资源简介

几代结合巧解代数题
罗中胜
西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637002
摘要：初中数学教学中，代数与平面几何各成体系，具有相对的独立性，但两者又是密切相关，相辅相成的。同样的在高中同学们学了解析几何后往往还是没有把几何与代数结合起来，而常常把解析和几何分开，尤其是同学们在解代数题时容易重视纯代数法，而忽视几何在代数中的解题功能。甚至不可能想到用几何方法去解，但往往用上几何方法，会使你解题达到事半功倍的效果。因此强化几何与代数的结合，把几何的思想应用在代数的解题中，这对提高学生的综合能力有很大帮助。同时应将这种思想方法渗透于整个中学阶段。
关键词：几何； 代数； 构造； 巧解代数题
Geometry and algebra unify skillful solution algebra probloms
Luo Zhongsheng
Mathematics and Information China normal university institute, the Sichuan Nanchong 637002
abstract: In the junior middle school mathematics teaching, algebra and plane geometry each form their own system, so they have the relative independence, but both also are the close correlations, complements one another. After the study of the analytic geometry in high school, similarly classes often can’t unify geometry and algebra, but frequently separate analysis and geometry, in particular when solving algebra topics, they easily take the pure algebra law, but neglect the function of solving problems of geometry in algebra. Even it is impossible for them to think of going to the solution with the geometry method, but if the geometry method is used, the effect of solving problems can achieve the twice the result with half the effort effect. Therefore the strengthening the union of geometry and algebra, and applying the geometry thought to the the algebra problem solving, it is very helpful to enhance student's all-round capacities. Simultaneously should this thinking method infiltrometer entire middle school stage.
Key word: Geometry； Algebra； Structure； Skillful solution algebra problems.
引言
数学家拉格朗日说过；“代数与几何两门学科一旦联袂而行, 它们就会从对方吸收新鲜的活力, 从而大踏步地走向各自的完美.”著名数学家华罗庚先生亦曾说过：“数形结合千般好, 数形分离万事休.”事实上, 有些繁难的代数题, 若我们根据题目的结构, 联想、挖掘出它的几何背景, 构造几何模型, 把代数问题转换成几何问题讨论, 往往能峰回路转, 探索出十分巧妙的解法.对于中学教学来说，几代结合更是中、高考以及各种竞赛题中很常见的一中解题方法，对于考试时在做题的准确性和快捷性方面都是很重要的。据统计，在每年的高考答案中，若按常规的解题方法解答，每年的高考答案就是抄也得抄一个半小时。而若把有些题目用几代结合解答将会节约大量时间。而我们把这种思想渗透到教学过程中，一方面教师在讲时更容易让学生接受，使教学达到事半功倍的效果；另一方面可让学生把几何和代数融会贯通，对数学的认识提高到新的层面，同时还能提高学生学习数学的兴趣。下面让我用例子来分别加以说明。
一、求值问题：
求值问题一般分为计算求值问题和求最值问题。而这两类题是我们的学习和考试都不可缺少的，而这类题如果没找到适当的解题方法你可能花了很多时间都是徒劳无功，不是作不出来，就是计算错误！比如后面的例1：求的值，对于初中生如果是按常规的方法那就只能通分后再相加，分母的指数现在是8可能还能计算，但达到成百上千怎么办。对于高中生按常规的方法也就是由等比公式前n项和来计算，但还是要对付繁杂的分式，容易出错。但是如果用上几代结合的方法将会使你的计算既快又准。
（1） 、一般的求值问题：
例1：求的值[5]。
分析解：此题若用常规方法去求出公分母一计算，无疑十分繁难，现将其转化为几何问题来解。构造（如图1）面积为1的正方形。把这个方形
等分成两面积为的矩形。接着把一个面积为的矩形等分成
两个面积为的正方形。再把一个面积为的正方形等到分
成两个面积为的矩形；如此进行下去，直到把一个面积为
的矩形等分成两个面积为的矩形。于是，根据图形展示的规律可得：
例2：对任意正数、、满足方程组：
求的值[2]。
分析与解：注意方程组的左端均为、、的一次式，右端均为完全平方数，可联想到三角形的余弦定理及勾股定理，依次将方程组变形为：
困此构造 （如图2）,在内找一点O，使，则，再令，，
整理得：
　 例3：求的值（1993年全国高考（文）24题）[4]。 如图3，构造一个直角三角形ABC，C是直角顶点， =300，在上取 一点D，使，则
.
