一定是共线向量
C. 若，则 D. 任意向量的模都是正数
3. 设，，且，则的最小值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. 2 C. D.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知的解集为，求的解集（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（多选、错选不得分，少选得2分，每题5分，共计20分）
9. 下到说法正确的是（ ）.
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 图象关于点成中心对称
C. 幂函数在上为减函数，则的值为
D. 若，则的最大值是
10. 下列函数存在零点且零点在区间内的是（ ）
A B.
C. D.
11. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，则下列说法错误是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C.
D. 在上单调递减
三、填空题（每题5分，共计20分）
13. 函数（且）的图象恒过定点,则的坐标为______．
14. 已知函数与的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．
15. 已知，成立，则实数的取值范围为_____________；
16. 已知函数的最小正周期为，其图象过点，则________．
四、解答题（17题10分，其它每题12分，共计70分.请写出必要的步骤或文字说明）
17 已知集合，.
（1）求；
（2）定义且，求.
18. 已知，，且与夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上值域．
20. 已知函数（且）的图象经过点和．
（1）求函数解析式；
（2）令，求的最小值及取最小值时x的值．
21. 已知函数，．
（1）用定义证明函数在上为增函数；
（2）若，求实数a的取值范围．
22. 已知函数 .
（1）若函数的图像关于直线对称，求的最小值；
（2）若存在 ，使成立，求实数的取值范围.

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