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（第一次学期单元测试） 第6章 图形的初步认识—2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．下列各图中，两线能相交的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、两线不能相交，故A不符合题意；
B、两线不能相交，故B不符合题意；
C、两线不能相交，故C不符合题意；
D、两线能相交，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，逐项进行判断，即可得出答案.
2．下列图形中，有曲面的几何图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：①不含曲面，②含曲面，③含曲面，④不含曲面，故有曲面的几何图形有2个.
故答案为：B.
【分析】 根据图形的形状及曲面的定义逐项进行判断，即可得出答案．
3．在下列各图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2不是对顶角，故B不符合题意；
C、∠1和∠2是对顶角，故C符合题意；
D、∠1和∠2不是对顶角，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的定义逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2023七上·聊城月考）开学第一节课赵老师给每人发了一个正方体，它的六个面分别标注有“一切皆有可能”，表面展开后如图那么在原正方体中，“一”的对面是（　　）
A．能 B．可 C．皆 D．切
【答案】A
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图，可知“一”的对面是“能”
故答案为：A.
【分析】本题考查正方体的立体展开图，熟悉其11种展开图是解题关键。 正方体的展开图根据切割不同的棱边，可以分为11种基础形状，这11种基础形状可归纳为四种类型：“141”型“中间四连方，两侧各一个” 、“231”型“中间四连方，两侧各一个”、“222”型“中间二连方，两侧各两个”、“33”型“ 两排各3个 ”。
5．（2023七上·聊城月考）开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为（　　）
A．两点之间，线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解： 每一列最前和最后的课桌，即固定了两个点，则运用了“两点确定一条直线”的知识。
故答案为：C.
【分析】本题考查两点确定一条直线的实际应用。仔细审题，可得出结论。
6．（2023八上·浙江期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是△ABC的角平分线，则∠ACE（　　）
A．50° B．45° C．60° D．65°
【答案】B
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分
∴
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义，即可求解.
7．（2023·楚雄模拟）如图，直线，交于点射线平分，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=48°，
∵射线平分，
∴∠AOM=∠COM=∠AOC=24°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-24°=156°，
故答案为：D.
【分析】先利用对顶角和角平分线的定义求出∠AOM=∠COM=∠AOC=24°，再利用邻补角求出∠BOM的度数即可.
8．（2023七下·招远期末）如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置，与线绳线绳垂直于地面的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】如图所示：
∵P1C//P2D，
∴∠1=∠P2=80°，
∵∠1=∠P1OP2+∠P1，
∴∠P1OP2=∠1-∠P1=80°-35°=45°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=∠P2=80°，再利用三角形外角的性质求出∠P1OP2的度数即可.
9．（2023七下·平房期末）下列说法：
正数和负数统称为有理数；若，则、互为相反数；如果，则有；如果两个角的和等于，我们就说这两个角互余；有理数的倒数是．
其中正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；余角、补角及其性质；有理数及其分类
【解析】【解答】解： ①正数、负数和0统称为有理数，故①错误；
②若，则、互为相反数 ，故②正确；
③如果，则有 或，故③错误；
④如果两个角的和等于90°，我们就说这两个角互余，故④正确；
⑤有理数a（a≠0）的倒数是，故⑤错误.
正确的有2个
故答案为：B.
【分析】本题考查了基本概念：正数、负数和0统称为有理数，据此判断①；两个数的和为0，这两个数互为相反数，反过来，两个数互为为相反数，这两个数的和为0，据此判断②；正数大于0，0大于负数，正数的绝对值不一定大于负数的绝对值，0的绝对值一定小于负数的绝对值，据此判断③；两个角互余，这两个角的和为90°，反过来仍然成立，据此判断④；两个数乘积是1，这两个数互为倒数，0没有倒数，据此判断⑤.
10．（2022七下·义乌开学考）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： ∵M、N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，BN=CN，
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∵AM=MD，
∴AM=MD=BD，
∴AB=AM+MD+BD=3BD，正确；
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN，
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN，正确；
③AC-BD=AM+MC- BN-DN
=(MC-DN)+(AM-BN)
=(MC-DN)+(MD-CN)
=(MC-DN)+(MC+CD-CD-DN)
=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD
=AM+MC+DN+NB
=MD+MC+DN+CN
=MD+DN+MC+CN
=MN+MN
= 2MN.