这是用形助数的解题的很成功的例证.其实还可以给出一个更一般的构造（如图4）.作一直角三角形ABC，不妨设.则，则.令BC=a,DC=b,显然BD=AD=，AC=b+
，
，
在.立即得其余公式证略.
这就是三角公式的几何背景，知道这点将及有助于我们构造图形去证其他三角形题.仍以（24）题为例，那个图形的构造正应 是从这里开始思考得到的（如图5）。以为基础，使AB=2，则BC=2。
延长AC到E，使，
过D作DFBE交延长线上一点F。且过D
作DFAB交于G点.所以BG=AG=1，显然
≌，即DF=1，而正是前
面构造的那个三角形。
通过以上的探寻，这道题的图形法证明就不是侥幸取得得，它是一种很自然的思路.对解（证）类似的题有较普遍的意义.
（二）、最值问题：
例4：已知,且则的最小值为（）[5]
（A）3 （B）4 （C）5 （D）
分析与解：这是一道数学竞赛题，，初识实感无从下手，若将“式”转化成“形则或轻松解。（如图6）分别以、1和、2为直角边，、为斜边，构造如图2所示的两个、。由图形显见，当点C位于直线 AD上时，AC+AD最短，即的值最小。
于是过点A作AG垂直DE的延长线交于G点，则四边形ABEG是矩形，
又
在中，DG=3，AG=5，
斜边AD=，
由勾股定理可得：
==
故应选择D。
例5：已知、、都是正数且满足，试求：的最小值（1989年第23届全苏数学竞赛题）[1]。
解：由、、可得：
，，
由三角形中两边之和大于第三边定理可构造以，，为边的（如图7）。
由海伦公式得：
但
所以
当，， 时，取等号。
所以
例6：求函数的最大值和最小值。
分析：本题看似一个纯粹的三角函数求最值问题，但我们把它和几何知识联系起来，由形式可以看出来它很象没的斜率公式，我们便可以看出它是求点A（）和点B（1，2）连线的斜率的最大和最小值。
解：设则即A为单位圆上的动点，点B（1，2）为一定点（如图8）。要求的最值，
即要求A,B两点的连线斜率的最值。
设直线AB的斜率为,则直线
的方程为，
即：
又由直线与圆相切于点，则有
又点的横坐标与B点的横坐标相同
不存在
， 即
二、证明问题：
证明问题中，不等式的证明是一个难点也是一个重点，在中、高考中占有非常重要的地位。同学们在证明不等式时一般都有一种固定的思维方向，那就是根据不等式的性质及常用的证明方法来证。而证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、判别式法、放缩法等[8]。而也上的方法都不仅要十分熟悉不等式的性质及几个重要不等式而且经常含有大量的计算和逻辑推理，稍有不慎就会出错。但是我们有时用上几代结合的方法，就会让题变得简单易懂！因为我们用上几何的方法，把题中的数量关系有一些线段表示出来，这样使题意中已知和求证清晰，有一种能摸得着的感觉，让人思想豁然开朗！如后面将会提到的不等式证明的例子，如果采用常规方法不管是比较法、分析法、还是综合法、数学归纳法、反证法、换元法、判别式法、放缩法都将是无从或很难作手。但要是用上几何的方法，将会轻易解决。
例7：已知、、为正数，求证：[6]。
分析：观察不等式右边，联想到它是边长为的正方形的对角线长，而左边三个根式分别是边长为、、、、、的矩形的对角线长，从而可构造一正方形来证明。
证明：（如图9）作边长为的正方形ABCD ,将AB、AD 分为、、 与、、三段，过分点G、H、K 分别作平行于
正方形边的平行线，则
，
由两点间线段最短即得所需证的不等式。
例8：设m 、n 、p为正数, 且p > m , p >n.
