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分解因式法解一元二次方程导析
518052 深圳市南山区前海中学 钟国雄
分解因式法解一元二次方程就是利用分解因式的手段，求出方程的解的方法，这种方法简便易行，是解一元二次方程最常用的方法.这种方法其实质是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的数学思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要.因此，在学习时，必须对这种解题思想进行适当的了解.
分解因式法的理论依据是：几个数相乘，如果积为0，那么这几个数中至少有一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.例如：(x+2)(x-3)=0，那么x+2=0或x-3=0。对于一边是0，另一边是易于分解成两个一次因式成积的一元二次方程，都可以用分解因式的方法来解.
用分解因式的方法解一元二次方程的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
例1 用分解因式法解方程：
（1）2(x-1)2+x=1；（2）(2x+1)2- x 2=1.
分析：（1）中可先将方程右边化为0，从而选择提公因式法进行因式分解；（2）可直接选用平方差公式进行因式分解.
解：（1）原方程可化为2(x-1)2+(x-1)=0，
分解因式，得(x-1)［2(x-1) +1］=0，
即(x-1) (2x-1) =0，
∴x-1=0或2x-1 =0，
∴x1=1，x2=.
（2原方程可化为(2x+1+x) (2x+1-x)=0，
即(3x+1) (x+1) =0，
∴3x+1=0或x+1=0，
∴x1=-，x2=-1.
例2 用分解因式法解方程：
（1）(x+1)(x+3)=8；（2）3x(x-1) =2(x-1) 。
分析：（1）中方程的右边不为0，故先移项后用进行因式分解；（2）中的x-1可能等于0，故两边不能同时除以x-1，否则会丢解.
解：（1）原方程变形为x2+4x-5=0，
分解因式，得 (x+5) (x-1) =0，
∴x+5=0或x-1 =0，
∴x1=5，x2=1.
（2移项，得3x(x-1) -2(x-1) =0，
分解因式，得(x-1) (3x-2) =0，
∴x-1=0或3x-2=0，
∴x1=1 ，x2=.
评注：用因式分解法解一元二次方程的关键是：一是要将方程的右边化为0，二是方程的左边要能分解为两个未知数的一次因式的积.当方程的项与项之间（或方程的两边）有公因式可提取时，应用分解因式法解这类一元二次方程，切忌在方程的两边都除以这个公因式，否则会失根.

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