综上，正确的是 ①②③④ .
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义得到AM=MD，BN=CN，再结合每项的条件，利用线段间的和差关系分别求解，即可判断.
二、填空题
11．写出图中的对顶角：　 　.
【答案】∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：对顶角有：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC.
故答案为：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC.
【分析】根据对顶角的定义判断即可.
12．（2023七上·东阿月考）“齐天大圣”孙悟空有一个宝贝——金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明　 　．
【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明线动成面，
故答案为：线动成面.
【分析】利用线动成面的特征求解即可.
13．（2023·吉林模拟） 计算：　 　 ．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用角的运算方法求解即可.
14．（2023八下·栾城期末）如图是由射线、、、组成的平面图形，则　 　°．
【答案】
【知识点】角的运算；相交线的相关概念
【解析】【解答】∵多边形外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°。
【分析】根据多边形的外角和为360°可得结果。
15．（2023七下·金华期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为　 　．
【答案】或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，是的两条三分线，
，
，
是的三分线，
如图1，当时，
，
，
；
如图2，当时，
，
，
，
或，
故答案为：或.
【分析】先利用角的三分线定义求得的度数，再对的三分线所分的角的度数之比进行分类讨论，然后通过的度数得到n的值.
16．（2021七上·连云港期末）如图1， 为直线 上一点，作射线 ，使 ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 处，一条直角边 在射线 上.将图1中的三角尺绕点 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第 秒时， 所在直线恰好平分 ，则 的值为　 　.
【答案】12或30
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOC=120°，
∵OP所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AOP=180°- ∠AOC=120°（此时OP在 角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在 角平分线上），
∴10t=120或10t=300，
∴t=12或30，
故答案为：12或30.
【分析】根据角的平分线定义，结合平角的定义分两种情况讨论，即OP在 角平分线的反向延长线上和OP在 角平分线上，分别求出∠AOP的大小，再列出方程求解即可.
三、解答题
17．（2023七上·聊城月考）如图，在平面内有、、三点，
（1）利用尺规，按下面的要求作图要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论；
作射线；
作线段；
连接，并在线段上作一条线段，使，连接．
（2）数数看，此时图中线段共有　 　 条
【答案】（1）解：如图所示．
（2）6
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】（2）解：以B为端点的线段有：BA，BD，BC；以A为端点的线段有：AD，AC；以D为端点的线段有DC，共6条。
【分析】本题考查射线、线段的作图和线段的条数。熟悉基础的作图方法是做题的关键，数线段的条数时，要注意选择端点分别找出，注意重复。
18．如图，∠AOC=30°，∠BOC=80°，OC平分∠AOD．求∠BOD的度数．
【答案】解：∵∠AOC=30°，OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=30°，
∵∠BOC=80°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=50°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定于得出∠COD=∠AOC=30°，再利用∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，即可得出答案.
19．某公司员工分别在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如下图所示，公司的接送车打算在三个区中选一个作为停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在哪个区？并说明理由．
【答案】解： A区．理由如下：∵当停靠点在A区时，所．有员工步行到停靠点路程和为15×100+10×300=4 500(m) ；
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和为30×100+ 10×200=5 000(m)；
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和为30×300+15×200=12 000(m)． ：
综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点的路程和最小，所以停靠点的位置应该在A区．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】分别计算停靠点分别在A、B、C各点时员工步行的路程和，选择最小的．
20．（2023七下·遂川期末）如图，已知直线，相交于点O，是射线，，比大，求的度数．
【答案】解：设的度数为，
，
．
，比大，
，．
，
解得
．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】设的度数为，根据题意列出方程，求出，再利用对顶角的性质可得.
21．（2023·香坊期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．
（1）在图①中，∠COM＝　 　度；
（2）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图②，若，求∠BON的度数；
（3）将图①中的三角板绕点O以每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，旋转的时间是　 　秒．（直接写出结果）
【答案】（1）30
（2）解：设，∵，∴．
∵，∴．
∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°．
∴
∵，∴．
∵，∴．
∴，
∴．
答：∠BON的度数为54°．
（3）解：2或14
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∠MON=90°， ∠BOC＝60° ，
∴∠COM＝∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；
故答案为：30°.
