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从我省数学竞赛试题看不定方程（组）的求解问题
台州路桥实验中学 王万丰
在我省06、07年初中数学竞赛中，几乎都涉及到不定方程的整数解问题，由于此类问题内涵丰富，且与其他知识交织在一起，形式多样，切入点多，思路灵活，解法千变万化，所以这类问题极具综合性，是培养和考察学生思维的极佳素材，在近两年我省初中数学竞赛中多次出现。本文以近两年我省数学竞赛试题为例，谈谈这类问题的解法。
一、配方法
例1、（2006年初赛）已知a、b、c都是整数，且a-2b=4，ab+c2-1=0，求a+b+c的值。
分析：由条件a-2b=4，ab+c2-1=0，消元得：，进而对配方，利用整数的性质、完全平方的非负性来解决。
解：∵a-2b=4
∴a=4+2b 代入ab+c2-1=0 得：
配方得：
∵ 、都为整数，且都大于或等于0，
∴、
可解得：；；
；
则：。
二、化为分式法
例2、（2007年初赛）直线：（是不等于0的整数）与直线的交点恰好是整数（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（ ）
A：不存在 B：7条 C：8条 D：无数条
分析：联立、得：得：
由：，可知：当为整数时，也为整数，所以：当为整数时，这样的点即为整点。所以可以通过分式的值来讨论方程的整数解
解：∵、
得： 移项得：
得：
要使为整数，有
±1；±2；±5；±10
又∵≠0
∴=2；3；-1；6；-4；11；-9。
∴这样的直线共七条。选B
例3、（2007年初赛）现在a根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m个正方形，按如图2摆放时可摆成2n个正方形。
（1）用含n的代数表示m；
（2）当这a根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a的最小值。
解：（1）图1中火柴棒的总数是根，图2中火柴棒的总数是根
因为火柴棒的总数相同
所以：
得：
（2）设图3中有3个正方形，那么火柴棒的总数是根
由题意得：
所以：
因为都是正整数
所以当时，
此时最小，
但是，用此方法必须有分式的分子或分母是常数，或者可以化为常数；有时需要我们通过整式、分式的运算，再利用整数整除性来解决。再如：
例4、方程的正整数解共有 对。
分析：原方程可化为：
则：
化到第一个分式时，这时分子不是一个常数，不能利用整数的整除性，通过整式的除法可得第二个分式，从而可以利用整数的整除性，又因为为正整数，可得：
1；5；401；2005，
∴2，6，402，2006，
所以：答案为4对。
三、因式分解法
例5、（2006年复赛）平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
分析： 对于分式，不能通过变形使得分子为整数，所以不能利用整数的整除性来解决，但是可以通过变形得：，利用因式分解来解决。
解：将函数表达式变形，得，，
．
∵ x，y都是整数，
∴ 也是整数．
∴ 或 或
或 或 或
解得整点为（13，1），（-12，0），（1，13），（0，-12），（3，3），（-2，-2）．
例6、（2007年复赛）满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
解：设直角三角形的两条直角边长为()，则
（a,b,k均为正整数），
化简，得，
所以或．
解得或或 即有3组解．
用因式分解法来解不定方程的整数问题时，等式的一边应化为两个整系数因式的积，另一边为整数，然后将整数分解质因数，将原不定方程化为一个或几个一次方程组来解。在解的过程中注意分类，不遗漏也不重复。
四、有取值范围的不定方程组问题
在近两年的数学竞赛中，不但出现了以上方程的整数解问题，还出现了利用未知数的取值范围，来确定取值范围的问题。如：
例7、（2006年复赛）某商店出售A、B、C三种生日贺卡，已知A种贺卡每张0.5元，B种贺卡每张1元，C种贺卡每张2.5元，营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收入合计180元，则该商店3月份售出的C种贺卡至少有 张。
解：设A、B、C三种贺卡售出的张数分别为x，y，z，则：
消去y得：．
∵
由，得．
例8、（2006年复赛）设x1，x2，x3，…，x2006是整数，且满足下列条件：
①，，2，3，…，2006；
②x1+x2+x3+…+x2006=200；
③。
求的最小值和最大值。
分析：此题表面上比较复杂，若我们按其条件进行分类，可化为不定方程组，再利用未知量的取值范围，求的最大值和最小值。
解：设…中有r个－1、s个1、t个2，则
两式相加，得s＋3t＝1103，
∵，
故．
∵ …
=．
∴ 200≤…≤6×367+200=2402．
当时，…取最小值200，
当时，…取最大值2402．
不定方程问题解决方法甚多，应用也相当广泛，从上面几例可以看出，可直接应用于方程问题，也可应用与函数以及实际问题中，可以直接求值，也可求范围等其他问题。在解决这类问题时，我们要灵活运用常用的几种方法，在解决实际问题或者应用性的问题时，我们要善于将问题转化到不定方程，利用不定方程的解决问题。
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