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第二章　几何图形的初步认识
2．4　线段的和与差
1．知道线段可以相加减，能利用线段的和与差进行简单的计算．
2．知道用直尺和圆规作出两条线段的和、差、倍的操作方法，并能自己作图．
3．知道线段的中点的定义，会用数量关系表示中点并进行相应的计算．
◎重点：线段的和与差的作图及计算，线段中点的概念及表示方法．
◎难点：线段的计算．
·导学建议·
教具准备：圆规、直尺．
　　我们知道有理数可以相加减，那么作为几何图形的线段是否可以相加减呢？
线段的和与差
1．阅读并完成课本中的“一起探究”，然后完成下列问题．
如图，已知两条线段m和n，且m＞n．如图①，在直线l上画线段AB＝m，BC＝n，则线段　AC　就是线段m与n的和，即　AC　＝m＋n；如图②，在直线l上画线段AB＝m，在AB上画线段AD＝n，则线段　BD　就是线段m与n的差，即　BD　＝m－n．
AC
AC
BD
BD
2．阅读课本“例2”，思考：“因为AB＝CD，所以AB＋BC＝CD＋BC”的根据是什么？
等式的性质：等式的两边分别加上相等的量，等式仍然成立．
归纳总结：两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条　线段　，其长度等于这两条线段的　和　（或　差　）．
线段
和
差
　如图，填空：AB＋BC＝　 AC　，AD－CD＝　AC　，BC＝　 BD　－CD＝　 AC　－AB， AD＝　AB　＋　 BC　＋　 CD　．
AC
AC
BD
AC
AB
BC
CD
线段的中点
·导学建议·
可设计活动：在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A和B重合，将纸展开后，在线段AB上折痕处描点M．问：线段AM和BM的大小关系是什么？线段AM和AB的大小关系是什么？在活动的基础上，要求学生从图形和数量关系两个方面来认识线段的中点．教师可以通过让学生回答问题“如果一点是线段的中点，那么它应该满足什么条件？”来巩固线段中点的定义．特别要强调“点M在线段AB上”，这是学生容易忽略的一点．
阅读课本“做一做”，完成填空．
如图，线段AB上的一点M把线段AB分成两条线段AM与MB，如果　AM　＝　MB　，那么M就叫做线段AB的中点．此时有　AM　＝　MB　＝　AB　，AB＝2　AM　＝2　MB　．
AM
MB
AM
MB
AB
AM
MB
　如图，C是线段AB的中点．
（1）若AB＝10 cm，则AC＝　5 cm 　；
（2）若AC＝6 cm，则AB＝　12 cm 　．
5 cm
12 cm
线段的和与差的作图
1．请你用直尺和圆规完成课本“例1”的作图过程，并说出其中的作图步骤．
作图略．步骤：（1）以A为端点画一条射线，在射线上顺次截取AP＝a，PQ＝b，QB＝b，线段AB即为所求．（2）以P为端点画一条射线，在射线上顺次截取PP1＝a，P1P2＝a，P2N＝a，然后在线段PN上截取PM＝b，线段MN即为所求．
2．对于“例1”第（2）问，你还有其他方法吗？
有．可以倒截，如图．
先让学生自己完成画图，教师巡视指导．在画图过程中，教师要让学生明白以下问题：（1）画射线的目的是确定整个图形的起点，由于在没有画完的情况下，终点不能确定，而在这种只有起点而没有终点的状态下，只有射线描述最为合适；（2）作线段的和时，要顺次截取．即沿着射线的方向，从起点开始，依照计算的顺序截取；（3）线段的和、差在画图中的区别：“和”是在截取时不改变方向，而“差”在截取时的方向是变化的．
·导学建议·
　如图，已知线段a、b．求作一条线段，使它等于2a－b．（不写做法，保留作图痕迹）
解：如图，线段BC即为所求．
“知识点一”比较简单，学生自学即可；“知识点二”的教学中，教师要在数量和图形上强调线段中点的特点；通过“知识点三”的教学使学生掌握线段的和、差、倍的作图，作图过程中要提醒学生保留作图痕迹，这是学生容易忽略的地方．
·导学建议·
线段的和与差
1．如图，下列关系式中与图不相符的是（　B　）
A．AD－CD＝AB＋BC
B．AC－BC＝AC＋BD
C．AC－BC＝AD－BD
D．AD－AC＝BD－BC
B
2．已知线段AB＝6 cm，C是线段AB上一点，且AC＝2 cm，则线段BC的长为　4 cm 　．
【变式演练】已知线段AB＝6 cm，C是直线AB上一点，且AC＝2 cm，则线段BC的长为　4 cm或8 cm 　．
4 cm
4 cm或8 cm
　若点C在直线AB上，则点C与线段AB可能有哪几种位置关系？
①点C在线段AB上；②点C在线段AB外．
·导学建议·
1．教师应提醒学生，对于几何问题的解答过程，如果题目没有给出图形，应该先画图，再进行相应的解答．
2．完成变式演练后，可以让学生回答开始上课时提出的问题：小明从家到超市的距离是0．5千米或2．5千米．
线段的中点及有关计算
3．若点C在线段AB上，则下列选项中不能判定C是线段AB中点的是（　D　）
A．AC＝BC B．AC＝AB
C．AB＝2AC D．AC＋BC＝AB
【方法归纳交流】一个点是线段的中点需要满足什么条件？
解：①点在线段上；②点将线段分成两条相等的线段．
D
4．在长为4．8 cm的线段AB上取一点D，使AD＝AB，C为线段AB的中点，则CD＝　0．8 cm　．
0.8 cm
5．已知AB＝18 cm，直线AB上有一点C，BC＝8 cm，M是线段AC的中点，求AM的长度．
解：如图①，当点C在线段AB上时，AC＝AB－BC＝18－8＝10 cm，因为M为AC的中点，所以AM＝AC＝5 cm；
如图②，当点C在线段AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝26 cm，因为M为AC的中点，所以AM＝AC＝13 cm．
所以AM的长是5 cm或13 cm．
·导学建议·
通过任务驱动一中第2题和任务驱动二中第3题的训练，使学生感受演绎推理的过程与分类讨论的数学思想．
　线段的计算
如图，已知AB∶BC∶CD＝3∶2∶4，E、F分别是AB和CD的中点，EF＝22 cm，求AB、BC、CD的长度．
解：设AB＝3x cm，BC＝2x cm，CD＝4x cm，因为E、F分别是AB和CD的中点，所以EB＝AB＝1．5x cm，CF＝CD＝2x cm，所以EF＝EB＋BC＋CF＝5．5x cm，所以5．5x＝22，解得x＝4，故AB＝12 cm，BC＝8 cm，CD＝16 cm．

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