（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC = 60°，
∴∠BON = 30°或∠BON= 210°，
∵三角板绕点O以每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴直线ON平分∠BOC时，
旋转的时间是秒
或秒
故答案为：2或14
【分析】（1）由题意得，∠MON=90°，∠COM＝∠MON-∠BOC，即可求∠COM的度数；
（2）由题意得∠AOC=∠AOB-∠BOC，可求∠AOC的度数，设∠NOC=α，则∠MOA=6α，∠MOC=90°-α，根据题意可列方程6α+90°-α=120°，解方程即可求 ∠BON的度数 ；
（3）求出∠BON = 30°或∠BON= 210°，即可得出答案.
22．（2023·海曙竞赛）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒．
（1）当　 　秒时，平分；
（2）①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为 ▲ ；
②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中，与的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：①∠NOC-∠AOM=45°②，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴
（3）解：
【知识点】角的大小比较；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，平分，
∴，
∵根据运动特点可知：，
∴，
解得：（秒），
故答案为：；
（2）①，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
分类讨论，
第一种情况：、同时在直线的异侧，如图，
根据运动的特点：，，
∴，，
∴，
∴；
第二种情况：、同时在直线的右侧，如图，
根据运动的特点：，，
∴，，
∴，
∴；
综上：．
【分析】（1）由角平分线定义可得∠AOM=∠AOC，然后根据题意可得∠AOM=6°×t，于是可得关于t的方程，解方程可求解；
（2）①∠NOC-∠AOM=45°，理由如下：根据题意可得∠AOM=6°×t，∠BOC=45°，由角的构成得∠MOC=∠BOC-∠AOM、∠NOC=∠MON-∠COM可将∠MOC、∠NOC用含t的代数式表示出来，然后求差即可求解；
②∠NOC-∠AOM=45°，理由如下：同理可求解；
（3）∠NOC-∠AOM=45°，理由如下：分类讨论，
第一种情况：OM、ON同时在直线OC的异侧，如图，结合（2）的过程根据运动的特点和角的构成可求解；
第二种情况：OM、ON同时在直线OC的右侧，如图，结合（2）的过程根据运动的特点和角的构成可求解.
23．（2023七下·武汉月考）如图，已知数轴上点表示的数为，表示的数为，满足.动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
（1）写出数轴上点表示的数是　 　，点表示的数是　 　；
（2）若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证为定值；
（3）现有动点，若点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，当点到达原点后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求：当时，则点运动时间的值为　 　.
【答案】（1）16；-12
（2）证明：∵点表示的数是16，点表示的数是-12，
∴，，，
∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在点到达点之前，即时，
，
∴为定值.
（3）秒或秒或秒或16秒
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的中点；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴点表示的数是16，点表示的数是-12.
故答案为：16；-12.
（3）解：∵点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，运动时间为秒，
∴，，
当点M在原点O的左侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点P到达原点O时，运动时间为，
这时点M在原点O的右侧，，
当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，
①当点M在原点O的右侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
②当点M在原点O的左侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
综上所述，当OP=3OM时，则P点运动时间的值为秒或秒或秒或16秒.
故答案为：秒或秒或秒或16秒.
【分析】（1）根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出a、b的值，从而得出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值算出AB、OB、OA的长，再根据路程、速度、时间三者的关系得AP=4t，则BP=28-4t，根据中点定义得AQ=2t，则BQ=28-2t，从而即可算出在点P到达点B之前，即0＜t＜7时 的值而得出结论；
（3）易得AP=4t，BM=5t，当点M在原点O的左侧时，OM=12-5t，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，OM=5t-12，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点P到达原点O时，运动时间为4秒，这时点M在原点O的右侧，OM=8，当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，①当点M在原点O的右侧，OM=8-2t2，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可；②当点M在原点O的左侧，OM=2t2-8，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
1 / 1（第一次学期单元测试） 第6章 图形的初步认识—2023-2024学年浙教版七年级数学
一、选择题
1．下列各图中，两线能相交的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，有曲面的几何图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在下列各图形中，∠1和∠2是对顶角的图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023七上·聊城月考）开学第一节课赵老师给每人发了一个正方体，它的六个面分别标注有“一切皆有可能”，表面展开后如图那么在原正方体中，“一”的对面是（　　）
A．能 B．可 C．皆 D．切
5．（2023七上·聊城月考）开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为（　　）
A．两点之间，线段最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
6．（2023八上·浙江期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE是△ABC的角平分线，则∠ACE（　　）
A．50° B．45° C．60° D．65°
7．（2023·楚雄模拟）如图，直线，交于点射线平分，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2023七下·招远期末）如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置，与线绳线绳垂直于地面的夹角分别是和，则吊杆前后两次的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023七下·平房期末）下列说法：
正数和负数统称为有理数；若，则、互为相反数；如果，则有；如果两个角的和等于，我们就说这两个角互余；有理数的倒数是．
其中正确的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2022七下·义乌开学考）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．写出图中的对顶角：　 　.
