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浅议动点问题
自新课程改革以来,以动点结合函数来探究几何图形变化规律,并以是否存在某一点使几何图形出现最大值问题,在中考压轴题中频频出现。这类试题综合性强,思路灵活,知识面广,学生对解这一类型的题很吃力,特别是动点问题，许多学生为之绞尽脑汁也无从下手。为了能使学生掌握解答这类试题的方法，本文做了简单的归纳：以静制动，有最大值，就有静点，关键是找对动中的静点。
函数是中学数学的重要内容，近几年中考中，频将函数与几何结合在一起，求取某些函数关系式，并以几何图形或函数图像上的一个动点，而出现无数个同类几何图形，并求出它的最大值。解这一类题型的关键是：对这一个动点作出正确的判断，化动为静，再根据函数关系式和几何图形特征，求出最大值。
例如：如图1，已知直线 与抛物线 交于A、B两点。
（1） 求A、B两点的坐标；
（2） 求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3） 如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处。用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由。
分析：问题1：只要解 这个方程组就可
以求出A、B两点的坐标，此问较易，一般学生都能拿下。
问题2：如图3，作AB的垂直平分线交AB于点E，交x轴、y轴于C、D两点，从问题1和作图可知，所求直线没有经过原点，必须解出该直线上两点坐标。由于C点的纵坐标和点D的横坐标都为0，比点E的坐标容易求出，再利用相似三角形对应成比例求出点C、D的坐标，最后用待定系数法求出直线解析式。此问难度适中，主要是考学生对直角三角形、相似三角形以及平面直角坐标系的运用能力和分析能力。
问题3 ：此问有三个难点，第一个难点是化动点为静点，找对P点所处的位置，从而使△PAB面积最大；第二个难点是求点P的坐标；第三个难点是求出最大面积的值。三个难点是合而为一的，关键是突破第一个难点：向AB上方平移AB到A′B′，使A′B′与抛物线只有一个交点，该交点就是动点中的静点，而P点位于此位置时，△PAB面积最大；然后求出A′B′解析式就可以求出点P的坐标。求△PAB的面积有两种解法：第一种解法：（如图4）利用AB边上的高就是AB与A′B′之间的距离，而求出△PAB的最大面积。第二种解法：（如图5 ）AB的垂直平分线与直线A′B′相交于点T，利用△TAB与△PAB同底等高，而求出△PAB的最大面积。此问难度较大，知识面广，由易到难，由浅入深，主要是考学生的探究、分析、归纳等能力。
解：（1）由已知得：
解得：
∴点A坐标为（6、－3），点B坐标为（－4、2）
（2）如图3，作AB的垂直平分线交AB于点E，交x轴、y轴于C、D两点；过点B作BF⊥x轴于点F。
由勾股定理得：
∵ △OFB∽△OEC
∴ 即
解得：OC= 同理：OD=
∴C点坐标为（ 、0），D点坐标（0、－∴ ）
设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0）得：
解得：
∴AB的垂直平分线的解析式为
（3）如图4，向AB上方平移AB到A′B′，使A′B′与抛物线只有一个交点，而P点位于此点时，△PAB面积最大。
∵ AB∥A＇B′
∴ 可设直线A′B′的解析式为
又∵ 和 只有一个交点
∴ 关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根
∴b2－4ac=0, 解得b=
∴直线A′B′的解析式为
解 得
∴点P的坐标为（1、 ）
解法一：过点O、P分别作OM⊥A′B′于M，PN⊥AB于N
由勾股定理得：A′B′= =
2S△A′OB′=O A′×O B′=OM×A′B′
即
∴PN=ON=
S△PAB= AB．PN=
解法二：直线A′B′与AB的垂直平分线相交于点T，
连接TA、TB
由（2）问得：△ODE∽△COE
∴ DE=
∵ △DOE∽△D A′T
∴
即
解得：ET=
又∵△TAB与△PAB同底等高
∴S△PAB= S△TAB= AB．TE=
古人云：以静制动，可应万变。针对综合性较强，
知识面广，且有动点的问题，学生能够灵活应用以静制动的策略，准确把握问题中相对的静点，使动变为静，从而做这样的题就得心应手，同样也少花费许多周折、时间与精力去苦苦思考。
②
①
EMBED PBrush
②
①
x2=－4
y2=2
y1=－3
x1=6
OM

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