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R·八年级数学下册
16.1 二次根式
二次根式的性质
二次根式的定义
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
a叫做被开方数.
复习回顾
问题1：如图，一块正方形的方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
正方形的边长为 .
用边长表示正方形的面积为 .
又∵面积为a.
∴ =a.
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
探索新知
问题2：验证问题1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
0
2
4
…
0
2
…
( )2
0
2
4
…
算术平方根
平方运算
根据问题2直接写出结果，然后根据问题2的探究过程说明理由：
=____；
=____；
=____；
=____.
4
2
0
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一般地， .
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
例2 计算：
（1）( )2； （2）( )2.
解：（1）( )2=1.5；
（2）( )2
积的乘方：(ab)2=a2b2
=22×( )2
=4×5=20.
1.计算：
练习
（1）( )2； （2）( )2；
【选自教材第4页 练习 第1题】
解：（1）( )2=3；
（2）( )2=32×( )2=9×2=18.
2.在实数范围内分解因式：
（1）x2-7； （2）x4-4x2+4.
解：（1）x2-7=(x+ )(x- )；
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( )2]2=(x+ )2(x- )2
这里逆用了( )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
练习
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
0
…
a2
4
0.01
0
…
2
0.1
0
…
平方运算
算术平方根
观察两者有什么关系？
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
﹣2
﹣0.1
﹣3
…
a2
4
0.01
3
…
2
0.1
3
…
平方运算
算术平方根
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
归纳小结
运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方
取值范围 a≥0 a取任何实数
运算结果 a ｜a｜
表示意义 表示一个非负数a的算术平方根的平方 表示一个实数a的平方的算术平方根
讨论：如何区别 与 ？
例3 化简：
（1） ； （2） .
解：（1）
=
=4；
（2）
=
=5.
3.说出下列各式的值：
【选自教材第4页 练习 第2题】
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
0.3
﹣π
练习
问题4：回顾我们学过的式子，如5，a，a+2b，﹣ab， ，
﹣x3， ， (a≥0)，这些式子有哪些共同特征？
含有数或表示数的字母；
用基本运算符号连接数或表示数的字母．
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
整式
分式
二次根式
4.下列式子：(1)x; (2)a-b；(3) ；(4) ；(5)m=1+n；(6)2x>1；(7)﹣2.其中是代数式的有(　　).
A.4个　　　 B.5个 C.6个　　　 D.7个
B
方法总结：单个的数字或字母也是代数式，代数式中不能含有“=”“>”或“<”等.
练习
2.当1A.3 B.﹣3 C.1 D.﹣1
1.化简 的结果是( ).
A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4
3.在下列各式中，不是代数式的是( ).
A.3 B.3＞1+1 C. D.
C
D
B
随堂练习
4.a，b，c为三角形的三边长，化简： .
解：由三角形两边之和大于第三边得：
a+b-c>0，a+c-b>0.
∴ =a+b-c+(a+c)-b=2a.
已知a为实数，求代数式 的值.
解：由题意可知﹣a2≥0，又∵a2≥0，∴a2=0，∴a=0.
∴ = =2-3+0=﹣1.
拓展提升
二次根式的性质
拓展
a为全体实数
课堂小结
1.从教材习题中选取；
2. 相应课时训练.
课后作业

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