12．（2023七上·东阿月考）“齐天大圣”孙悟空有一个宝贝——金箍棒，当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明　 　．
13．（2023·吉林模拟） 计算：　 　 ．
14．（2023八下·栾城期末）如图是由射线、、、组成的平面图形，则　 　°．
15．（2023七下·金华期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为　 　．
16．（2021七上·连云港期末）如图1， 为直线 上一点，作射线 ，使 ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点 处，一条直角边 在射线 上.将图1中的三角尺绕点 以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第 秒时， 所在直线恰好平分 ，则 的值为　 　.
三、解答题
17．（2023七上·聊城月考）如图，在平面内有、、三点，
（1）利用尺规，按下面的要求作图要求：不写画法，保留作图痕迹，不必写结论；
作射线；
作线段；
连接，并在线段上作一条线段，使，连接．
（2）数数看，此时图中线段共有　 　 条
18．如图，∠AOC=30°，∠BOC=80°，OC平分∠AOD．求∠BOD的度数．
19．某公司员工分别在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如下图所示，公司的接送车打算在三个区中选一个作为停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在哪个区？并说明理由．
20．（2023七下·遂川期末）如图，已知直线，相交于点O，是射线，，比大，求的度数．
21．（2023·香坊期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝60°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方．
（1）在图①中，∠COM＝　 　度；
（2）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠BOC的内部，如图②，若，求∠BON的度数；
（3）将图①中的三角板绕点O以每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，旋转的时间是　 　秒．（直接写出结果）
22．（2023·海曙竞赛）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒．
（1）当　 　秒时，平分；
（2）①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为 ▲ ；
②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中，与的数量关系．
23．（2023七下·武汉月考）如图，已知数轴上点表示的数为，表示的数为，满足.动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
（1）写出数轴上点表示的数是　 　，点表示的数是　 　；
（2）若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证为定值；
（3）现有动点，若点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，当点到达原点后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求：当时，则点运动时间的值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、两线不能相交，故A不符合题意；
B、两线不能相交，故B不符合题意；
C、两线不能相交，故C不符合题意；
D、两线能相交，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：①不含曲面，②含曲面，③含曲面，④不含曲面，故有曲面的几何图形有2个.
故答案为：B.
【分析】 根据图形的形状及曲面的定义逐项进行判断，即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2不是对顶角，故B不符合题意；
C、∠1和∠2是对顶角，故C符合题意；
D、∠1和∠2不是对顶角，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据对顶角的定义逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图，可知“一”的对面是“能”
故答案为：A.
【分析】本题考查正方体的立体展开图，熟悉其11种展开图是解题关键。 正方体的展开图根据切割不同的棱边，可以分为11种基础形状，这11种基础形状可归纳为四种类型：“141”型“中间四连方，两侧各一个” 、“231”型“中间四连方，两侧各一个”、“222”型“中间二连方，两侧各两个”、“33”型“ 两排各3个 ”。
5．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解： 每一列最前和最后的课桌，即固定了两个点，则运用了“两点确定一条直线”的知识。
故答案为：C.
【分析】本题考查两点确定一条直线的实际应用。仔细审题，可得出结论。
6．【答案】B
【知识点】角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CE平分
∴
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=48°，
∵射线平分，
∴∠AOM=∠COM=∠AOC=24°，
∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-24°=156°，
故答案为：D.
