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2023年5月浙江省杭嘉湖金四县区调研测试高二年级数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
2. 设为等比数列的前项和，，则等于( )
A. B. C. D.
3. 设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则等于( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，下列直线不可能是曲线的切线的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知数列，，，若，则正整数的值为( )
A. B. C. D.
6. 学校以劳动周形式开展劳育工作创新实践，学校开设“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“打印”四种课程甲、乙、丙名同学每名同学至少从中选一种，每种课程都恰有人参加，记“甲参加民俗文化”，“甲参加茶艺文化”，“乙参加茶艺文化”，则下列结论正确的是( )
A. 事件与相互独立 B. 事件与互斥
C. D.
7. 已知实数满足，则满足条件的的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其它无区别的小球，第个袋子中有个红球，个白球现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球每个取后不放回，若第三次取出的球为白球的概率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知在的二项展开式中，第项为常数项，则( )
A. B. 展开式中项数共有项
C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为
10. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集组数据，作如图所示的散点图若去掉后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数的绝对值变小 B. 决定系数变大
C. 残差平方和变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强
11. 设函数，定义域交集为，若存在，使得对任意都有，则称构成“相关函数对”则下列所给两个函数构成“相关函数对”的有( )
A.
B.
C.
D.
12. 某种疾病在某地区人群中发病率为现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为，患病人群检测为阴性的概率为设事件“某人不患该病”，“该人被检出阳性”，则( )
A.
B.
C. 该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为
D. 某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设随机变量，则 ．
14. 若，则的值为 ．
15. 某公司销售某种业务保单，已知每份业务保单的利润现值随机变量可以用正态分布近似，且满足：，已知标准正态分布随机变量满足，那么该业务保单的利润现值可以以的概率大于 ．
16. 已知和分别是函数且的极大值点和极小值点．若，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
过点可作曲线的两条切线，求实数的取值范围．
18. 本小题分
数列满足，数列前项和为，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
19. 本小题分
某大学有，两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况午餐，晚餐
甲 天 天 天 天
乙 天 天 天 天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率计算某天甲同学午餐去餐厅用餐的情况下晚餐去餐厅用餐的概率；
某天午餐，甲和乙两名同学准备去，这两个餐厅中某一个就餐设事件“甲选择餐厅就餐”，事件“乙选择餐厅就餐”，，若，
证明：事件和相互独立．
20. 本小题分
过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是．
求，并求数列的通项公式；
求证：．
21. 本小题分
学习强国中有两项竞赛答题，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”规则如下：一天内参与“双人对战”答题，仅首局比赛可获得积分，获胜得分，失败得分；一天内参与“四人赛”答题，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得分，次局获胜得分，失败均得分已知李明参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”答题时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，李明周一到周五每天完成“双人对战”答题一局和“四人赛”答题两局，各局答题互不影响．
求李明这天完成“双人对战”答题的总得分的分布列和数学期望；
设李明在这天的“四人赛”答题中，恰有天每天得分不低于分的概率为 求为何值时，取得最大值．
22. 本小题分
已知函数，．
当时，求函数的最大值；
若关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查组合数公式，属于基础题．
【解答】
解：因为组合数公式得性质，而
可得或，
所以或．
经验证或符合题意．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列有关基本量的求解，为基础题．
【解答】
解：，则公比，．

3.【答案】
【解析】
【分析】
根据某项试验的成功率为失败率的倍，写出随机变量的分布列，分布列中两个变量对应的概率，是含有的代数式，根据分布列概率的性质，写出关于的等式，解出结果．
本题离散型随机变量的分布列的性质，是一个基础题，解题过程中用到方程思想，通过解方程得到要求的概率．
【解答】
解：设的分布列为：
即“”表示试验失败，“”表示试验成功，
设失败的概率为，成功的概率为，
由，
．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数求曲线上的切线方程，属于中档题．
【解答】
解：的定义域为，，
设曲线上 的切点为
验证，，得，
验证、，得
验证：，即，
，方程无解．
验证、，得
故选项C对应的直线不可能是曲线的切线．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系式，考查等差数列的有关运算，为中档题．
【解答】
解：，可知，
则可知为首项为，公差为的等差数列，有，
，则．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相互独立事件的判断和条件概率，属于中档题．
分别求出，和，再利用互独立事件同时发生的概率和条件概率公式逐个判断即可．
【解答】
解：甲、乙、丙三名同学从四种课程中至少选一种，
共有种基本事件，事件包含的基本事件数为：，
则，同理，事件包含的基本事件数为：，
则，事件包含的基本事件数为：，则，
因为，故A错误
因为事件和事件不互斥，故B错误
因为，故C正确
因为，故D错误．
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数求函数单调性，导数求函数的最值，属于综合题．
【解答】
解：由题意，，可化为，
即，
构造函数，，，
当时，，单调递增，
即，可以得到，从而，
构造函数，，
令可以得到，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而当时，取最小值，即有最小值．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型，互斥事件及相互独立事件的概率求法问题，考查了逻辑分析能力和计算能力，属于较难题．
设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，再分四类求出第三次取出白球的方法数，进而求出第个袋子中第三次取出的是白球的概率，及选到第个袋子的概率为，最后根据互斥事件及独立事件的概率即可求解．
【解答】
解：设选出的是第个袋子，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
白，白，白，取法数为，
白，红，白，取法数为，
红，白，白，取法数为，
红，红，白，取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，
故对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率为：
．
所以，解得
故答案为

