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第04讲：图形的相似
考点一 相似图形
例1 下列说法正确的是（　　）
A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的菱形都相似
C．边数相同的正多边形相似 D．所有的矩形都相似
练1 下列结论①两个全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意两个等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤两个等腰直角三角形相似．其中结论正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
练2 如图，指出下列各组图中，一定相似的是那几组？
（1）两个腰长不相等的等腰三角形（2）两个半径不相等的圆（3）两个面积相等的矩形
（4）两个边长不相等的正方形（5）两个对应角都为120°的六边形（6）两个全等的三角形。
考点二 比例的性质与比例尺
例1 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，b=3，c=2， B．a=4，b=6，c=5，d=10
C．a=2，，， D．a=2，b=3，c=4，d=1
练1 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且，请你探索△ABC的形状．
例2 湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是　 　千米（结果精确到1千米）．
练2 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是　 　km．
考点三 平行线分线段成比例
例1定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
图1有哪些线段成比例：
图2有哪些线段成比例：
练1 （1）已知：如图1，， AB=3，DE=2，EF=4，求BC．
（2）已知：如图2，，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的长．
图1 图2
考点四 黄金分割比
例1 在一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm）（参考数据：黄金分割数：，）
练1 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点 m．
考点五 多边形相似中的计算与证明
例1 已知：四边形ABCD相似于A′B′C′D′。
∠α= 。（2）求x，y的长度。
练1 如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x、y，∠α的值．
例2 在AB＝20m，AD＝30m的矩形花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x、y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似？请说明理由．
练2 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
例1.下列说法正确的是（　　）
A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等边三角形一定相似
C．两个矩形一定相似 D．两个直角三角形一定相似
例2.黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（　　）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间
C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
例3.若＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．
例4.彼此相似的矩形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y＝kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（　　）
A．（2n﹣1，2n） B．（2n﹣，2n）
C．（2n﹣1﹣，2n﹣1） D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）
例5.已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）设AC＝mAB，BC＝nAB，线段a是线段AC是BC的比例中项，若a＝kAB，则下列格式：①m2＝n；②mn＝k2；③m3＝k2；④n3＝k4，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【A类】
1．下列图形一定相似的是（　　）
A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个四边形
2．在一比例尺为1：36000000地图上，量出南宁到北京的直线距离为5.7厘米．南宁到北京的实地距离为（　　）
A．5700千米 B．3600千米 C．2052千米 D．2150千米
3．已知a，b，c为△ABC的三边，且，则k的值为（　　）
A．1 B．或﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2
【B类】
4．已知＝＝，且3x+4z﹣2y＝40，则x的值为　 　．
【C类】
1．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．
1．下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．两个矩形 B．两个周长相等的直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰三角形
2．若（k≠0），则y＝kx+k﹣2一定经过第　 　象限．
3．2018年10月24日上午9时港珠澳大桥正式通车．在一幅比例尺为1：1000000的地图上，量得港珠澳大桥长5.5厘米，大桥的实际长度是（　　）
A．55米 B．10千米 C．5.5千米 D．55千米
实数a，n，m，b满足，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若，，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当时，a，b的大黄金数与小黄金数之差 ．
5．甲、乙是两个形状相同，大小不相同的五棱柱．像这样，两个形状相同，大小不一定相同的几何体称为相似体．两个相似体的一切对应线段之比都等于相似比（即有a：a′＝b：b′＝c：c′＝k）．
解答下列问题：（1）下列几何体中，一定属于相似体的是　 　
A．两个正方体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体 D．两个长方体
（2）请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体一切对应线段（或弧）长的比等于　 　；②相似体表面积的比等于　 　；
③相似体体积的比等于　 　．
（3）据新华社报道：一头特殊的体内带有抗疯牛病基因体细胞的克隆牛犊，于2006年5月25日在山东省莱阳农学院自然诞生．这头转基因体细胞克隆牛出生时体重55kg，身高95cm．假定在完全正常发育的条件下，不同时期的这头牛的身体是相似体，经过若干月后，这头小牛的身高为1.5m时，它的体重将是多少？（精确到个位，不考虑不同时期牛的身体平均密度的变化）

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