【分析】先利用对顶角和角平分线的定义求出∠AOM=∠COM=∠AOC=24°，再利用邻补角求出∠BOM的度数即可.
8．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】如图所示：
∵P1C//P2D，
∴∠1=∠P2=80°，
∵∠1=∠P1OP2+∠P1，
∴∠P1OP2=∠1-∠P1=80°-35°=45°，
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质可得∠1=∠P2=80°，再利用三角形外角的性质求出∠P1OP2的度数即可.
9．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；余角、补角及其性质；有理数及其分类
【解析】【解答】解： ①正数、负数和0统称为有理数，故①错误；
②若，则、互为相反数 ，故②正确；
③如果，则有 或，故③错误；
④如果两个角的和等于90°，我们就说这两个角互余，故④正确；
⑤有理数a（a≠0）的倒数是，故⑤错误.
正确的有2个
故答案为：B.
【分析】本题考查了基本概念：正数、负数和0统称为有理数，据此判断①；两个数的和为0，这两个数互为相反数，反过来，两个数互为为相反数，这两个数的和为0，据此判断②；正数大于0，0大于负数，正数的绝对值不一定大于负数的绝对值，0的绝对值一定小于负数的绝对值，据此判断③；两个角互余，这两个角的和为90°，反过来仍然成立，据此判断④；两个数乘积是1，这两个数互为倒数，0没有倒数，据此判断⑤.
10．【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： ∵M、N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，BN=CN，
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∵AM=MD，
∴AM=MD=BD，
∴AB=AM+MD+BD=3BD，正确；
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN，
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN，正确；
③AC-BD=AM+MC- BN-DN
=(MC-DN)+(AM-BN)
=(MC-DN)+(MD-CN)
=(MC-DN)+(MC+CD-CD-DN)
=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD
=AM+MC+DN+NB
=MD+MC+DN+CN
=MD+DN+MC+CN
=MN+MN
= 2MN.
综上，正确的是 ①②③④ .
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义得到AM=MD，BN=CN，再结合每项的条件，利用线段间的和差关系分别求解，即可判断.
11．【答案】∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：对顶角有：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC.
故答案为：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC.
【分析】根据对顶角的定义判断即可.
12．【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】当他快速旋转金箍棒时，展现在我们眼前的是一个圆的形象，这说明线动成面，
故答案为：线动成面.
【分析】利用线动成面的特征求解即可.
13．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的运算
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】利用角的运算方法求解即可.
14．【答案】
【知识点】角的运算；相交线的相关概念
【解析】【解答】∵多边形外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°。
【分析】根据多边形的外角和为360°可得结果。
15．【答案】或
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，是的两条三分线，
，
，
是的三分线，
如图1，当时，
，
，
；
如图2，当时，
，
，
，
或，
故答案为：或.
【分析】先利用角的三分线定义求得的度数，再对的三分线所分的角的度数之比进行分类讨论，然后通过的度数得到n的值.
16．【答案】12或30
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AOC=120°，
∵OP所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AOP=180°- ∠AOC=120°（此时OP在 角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在 角平分线上），
∴10t=120或10t=300，
∴t=12或30，
故答案为：12或30.
【分析】根据角的平分线定义，结合平角的定义分两种情况讨论，即OP在 角平分线的反向延长线上和OP在 角平分线上，分别求出∠AOP的大小，再列出方程求解即可.
17．【答案】（1）解：如图所示．
（2）6
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】（2）解：以B为端点的线段有：BA，BD，BC；以A为端点的线段有：AD，AC；以D为端点的线段有DC，共6条。
【分析】本题考查射线、线段的作图和线段的条数。熟悉基础的作图方法是做题的关键，数线段的条数时，要注意选择端点分别找出，注意重复。
18．【答案】解：∵∠AOC=30°，OC平分∠AOD，
∴∠COD=∠AOC=30°，
∵∠BOC=80°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=50°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定于得出∠COD=∠AOC=30°，再利用∠BOD=∠BOC-∠COD=50°，即可得出答案.
