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太康县2022-2023学年上期高一期末质量检测数学试题
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间 120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设p：或，q：或，则p是q的（ ）条件．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到或是或的真子集，从而判断出p是q的必要不充分条件.
【详解】因为或是或的真子集，故，但，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B
2. 与-2022°终边相同最小正角是（ ）
A. 138° B. 132° C. 58° D. 42°
【答案】A
【解析】
【分析】根据任意角的周期性，将-2022°化为，即可确定最小正角.
【详解】由-2022°，
所以与-2022°终边相同的最小正角是138°.
故选：A
3. 设均为正数，且，，．则（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
4. 已知是定义域为的奇函数，且满足.若2，则（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及可推导出的周期为4，然后算出的值，再利用周期性就可以求出答案.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以.
由，可得，
所以，.
因为，，，
所以，，，
所以
.
故选：B.
5. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 关于直线对称
D. 将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象求出，和的值，然后利用三角函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：由图可知，，即，故选项A正确；
由，可得，则，
因为，即，
所以，，得，，
因为，所以，所以，故选项B正确；
由，可得，即关于直线对称，故选项C正确；
将的图象向左平移个单位长度后得到，
所以为偶函数，图象不关于原点对称.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.
【详解】因，
故选：C.
【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题
7. 若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是
A. 1 B. C. 9 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，所以可得，由基本不等式可得结果.
【详解】∵，∴，
又∵，，
∴
，
当且仅当，
即，时取等号,
的最小值是,故选B.
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
8. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为
A. 15 B. 25 C. 40 D. 130
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，令，结合分段条件，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，
令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故该公司拟录用25人．
故选B
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中合理利用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B. “”是“”的充要条件
C. 命题“”的否定是“”
D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．
【详解】是无理数，是有理数，A错；
时，，但，不是充要条件，B错；
命题的否定是：，C正确；
“”的必要不充分条件是“”，则，两个等号不同时取得．解得．D正确．
故选：CD．
【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．
10. 已知，，且，下面选项正确的是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据同角的基本关系和可求出的值，进而求出的值，然后就可以验证C，D选项.
【详解】由，，可得，
，
，
解得或.
，，经检验，当时，，不合题意，
，
此时，，
故A项正确，B项错误，CD项正确.
故选：ACD.
11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由“理想函数”的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】由题中①知，为奇函数；由题中②知，为减函数.
在A中，函数为定义域上奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；
在B中，函数为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；
在C中，函数为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；
在D中，函数的大致图象如图所示，
显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”.
故选：BD.
12. 已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 该函数解析式为
B. 函数的一个对称中心为
C. 函数的定义域为
D. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由三角函数的性质求出函数解析式为可判断A；可判断B；求函数的定义域即为，解不等式可判断C；由三角函数的平移变化结合三角函数的奇偶性可判断D.
【详解】由题意知，该函数最小正周期为，解得，
即，将点代入，得，
所以，函数解析式为，选项A正确；
对于选项B，，因而选项B正确；
对于选项C，，满足，
所以，解得，从而选项C正确；对于选项D，由题意，，
根据该函数为奇函数，知，从而得到，
所以b的最小值为，故选项D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用二倍角公式化简，再变形为的齐次分式形式，用表示，代入即可求解.
【详解】
.
故答案为：
14. 若幂函数为偶函数，则 ________ .
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数和偶函数的定义即可求解.
【详解】∵函数为幂函数，
∴，解得或，
又∵为偶函数，
∴，
故答案为：.
15. 已知函数，，，如图是的部分图象，则______
【答案】
【解析】
【分析】化简函数为正弦型函数，根据五点法画图，结合图象过点和求出和的值，求出的解析式，进而得出答案.
【详解】．
由题图可知，即，由于点在单调递增的区间内，
所以，解得，根据题意知，
由图象过点，则，解得，
故，则．
故答案为：．
16. 已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，可知函数在定义域内不是单调函数，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性，即可得到结论.