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题．
【解答】
解：解：该二项式展开式的通项为
．
因为第项为常数项，所以当时，，
解得所以通项为．
展开式中项数共有项，故A正确，B错误．
含的项得，即，所求的系数为，
故C正确．
根据通项公式，由题意得
，令，，则，即，
，应为偶数，
可取，，，即可取，，，
第项，第项与第项为有理项．
故D正确．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用散点图判断两个变量的关系，属于基础题．
根据去掉点后变量与变量的线性相关性变强进行分析，即可得解．
【解答】
解：由散点图可知，散点大致分布在一条直线附近，变量和变量具有线性相关关系．
离回归直线较远，去掉后变量和变量的相关性变强，
相关系数 的绝对值变大，残差的平方和变小，决定系数 变大，
各组数据对应的点到回归直线的距离的平方和变小，所求回归直线方程与实际更接近．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数新定义，考查函数的定义域和值域，考查不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题．
A.，利用导数可得，故不满足题意；
B.，设，易知在上单调递增，存在，使得，满足题意；
C.，由得，故不满足题意；
D.，且，故当时，故满足题意．
【解答】
解：选项中，易知，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
故，
故不存在，使得对任意，不等式恒成立，故A不正确；
选项中，，
设，
易知在上单调递增，
且，，
所以存在，使得，
所以当时，当时，．
故当时，对任意的恒成立，故B正确；
选项中，易知
设，
易知在上单调递增，且，
所以当时，，当时，．
故当时，对任意的恒成立，故C正确．
选项中，易知，
由得，即，
故不存在，使得对任意，不等式恒成立，故D错误；
故选BC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查条件概率和全概率公式综合，属于较难题．
【解答】
解：由题意可得，
，
，
可得A正确．
则有，
故BC错误．
．
故D正确．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查次独立重复试验的概率计算，属于基础题．
【解答】

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理有关的应用，为中档题．
【解答】
解：，，
其中，
．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正态分布，属于较易题.
【解答】
解:由题意可得Z~N(350,1002)，设该业务保单的利润现值为x,
则有Z=，
解得x>185.5.

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数的极值求解参数，考查转化能力与运算求解能力，属于较难题．
求导，转化为 至少要有两个零点 和 ，构造函数 ，分类讨论，判断单调性，进而求解范围．
【解答】
解： 至少要有两个变号零点 和 ，
构造函数 ，对其求导， ，
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时若有 和 分别是函数 且 的极大值点和极小值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，则 ，
此时若有 和 分别是函数 且 的极大值点和极小值点，且 ，则需满足 ，
即
故 ，
所以 ．

17.【答案】解：易知 ，
故递减区间为 ，递增区间为 ．
设切点 ，则 ，
即 有两非零解，由 可知 或 ．

【解析】本题考查利用导数研究函数单调区间，曲线外一点做曲线的切线，已知切线条数有关问题求参，为中档题．
18.【答案】解：由已知可得：当 时， ，
当 时， ，符合，所以．
．
，
，
得，，
所以．

【解析】本题主要考查错位相减法求和，求数列的通项公式，属于中档题．
19.【答案】解：设事件为某天甲同学中午去餐厅用餐，事件为该天晚上去餐厅用餐，
由题知 ， ，
由 可知 ，
化简得 ，可知 与相互独立，即和相互独立．

【解析】本题考查条件概率的计算，条件概率与独立性的关系，属于中档题．
20.【答案】 解： ，若切点是 ，则切线方程为 ．
当 时，切线过点 ，即 ，得 ．
当 时，切线过点 ，即 ，得 ．
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，

．

【解析】本题考查曲线的切线方程的应用，考查等比数列通项公式的求解，以及数列不等式的证明，为中档题．
21.【答案】 解：的取值范围是，
，
，
，
，
，
．
所以的分布列为
．
Ⅱ由题意知，设“每天得分不低于分”为事件，
则
所以天中恰有天每天得分不低于分的概率
，，
，
当时，，在单增，
当时，，在单减，
所以当时，取得最大值．

【解析】本题考查概率和导数的综合应用，属于较难题．
Ⅰ求出的所有可能取值和对应概率，即可得分布列和期望．
Ⅱ求出天中恰有天每天得分不低于分的概率，利用导数即可求解．
22.【答案】解：易知 ，
即 在 时递增， 时递减，故 ．
由 可知 ，
令 ，即 ， 递增，且 ，故 有两个不同的正数根，
即 ，则 ，
若 ，则 ，即 递增，最多只有一个零点，舍；
若 ，则 在 上递增， 上递减，故 ，即 ，
此时 ， 在 上有一个零点，同时 ，设 ，则 ， 有 ，即 在 上递减，故 ，故 ，故 在 只有一个零点，
综上：

【解析】本题考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的零点，属于综合题．
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