求证：
初见此题, 感到十分困惑,不知从何入手去解. 用代数法来解这道题, 会非常繁杂. 但仔细观察会发现这样一个规律,那就是不等式左面几个代数式的形式都如勾股定理变化后的形式, 即 , 你想到了什么 对！ 就是用几何方法去解决它. 　
证明：作边长为的正方形ABCD（如图10）, 在AB 边上截取AE = ,在AD 边上截取AG = m ,则B F = p - n , GD= p - m. 再分别过
G、E 作AB 、AD 的平行线, 分别交BC、CD 于H、F ,GH、
EF 相交于O. 连结AO、BO、CO、DO、AC、BD. 由勾股定理,
得AO = ,DO =, BO = ,
CO =,AC = BD =.由三角形三边关系，
得：.
,
即：
(当m = n 时取等号) .
例9：已知和均为正数，且，
求证：[7]。
分析：本题如果用代数方法证明，会感到无从下手，但如果构造几何图形来解，本题会变得直观易懂。
证法一：（如图11）作边长为5的正方
形ABCD，根据,把正方
形四边分割，这时
证法二：（如图12）作边长为5的等边,在其边上分别取点D、E、F，使AE=,CF=,BD=,BE=,AF=,DC=.
例10：设为锐角，求证:
分析：,又由于,, 同出一题，所以该题考虑应用几何法中的单位圆及三角函数线来解。
证明：（如图13）设单位圆方程,锐角的终边交圆于P ,作的正弦线交AT过P作圆的切线交AT于E。
若设,则有，
又位于内，于是的长
又=的长，且，
则，而
又 且
易证，即：
故原题得证。
例11：已知为正实数，求证：[3] 。
分析与证明：由已知条件联想到三角形中一边为,另一边为1，且夹角为 和时的情形，故可构造一个几何图形与已知条件等价，（如图14）作 和，使，连结AB,BC,AC，则有BC=BD=DC=1,由余弦定理得：
在中 ,
用同样的方法，构造两个具有公共顶点的三角形还可证明
（注：因为例中,所以B点不可能在AC上，所以左右两边没有相等的情况）
　　通过前面的一些例子我们容易看到在解决代数问题时，用上适当的几何方法，会让做题者快捷准确，让读者直观易懂。正如著名数学家华罗庚先生所说：“数形结合千般好, 数形分离万事休.”
参考文献：
[1]金朝枢、苏键一、宇永仁.高中数学解题方法与技巧［M］.沈阳：辽宁人民出版社,1994.P181～P218
[2] 宇永仁.解数学竞赛题中的几何构造方法[D].沈阳师范大学学报（自然科学版）第21卷第3期.P172～P173
[3] 张秀琴.安徽教育[J].1996年第1～2期.P81
[4] 袁金.从几何法解高考题引起的联想[J].中学数学教学参考.1994年10～11期.P29
[5] 袁中合、吕棉良.用几何方法巧解代数题[J].初中数学教与学第7期.P11
[6] 郁光义.在解题中加强代数与几何的相互渗透[J].中学数学月刊1997年第5期.P32～P33
[7] 夏祝升.代数与几何的联姻[J].《数理天地》初中版.2005年第4期.P12～P13
[8] 王新敞.不等式的证明的方法介绍[E ( http: / / www. / wxc / lunwen.htm[E )].http://www./wxc/lunwen.htm ( http: / / www. / wxc / lunwen.htm ).
B
A
D C
图 3
B
A D C
2
图 4
图 5
A D C E
F
G
B
B
A
O
图 8
（1，2）
图 2
O
5
C
3
4
B
图 6
1
2
D
B C E
图 10
H
B C
O
G
A D
图 9
G H B
a
c
图 12
A
F
B c D z C
b
E
b
B C
c z
c
a z
A
D
B
C
A
图 7
C
B
A
A D
图 14
a y
图 11
a
A G
图 13
EMBED Equation.DSMT4
O
M
b
A
A
T
P
E
E
D C
c
b
F
K
图 1
PAGE
10

展开更多......

收起↑