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幂的运算中的几种思维火花
幂的运算法则，课本上学过的有：
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加：.
（2）积的乘方，每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 ： .
（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘： .
（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减： .
这些法则都是在有理数运算的基础上讨论的，法则中的底数字母可以代表数字，也可以是代数式，而指数字母目前只代表正整数. 这些法则运用时还要注意几种数学思想的提炼，这样才会灵活处理各种问题.
（1） 数字到字母的迁移思维
[例1] 计算 .
（分析）问题还是同底数幂的乘法，只不过指数不是具体的数字，变成代数式了，我们仍然可以运用法则，指数相加时要注意合并同类项.
[解] 原式==.
（注）事实上我们所学的幂的运算法则中，指数都可以扩展为字母或代数式.
[例2 ] 计算 .
（分析）看作幂，看作乘方指数，指数相乘时，要注意有括号的作用：2=.
[解] 原式==.
（2） 整体思维
[例3]计算 .
（分析）如果想到，这样就可以把看作一个整体，作为底数，进行同底数幂的乘法.
[解] 原式==.
（注）法则中的底数都可以是数字、字母、代数式，要注意观察其特点，灵活运用法则进行运算.
[例4]计算 .
（分析）被除式和除式分别是积的乘方，但是两个积相同，我们还是把看作一个整体，先进行同底数幂的除法，再进行积的乘方.
[解] 原式=.
（注）该题有两种思路，可以分别试算一下，然后再选择一种简便方法.
（3） 逆向思维
[例5] 计算 .
（分析）指数太大，直接乘方计算无法进行。若倒退一步，把看作，再用结合律计算，这时再倒退一步=，这样计算起来会非常简便了.
[解] 原式===.
（注）数字太大的计算问题，一般都会有简便方法，不要直来直去，要知道有时“退一步海阔天空”啊！
[例6] 已知 ，求的值.
（分析）所求与已知相离太远, 倒退着联想=，这样已知数正好利用上.
[解] ===100.
（注）我们所学过的几个幂的运算法则都可以逆用，适当后退，为了更好的前进.
（4） 有限到无限的递推思维
[例7 ]计算 .
（分析）多个同底数幂相乘，我们还可以应用法则：底数不变，所有的指数相加.
[解] 原式=.
（注）法则都可以拓展应用，处理复杂问题时要注意理解选用.
幂的运算法则也可以逆用哟
学习同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及同底数幂的除法的运算法则，同学们不仅要熟练掌握这些法则进行有关的幂的运算，还要会逆用这些法则来解决一些问题.
1、 同底数幂的乘法法则的逆用
同底数幂的乘法法则为：am·an=am+n（m，n为正整数），将其逆用为am+n=am·an（m，n为正整数）.
例1 已知3m=9，3n=27，求3m+n+1的值.
分析：根据同底数幂的乘法法则的逆用，可得3m+n+1=3m·3n·3，然后将3m=9，3n=27代入计算即可.
解：3m+n+1=3m·3n·3=9×27×3=729.
评注：根据本题的已知条件，也可以直接求出m，n的值代入计算.
二、幂的乘方法则的逆用
幂的乘方的运算法则为(am)n=amn(m,n为正整数),将其逆用为amn=(am)n(m,n为正整数).
例2 已知ab=9,求a3b-a2b的值.
分析:根据已知条件ab=9,可以逆用幂的运算法则将a3b化为(ab)3,a2b化为(ab)2,然后将ab=9代入计算.
解: a3b-a2b=(ab)3-(ab)2=93-92=9×92-92=92(9-1)=81×8=648.
评注:根据已知条件不易直接求到a,b的值,此时可求到逆用幂的运算法则进行变形计算.
三、积的乘方运算法则的逆用
积的乘方的运算法则为(ab)n=an·bn(n为正整数),将其逆用为(ab)n=an·bn(n为正整数).
