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例析空间向量的应用
贵州省关岭县民族高级中学：王恩奇 邮编：561300
纵观进几年高考,对立体几何一章主要考查线线、线面及面面的平行与垂直，三垂线定理及逆定理的应用，空间角和距离的计算。在教学中，我们应该要重视空间向量的学习。通过空间向量的基本定理或空间直角坐标系，将立体几何问题中的作图和论证转化为向量的运算。向量的运算，在解决有关平行、垂直、成角、距离等问题的过程中起到事半功倍的作用。下面我就几道立体几何题的解法例析空间向量的应用：
[例1] （2005年全国高考卷3第18题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面。（1）证明：；（2）求面与所成的二面角的大小。
解：过V在平面内作于，过O在平面内作，交于。则两两互相垂直。故建立空间直角坐标系如图。
设，则，， ，，
， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 。
（1） 证明：由， ，
，。
，又 ；
（2）由（1）知的法向量，设平面的法向量，则 取得
面与所成的二面角满足：
面与所成的二面角为：。
[例2] (2005年高考江苏卷第21题)如图，在五边行中，底面，,,。
求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示）； 证明： 平面；
用反三角函数值表示二面角的大小（本小问不必写出解答过程）。
解：延长、交于点，由，，故、均为等边三角形；连结，设的中点为，由，所以、、三点在一条直线上，且、于。建立如图所示的空间直角坐标系。则由平面几何知：，，，，
， ，。
（1），
所成的角满足：
所成的角=；
（2），，
，
， 平面；
（3）设平面、平面的法向量分别为、则
平面、平面所成的角满足：
所以，平面、平面所成的角。 二面角的大小为：.
[例3] （2005年全国高考卷1第18题）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且是的中点。（1）证明：面面； （2）求与所成的角；
（3）求面与面所成的二面角的大小。
解：建立空间直角坐标系如图。由题意可知：、、、、
（1） 由平面PAD即为平面，它的法向量，设平面PCD的法向量，则
平面与平面所成的角满足：
=
平面平面
（2），
所成的角满足：
所成的角；
(3)设平面AMC、平面BMC的法向量、，则
平面AMC与平面BMC所成的角满足：
平面AMC与平面BMC所成的角为： 。
评析：立体几何中的异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，关于角的计算，都可归结为求两个向量的夹角。
1. 求直线与夹角：
2. 求直线与平面所成的角：。（为平面的法向量）
3. 求二面角的平面角：。（为两平面的法向量，锐正钝负）
4. 求法向量的方法：①找；②求：设、为平面内的两任意向量，为平面的法向量，则由方程组可求法向量。
[例4]已知如图，四边形是边长为4的正方形，、分别是、的中点，垂直于所在的平面且，求点到平面的距离。
解：建立空间直角坐标系如图。由题意可知：，，，，，。
，，
设为两平面的法向量，则由取得，又所以
点到平面的距离为：。
评析：立体几何中的距离问题较多，如两点的距离，点与直线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等。若用向量来处理，则思路简单、解法固定。
1、 点、的距离
1、 点到平面ABC的距离，（为平面ABC的法向量）。
1、
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