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R·八年级数学下册
16.1 二次根式
二次根式的概念
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？
（2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？
（3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
平方根的性质：
1.正数有两个平方根且互为相反数；
2. 0的平方根是0；
3.负数没有平方根；
4.非负数a的平方根表示为 .
复习回顾
你能说出下列问题的结果吗？
（1）16的平方根是多少？算术平方根是多少？
（2）0的平方根是多少？算术平方根是多少？
（3）﹣2有没有平方根？有没有算术平方根？
1.正数只有一个算数平方根；
2. 0的算术平方根是0；
3.负数没有算术平方根；
4.非负数a的算术平方根表示为 .
算术平方根的性质：
复习回顾
填一填：
（1）面积为3的正方形的边长为_____，面积为S的正方形的边长为_____.
（2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．
探索新知
观察：上面问题的结果分别是 ， ， ， .
（1）这些式子表示的意义是？
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2；
含有“ ”.
②被开方数为非负数.
二次根式的定义
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
a叫做被开方数.
二次根式
的两个必备特征
1.含有二次根号“ ”（根指数为 2）；
2.被开方数必须是非负数.
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
(m<0)
6
分析：
是否含二次根号
是
被开方数是否为非负数
是
是二次根式
否
不是二次根式
否
√
√
√
√
1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2.它的长、宽各应取多少？
【选自教材第3页 练习 第1题】
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，由题意得2x×3x=18，解得x1= ， x2= (舍).
答：它的长取 cm，宽取 cm.
练习
例1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
二次根式 有意义的条件是：被开方数为非负数，即a≥0.
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
x可以为任意实数
x≥0
x可以为任意实数
x＞0
x＞﹣1
x≤1且x≠0
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【选自教材第3页 练习 第2题】
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
a≥1
a≥
a≤0
a≤5
练习
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
归纳小结
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
B
D
2.二次根式 中，字母x的取值范围是（ ）.
A.a＜2 B.a≤2 C.a≥2 D.a＞2
随堂练习
3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ；
解：根据题意可得-x2+2x-1≥0，
∴-(x2-2x+1)≥0.
∴x2-2x+1≤0.
∴(x-1)2≤0.
∵(x-1)2≥0，
∴当x=1时， 在实数范围内有意义.
（2） .
解：根据题意可得-x2-2x-3≥0，
∴-(x2+2x+3)≥0.
∴x2+2x+3≤0.
∴(x+1)2+2≤0.
∵(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2＞0.
∴无论x为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
4.若 +｜b-2｜+(c-1)2=0，求2a-b+3c的值.
提示：多个非负数的和为0，则可得每个非负数均为0.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解：由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1.
所以2a-b+3c=-3×2-2+3×1=-5.
5.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
1.若 ，则x的取值范围是_______.
2.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，试化简：
=_______.
a
b
0
x≤1
-3b
拓展提升
二次根式
定义
在有意义条件下求字母的取值范围
双重非负性
带有二次根号
被开方数为非负数
被开方数≥0
分母≠0
a≥0
≥0
课堂小结
1.从教材习题中选取；
2. 相应课时训练.
课后作业

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