例3 已知am=16,bm=81,求(a2b)m的值.
分析:根据已知条件不容易直接求到a,b,m的值,此时可逆用积的乘方运算法则,将(a2b)m变为a2m·bm,然后将已知条件代入求值.
解: (a2b)m=(a2)m·bm=(am)2·bm=162×81=20736.
评注:当已知条件是幂的形式,所求式子是积的乘方的形式时,可思考逆用积的乘方运算法则进行代入求值.
四、同底数幂的除法法则的逆用
同底数幂的除法的运算法则为am÷an=am-n（a≠0，m>n,m,n为正整数,且m>n）,将其逆用为am-n=am÷an（a≠0，m>n,m,n为正整数,且m>n）.
例4 已知am=64,an=16,求a3m-4n的值.
分析:根据已知条件不易求到a,m,n的值,观察a3m-4n的指数是差的形式,此时可思考逆用同底数幂的除法的法则,得到a3m-4n=a3m÷a4n,然后再逆用幂的乘方法则,得到a3m÷a4n=(am)3÷(an)4,最后将已知条件代入即可.
解: a3m-4n=a3m÷a4n=(am)3÷(an)4=643÷164=(26)3÷(24)4=218÷216=22=4.
评注:当待求值的是幂的形式,且指数为差的形式,此时可想到逆用幂的运算法则进行变形求值.
整式探究规律题大聚会
整式这部分内容知识点琐碎，概念性强，题型多为填空题和选择题，有时还设计了开放探索型试题，这类规律探究问题很值得同学们注意，它考查了同学们实际应用与创新的能力，下面将整式中的规律问题归纳如下，供同学们学习时参考.
一、探究等式中的规律
例1（重庆綦江）观察下列等式：
；
；
；
…………
则第（是正整数）个等式为________.
分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子差的变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．
解：由所给的等式可看出等式左边后面的每个底数比前面的每个底数多1，等式右边第一个数不变，第二个数后面的数比前面的数多2，由此可得第（是正整数）个等式为
.
评注：解答规律问题的关键是能根据题意找出相应的一般形式，然后求出相应的值.学过字母表示法后，凡按某种规律列的数、式或图形的变化规律等问题，都可尝试用式子表示，这类题目在中考中经常出现.
二、探究表格中的规律
例2（台州市）将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则① ；②第行第列的数为 （用，表示）．
　　 　　　 第列 第列 第列 … 第列
第行 1 …
第行 …
第行 …
… … … … … …
分析：（1）从表中反映出第列数，由第4行第2列的数为32，求出第4行第2列的数的代数式，解的方程即可.（2）按照排列规律求出第行第列的数.
解：（1）第4行第2列的数的代数式为，由题意得，，.
（2）.或.
评注：解答此类题目的一般方法是：从特殊情形入手，观察和分析所给表格的规律，然后归纳和总结出一般性的结论.
三、探究图形中的规律
例3（广东省中山）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）.
分析：观察第⑴个图形有黑色瓷砖4块；第⑵个图形有黑色瓷砖4＋3＝7（块），第⑶个图形中有黑色瓷砖4＋3＋3＝10（块），…，依次规律可得第（）个图形中有黑色瓷砖4＋3（）＝（块）.
解：10，（）.
评注：解答此类问题要仔细观察每个图形及变化规律，根据规律归纳总结出结论。
四、探究火柴棒摆图规律
例7（娄底市）王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规
律，第n个“中”字形图案需 根火柴棒.
分析：解答探索规律问题时，要仔细观察题设条件，从简单情形入手，从而猜想、归纳、概括出一般规律、然后根据规律公式解答问题.
解：如（1）“中”字形图案用火柴棒9根，即；如（2）“中”字形图案用火柴棒15根，即；如（3）“中”字形图案用火柴棒21根，即；按排列规律依此类推，第n个“中”字形图案需6n+3根火柴棒. （或9+6（n-1））
点评：本题要求学生能经过观察、归纳、猜想、验证的探究规律过程，学生在观察出图形之间内在规律的前提下，准确的找出其中变化与没有变化的数量关
总之，探索规律的关键：1.注意观察已知的对应数值的变化，从中发现数量关系，即得到规律.