【详解】由题意可得函数在定义域内不是单调函数，
由函数为增函数，且时，，
则时，或，解得或，
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中根据题意得出分段函数不是单调函数，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】（1）原式
（2）原式
18. 已知命题，，命题，.
（1）若命题和命题q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）分为两种情况，命题为真、q为假时和为假、q为真时实数a的取值范围；进而求出最终结果；（2）法一：分别求出p真q假，p假q真，p真q真时a的取值范围，再求并集；法二：先考虑反面，即p，q均为假命题时a的取值范围，再求补集.
【小问1详解】
若命题，为真命题，则，即.
所以若为真命题，则.
若命题，为真命题，
则，即.
若为真命题，则.
①当为真，q为假时，为真，即所以；
②当为假，q为真时，p为真，即无解，舍去.
综上所述，当命题和命题q有且只有一个为真命题时，a的取值范围为.
【小问2详解】
法一：①当p真q假时，为真，即所以；
②当p假q真时，为真，即所以；
③当p真q真时，无解，舍去.
综上所述，a的取值范围为或.
法二：考虑p，q至少有一个为真命题的反面，即p，q均为假命题，
即为真，且为真，
则解得，即，
故p，q至少有一个为真命题时，a的取值范围为的补集.
故a的取值范围为或.
19. 设函数．
（1）设，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间．
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】(1)化简f(x)解析式，利用正弦函数图像特性即可求其最大值和最小值；
(2)根据正弦型函数为偶函数可知，，据此即可求出，再根据正弦函数单调性即可求g(x)的单调增区间.
【小问1详解】
，
∵，，
∴，
∴函数的最大值为，最小值为．
【小问2详解】
，
∵该函数为偶函数，∴，得，
又∵，∴k取0，，
∴，
令，解得，
从而得到其增区间为．
20. 已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性(并予以证明)；
（2）求使的x的取值范围．
【答案】（1）；奇函数；证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）求得函数的定义域，结合函数的奇偶性的定义，即可求解；
(2)由，得到，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
使函数有意义，必须有，解得，
所以函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，
所以
所以函数是奇函数.
(2)由，可得，
当时，可得，解得的取值范围是(0，)．
当时，有，解得的取值范围是(－，0)．
综上所述，当时，x的取值范围是(0，)，当时，x的取值范围是．
21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
【解析】
【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；
（2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
.
【小问2详解】
若，，当时，万元；
若，，
当且仅当时，即时，万元．
则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.
22. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
【答案】（1），（2），时
【解析】
【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；
（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
故的最小正周期；
（2）由可得，，
当得即时，函数取得最小值．所以，时太康县2022-2023学年上期高一期末质量检测数学试题
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间 120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设p：或，q：或，则p是q的（ ）条件．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
2. 与-2022°终边相同的最小正角是（ ）
A. 138° B. 132° C. 58° D. 42°
3. 设均为正数，且，，．则（　　）
A. B. C. D.
4. 已知是定义域为的奇函数，且满足.若2，则（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 4
5. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 关于直线对称
D. 将的图像向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
6 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若正数a,b满足a+b=2,则 的最小值是
A. 1 B. C. 9 D. 16
8. 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为
A 15 B. 25 C. 40 D. 130
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B. “”是“”的充要条件
C. 命题“”的否定是“”
D. 若“”的必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
10. 已知，，且，下面选项正确的是（ ）
A. B. 或
C. D.
11. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数的相邻对称轴之间的距离为，且图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 该函数解析式为
B. 函数的一个对称中心为
C. 函数的定义域为
D. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，且函数的图象关于原点对称，则b的最小值为.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则___________.
14. 若幂函数为偶函数，则 ________ .
15. 已知函数，，，如图是的部分图象，则______
16. 已知函数，若存在，，且，使得成立，则实数的取值范围是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
18 已知命题，，命题，.
（1）若命题和命题q有且只有一个为真命题，求实数a取值范围；
（2）若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.
19. 设函数．
（1）设，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数的单调增区间．
20 已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性(并予以证明)；
（2）求使的x的取值范围．
21. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
22. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．

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