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巧用多边形的外角和定理
山东 于宗英
多边形的外角和是指在多边形的每个顶点处只取一个外角，它们的和.由同一顶点处的外角与内角的互补关系，以及多边形的内角和定理，可以比较容易的得出：任意多边形的外角和都等于3600.这一结论在解题中具有重要的作用，现举例如下：
1、 求角的度数（或个数）
例1 如图，一个四边形的三个外角分别为1100、850、300。求∠a的度数.
解：因为∠a的外角为1800-∠a ，由外角和推论知：
1800-∠a+1100+850+300=3600
所以∠a=450
例2 在凸10边形的所有内角中，锐角的最多个数是（ ）
A 0 B 1 C 3 D 5 （2003年全国初中数学联赛试题）
解：因为10边形的外角和为3600，所以外角中钝角的最多个数只能为3，再由外角与相邻内角的互补关系，所以内角是锐角个数最多是3.故选C
2、 求多边形的边数
例3 一个多边形的每个外角都等于360，求它的边数.
解：设此多边形的边数为n边形,由题意得
36n=3600,解得 n = 10 ，故所求多边形是十边形.
例4 凸多边形恰好只有三个内角是钝角，这样的多边形的边数最大值是多少？
解：设凸多边形的边数为n（n是大于3的整数），由题意知，此多边形外角中只有3个锐角，其余（n - 3）个外角是钝角（或直角）。由外角和为3600可知，（n - 3）个外角的个数不超过3，即n - 3≤3。解得n≤6。所以这样的多边形边数最大值为6。
3、 其它情况
例5 若凸4n+2边形A1A2A3……A4n+2（n为正整数）的每一个内角都是300的整倍数，且∠A1=∠A2=∠A3=900，则n的所有可能值是多少？
解：因为外角与相邻内角的互补关系，内角是300的整倍数，所以外角也是300的整倍数。∠A1=∠A2=∠A3=900，它们的外角也是900，所以其余（4n - 1）个外角的和为3600-2700=900，因为外角也是300的整倍数，所以4n - 1≤，即4n - 1≤3，n≤1，所以n只能为1.

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