2. 探索规律的方法：
（1）从具体的实际问题出发，常用列表的方式，展现各数量的特点及其之间的变化规律；
（2）由此及彼，合理联想，大胆猜想；
（3）总结归纳，得出结论；
（4）验证结论.
练习
1. 观察下列数表：
第　　第　　第　　第
一　　二　　三　　四
列　　列　　列　　列
第一行　　　　　1　　　2　　3　　　4
第二行　　　　　2　　　3　　4　　　5
第三行　　　　　3　　　4　　5　　　6
第四行　　　　　4　　　5　　6　　　7
……　　　　　…　　　…　…　　　…
请猜想第n行第n列上的数是 。
2.观察下列等式：
则第n个等式可以表示为 。
3．（山西省）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．
4.用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需棋子 枚（用含n的代数式表示）.
答案：1. ； 2. . 3. 4. .
（1）
（2）
（3）
……
（1）
（2）
（3）
……
……
第1个图
第2个图
第3个图
…
2 / 9整式的运算复习指导
一、知识结构图：
二、有关的运算法则：
（一）幂的运算性质：
（1）am an=_______（m，n都是正整数）；
（2）am÷an=________（a≠0，m，n都是正整数，且m>n），特别地：a0=1（a≠0），a-p=（a≠0，p是正整数）；
（3）（am）n=______（m，n都是正整数）；
（4）（ab）n=________（n是正整数）
（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．
（6）完全平方公式：（a±b）2=__________．
点评：能够熟练掌握公式进行运算.
答案：（1）am+n；（2）am-n；（3）amn
（4）an bn ；（5）（a+b）（a-b）=a2-b2;(6) （a±b）2=a2±2ab+ b2;
（二）整式的乘法法则：
（1）单项式相乘法则：把单项式的系数与相同的字母分别相乘、对于只在一个单项式中含有的字母则连同它的次数作为积的一个因式；
（2）多项式相乘，把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，可以参考单项式的乘法法则，把所得到的积相加减，有同类项的要合并同类项；
（3）运算技巧的运用：整体求值、联系待定系数法求未知的系数、次数和其中含有的字母的值；
三、考点例析：
（一）考查基本运算法则、公式等：
例1、计算： .
答案：；
点评：运用多项式相乘的法则即可；应注意符号、及其合并同类项，把结果变为简略的形式；
例2、下列运算中正确的是（ ）
A．；B．；C．； D．
答案：D；
点评：对照相应的公式即可看出正确的答案来；
例3、下列式子中是完全平方式的是（ ）
A． B．； C．； D． ；
答案：D．
点评：对照完全平方公式：可以看出：；
而其它三个选项都是错误的；
（二）同类项的概念
例4、 若单项式2am+2nbn-2m+2与a5b7是同类项，求nm的值．
【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得 ( http: / / www. / ) 解出即可；求出：
所以：
（三）整式的化简与运算
例5、先化简，再求值：
， 其中．
解：
．
当时，原式．
点评：在化简的过程中，可以适当的运用乘法公式、运算法则进行简便运算；
（四）定义新运算：
例6、在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：，
则方程 ( http: / / www. / )的解为 ．17．
点评：两次运用题目中的新运算公式：（1）；
（2），所以：，求出：；
例7、对于任意的两个实数对和，规定：当时，有；运算“”为：；运算“”为：．设、都是实数，若，则．
点评：两次运用题目中的新运算公式，不难求出问题的答案来：
（1）由：得出： ( http: / / www. / )，
所以：（2）
（五）整体思想的运用：
例8、计算：
分析：这里的底数为：、，而这两个式子恰为相反数，我们可以把看做一个字母：利用负数的偶次方是正数的原则变化：、两项的底数为，所以有：
