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2.5 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
八年级下册数学（北师版）
2.一次函数的图象是__________.它与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 ；要作一次函数的图象，只需_______点即可.
3. 一次函数 y = 2x – 5它与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点 坐标是 .
一条直线
(0，b)
两
(0，－5)
1.解不等式 2x－5＞0.
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.
复习导入
作出一次函数 y ＝ 2x－5 的图象
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y＝2x－5
x … 0 2.5 …
y＝2x－5 … -5 0 …
探究新知
一元一次不等式与一次函数
1
观察图象回答下列问题：
(1) x 取何值时，2x－5＝0
∴ x＝2.5， 2x－5＝0
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
分析：
y＝0
y ＝ 2x－5
(2.5，0)
(2) x 取哪些值时，2x－5＞0
∴ x＞2.5， 2x－5＞0
分析：
y＞0
(3) x 取哪些值时，2x－5＜0？
∴ x＜2.5，2x－5＜0
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
分析：
y＜0
y ＝ 2x－5
(4) x 取哪些值时，2x－5＞1？
∴ x＞3， 2x－5＞1
分析：
y＝1
(2.5，0)
O
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y＝-2x -5
思路一：
运用函数图象解不等式.
由图象可得
当 x＞2.5 时，y＜0.
(-2.5，0)
(-3，1)
当 x＞-3 时，y＜1.
想一想
如果 y＝-2x - 5，
那么当 x 取何值时，y＜0？当 x 取何值时，y＜1 ？
思路二：
将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式 -2x -5＜0，
∴ 当 x＞-2.5 时，y＜0.
∴ 当 x＞-3 时，y＜1.
如果 y＝-2x - 5，那么当 x 取何值时，y＜0 ？当 x 取何值时，y＜1 ？
则 x＞-2.5.
-2x -5＜1，则 x＞-3.
归纳总结
求 kx+b＞0
(或＜0)
(k ≠ 0)的解集
y = kx + b 的值
大于(或小于) 0
时，x 的取值范围
从“函数值”看
从“函数图象”看
kx + b＞0的解集
O
y
x
kx + b＜0 的解集
例1 根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集.
-2
x
y＝3x＋6
O
y
(1) 3x＋6＞0
(3) -x＋3≥0
x
y
3
y＝ -x＋3
O
(2) 3x＋6≤0
x＞-2
(4) -x＋3＜0
x≤3
x≤-2
x＞3
( 即 y＞0 )
( 即 y≤0 )
( 即 y＜0 )
( 即 y≥0 )
1. 利用 y＝ 的图象，直接写出：
y
2
5
x
y＝ x＋5
O
x＝2
x＜2
x＞2
x＜0
(即 y＝0 )
(即 y＜0 )
(即 y＞0 )
(即 y＞5 )
针对训练
例2 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自已才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m，哥哥每秒跑 4 m. 列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答问题：
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
(3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？
你是怎样求解的？ 与同伴交流.
典例精析
哥哥： y1 ＝ 4x
弟弟： y2 ＝ 3x + 9
(1)___________ s 时，
弟弟跑在哥哥前面.
(2)________ s 时，
哥哥跑在弟弟前面.
(3)______先跑过 20 m.
______先跑过 100 m.
思路一：图象法
0＜x＜9
x＞9
(9,36)
y1＝4x
y2＝3x+9
O
6
8
10
2
x(s)
4
12
24
12
30
18
36
6
y(m)
42
48
弟弟
哥哥
思路二：代数法
(1) 何时弟弟跑在哥哥前面？
(2) 何时哥哥跑在弟弟前面？
(3) 谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？
解：(1) 4x＜3x＋9，
解得 x＜9.
(2) 4x＞3x＋9，
解得 x＞9.
(3) 4x＝20，
3x＋9＝20，
解得 x＝5；
4x＝100，
3x＋9＝100，
解得 x＝25；
∴弟弟先跑过 20 m.
∴哥哥先跑过 100 m.
则 0＜x＜9.
针对训练
2. 直线 l1：y1＝kx+b 与直线 l2：y2 ＝x+a 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 kx＋b＞x＋a 的不等式的解集为 ( )
A. x＞3 B. x ＜ 3
C. x＝3 D. 无法确定
x
y
B
y2 ＝ x+a
y1 ＝ kx+b
3. 直线 l1：y = x + 1 与直线 l2：y = mx + n 相交于点 P(a，2) ，则关于 x 的不等式 x + 1≥mx + n 的解集为________.
O
x
y
a
l1
2
l2
P
x≥1
一元一次不等式
一次函数
可以研究一次函数图象走向
通过图象可直接解出不等式
课堂小结
1. (思明期末)若函数 y = ax 和函数 y = bx + c 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 ax - bx＞c 的解集是( )
A. x＜2
B. x＜1
C. x＞2
D. x＞1
2
1
3
2
1
3
y = ax
y = bx + c
D
课堂练习
2. 甲、乙两辆摩托车从相距 20 km 的 A、B 两地相向而
行，图中 l1、l2 分别表示两辆摩托车离开 A 地的距离
s (km) 与行驶时间 t (h) 之间函数关系.
(1) 哪辆摩托车的速度较快？
(2) 经过多长时间，甲车行驶到
A、B 两地中点？
O
解：(1)由图象可知
故摩托车乙速度快.
即经过 0.3 h 时，甲车行驶到 A、B 两地的中点.
(2)当 s ＝10 km 时，
O

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