19．【答案】解： A区．理由如下：∵当停靠点在A区时，所．有员工步行到停靠点路程和为15×100+10×300=4 500(m) ；
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和为30×100+ 10×200=5 000(m)；
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和为30×300+15×200=12 000(m)． ：
综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点的路程和最小，所以停靠点的位置应该在A区．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】分别计算停靠点分别在A、B、C各点时员工步行的路程和，选择最小的．
20．【答案】解：设的度数为，
，
．
，比大，
，．
，
解得
．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】设的度数为，根据题意列出方程，求出，再利用对顶角的性质可得.
21．【答案】（1）30
（2）解：设，∵，∴．
∵，∴．
∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°．
∴
∵，∴．
∵，∴．
∴，
∴．
答：∠BON的度数为54°．
（3）解：2或14
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∠MON=90°， ∠BOC＝60° ，
∴∠COM＝∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；
故答案为：30°.
（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC = 60°，
∴∠BON = 30°或∠BON= 210°，
∵三角板绕点O以每秒15°的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴直线ON平分∠BOC时，
旋转的时间是秒
或秒
故答案为：2或14
【分析】（1）由题意得，∠MON=90°，∠COM＝∠MON-∠BOC，即可求∠COM的度数；
（2）由题意得∠AOC=∠AOB-∠BOC，可求∠AOC的度数，设∠NOC=α，则∠MOA=6α，∠MOC=90°-α，根据题意可列方程6α+90°-α=120°，解方程即可求 ∠BON的度数 ；
（3）求出∠BON = 30°或∠BON= 210°，即可得出答案.
22．【答案】（1）
（2）解：①∠NOC-∠AOM=45°②，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴
（3）解：
【知识点】角的大小比较；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，平分，
∴，
∵根据运动特点可知：，
∴，
解得：（秒），
故答案为：；
（2）①，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
分类讨论，
第一种情况：、同时在直线的异侧，如图，
根据运动的特点：，，
∴，，
∴，
∴；
第二种情况：、同时在直线的右侧，如图，
根据运动的特点：，，
∴，，
∴，
∴；
综上：．
【分析】（1）由角平分线定义可得∠AOM=∠AOC，然后根据题意可得∠AOM=6°×t，于是可得关于t的方程，解方程可求解；
（2）①∠NOC-∠AOM=45°，理由如下：根据题意可得∠AOM=6°×t，∠BOC=45°，由角的构成得∠MOC=∠BOC-∠AOM、∠NOC=∠MON-∠COM可将∠MOC、∠NOC用含t的代数式表示出来，然后求差即可求解；
②∠NOC-∠AOM=45°，理由如下：同理可求解；
（3）∠NOC-∠AOM=45°，理由如下：分类讨论，
第一种情况：OM、ON同时在直线OC的异侧，如图，结合（2）的过程根据运动的特点和角的构成可求解；
第二种情况：OM、ON同时在直线OC的右侧，如图，结合（2）的过程根据运动的特点和角的构成可求解.
23．【答案】（1）16；-12
（2）证明：∵点表示的数是16，点表示的数是-12，
∴，，，
∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在点到达点之前，即时，
，
∴为定值.
（3）秒或秒或秒或16秒
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的中点；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴点表示的数是16，点表示的数是-12.
故答案为：16；-12.
（3）解：∵点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，运动时间为秒，
∴，，
当点M在原点O的左侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点P到达原点O时，运动时间为，
这时点M在原点O的右侧，，
当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，
①当点M在原点O的右侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
②当点M在原点O的左侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
综上所述，当OP=3OM时，则P点运动时间的值为秒或秒或秒或16秒.
故答案为：秒或秒或秒或16秒.
【分析】（1）根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出a、b的值，从而得出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值算出AB、OB、OA的长，再根据路程、速度、时间三者的关系得AP=4t，则BP=28-4t，根据中点定义得AQ=2t，则BQ=28-2t，从而即可算出在点P到达点B之前，即0＜t＜7时 的值而得出结论；
（3）易得AP=4t，BM=5t，当点M在原点O的左侧时，OM=12-5t，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，OM=5t-12，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点P到达原点O时，运动时间为4秒，这时点M在原点O的右侧，OM=8，当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，①当点M在原点O的右侧，OM=8-2t2，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可；②当点M在原点O的左侧，OM=2t2-8，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
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