解：原式===；
点评：底数是多项式且以固定的形式（或者某一形式的相反数）时出现，这类幂的乘积运算问题，可以把固定的形式看做一个整体，常常变化次数是偶次的幂的底数为它的相反数，这样变化不出现“-”，便于运算；应注意变为同底数的幂的一般方法的灵活运用；
（六）巧妙变化幂的底数、指数
例9、已知：，，求的值；
点评：根据现有的知识水平，很难求出、的值来，所以我们可以把：、中的分别看作一个整体，通过整体变换进行求值，则有：
；
例10、 计算：；
分析：显然：-0.125与8的乘积是“-1”，而(-1) 高次方值容易得出答案来：①（-1）的偶次方是1；②(-1)的奇次方是（-1）；所以变化为：；则有
原式===(-1) =-;
点评：一些互为倒数或者是互为负倒数的两个数的幂的乘积问题，可以变化次数较高的幂是两个同底数的幂的乘积，其中一个幂的次数恰为其倒数（或者负倒数）的次数，逆向运用积的乘方公式，即可简化运算；
2 / 4整式运算考点汇总
《整式的运算》这一章是七年级下册数学的重点，也是各级考试的必考内容.在各级考试中，对整式的运算的考查，形式灵活，重点突出，下面就本章的考点归类汇总，以期对同学们的复习有所帮助.
一、整式的有关概念
例1　　单项式 的系数是_____,次数是______．
析解：单项式的次数是指所有字母的指数的和，但π是大家都知道的数.这一点要特别注意.所以的系数是，次数是2+5=7.
评注：对于整式的有关概念要有所了解，尤其是单项式和多项式的系数、次数.
二、整式的加减运算
例2　　已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
析解：求一个加数，可以用和减另一个加数.由题意列式得（）=，故选A．
评注：本题考查整式的加减，在根据题意列式时注意哪一个是整体，适时填加括号，在进行计算时要先去掉括号然后合并同类项.
三、幂的运算
例3　　计算_________.
析解：首先看清楚幂的运算的类型，此题是积的乘方，根据其法则，先把每一个因式分别乘方，然后再把所得的幂相乘．.
评注：幂的运算法则较多，在运算时分清楚类型，在理解的基础上掌握.特别注意每一步运算的依据，切忌张冠李戴.
四、整式的乘法运算
例4　　 ， 其中．
析解：本题主要考查单项式乘多项式法则和平方差公式的应用，先将所求的代数式进行化简后，直接代入计算即可，特别要注意后面的符号不能出错．
原式=x2+2x－（x2－1）= x2+2x－x2+1 =2x+1，
当时，原式=2×（）+1=0.
评注：单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘，要注意运算法则，不要漏乘项为1或-1的项.
五、乘法公式
例5 　先化简，再求值：，其中.
析解：先运用乘法公式对原式进行化简，然后代入求值．原式．
当时，原式.
评注 ：在运用乘法公式时要注意公式的特征，看清公式中的a,b再进行计算.
例6　　已知，求的值．
析解：先用整式乘法和乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将已知条件整体代入计算.
．
当时，原式．
评注：对于较复杂的题目，在计算时要细心、谨慎，不要因为马虎而出错．
六、整式的除法运算
例7 计算： .
析解：此算式在整体上是单项式除以单项式，但前半部分是幂的乘方，应该先进行计算.
.
评注：在进行运算时如果是多种运算，注意看清楚运算的顺序.
七、整式的混合运算
例8 先化简，再求值：[(a+b)(a－b)+ (a＋b)2－2a2]÷（2a），其中a=2009，b = －．
析解：对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
原式=(a2－b2+ a2+2ab+b2－2a2)÷（2a）=（2ab）÷（2a）=b．
当a=3，b=－时，原式=－．
评注：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的过程，各项的符号是易出错的地方．
八、整式中的规律探究
例9 王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规
律，第n个“中”字形图案需 根火柴棒.
分析：解答探索规律问题时，要仔细观察题设条件，从简单情形入手，从而猜想、归纳、概括出一般规律、然后根据规律公式解答问题.
解：如（1）“中”字形图案用火柴棒9根，即；如（2）“中”字形图案用火柴棒15根，即；如（3）“中”字形图案用火柴棒21根，即；按排列规律依此类推，第n个“中”字形图案需6n+3根火柴棒. （或9+6（n-1））
评注：本题要求同学们能经过观察、归纳、猜想、验证的探究规律过程，在观察出图形之间内在规律的前提下，准确的找出其中变化与没有变化的数量关系．
整式的乘除考向分析
整式的乘除是进行代数恒等变形的一种重要手段，是今后学习分式、方程、函数等知识的基础，也是中考的必考知识点．现将近年有关考向分析如下，供同学们参考．
一、幂的运算
例1　下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
析解：此题主要考查幂的运算性质及合并同类项知识．选项A是两个式子的和，使我们想到，如果是同类项，可以进行合并，但显然不是同类项，因此不能合并，更不能用同底数幂的乘法进行运算；选项C是积的乘方与幂的乘方运算的综合应用，，而不是；选项D是同底数幂的除法，根据法则知，而不是；选项B是同底数幂的乘法，根据法则，故B是正确的；所以结果应选B．
点评：幂的运算是进行整式的乘除运算的基础，运算中应熟练掌握有关的四条运算法则．这类题在中考中大都以选择、填空题出现，难度一般不大，常与整式的加减中的同类项合并结合在一起考查．
二、整式的乘法运算
例2（1）　计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2）（南昌市）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
析解：（1）考查了单项式的乘法运算，根据法则知=（）=，故应选A．
（2）考查了多项式的乘法运算，根据法则知
=
==，故应选B．
点评：单项式乘以单项式，只要把它们的系数相乘，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．单项式与多项式相乘及多项式与多项式相乘，都是采用转化方式，化为单项式乘以单项式．注意计算中符号的确定．
三、整式的除法运算
例3　　（1）化简（ ）
A． B． C． D．
（2）化简．
析解：（1）此题考查了乘除法的混合运算，应按照从左到右的顺序依次进行．==，故应选C．
（2）此题“+”前面是乘法运算，后面是多项式除以单项式的运算．
=
点评：单项式除以单项式是把它们的系数相除，所得结果作为商的系数，把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式是采用转化思想，化为单项式与单项式相除，再把它们的商相加．
四、乘法公式
例4　　先化简，再求值：其中．
分析：可以用平方差公式对进行运算，再利用完全平方差公式对展开，再利用合并同类项知识进行合并，最后代入求值．
解：=
==
当时，原式=．
点评：在进行整式的运算中，凡是能运用乘法公式计算的应优先考虑用乘法公式，这样会较解题过程简便，不易出错．
5 / 5如何进行多项式除以多项式的运算
多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：
例1 计算
规范解法
∴
解法步骤说明：
（1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列好．
（2）将被除式的第一项除以除式的第一项，得，这就是商的第一项．
（3）以商的第一项与除式相乘，得，写在的下面．
（4）从减去，得差，写在下面，就是被除式去掉后的一部分．
（5）再用的第一项除以除式的第一项，得，这是商的第二项，写在第一项的后面，写成代数和的形式．
（6）以商式的第二项5与除式相乘，得，写在上述的差的下面．
（7）相减得差0，表示恰好能除尽．
（8）写出运算结果，
例2 计算．
规范解法
∴
……………………………余．
注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．
另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．
∴
……………………………余．
8．什么是综合除法？
由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．
如：计算．
因为除法只对系数进行，和无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．
还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（3）的形式：
将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．
多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．
例1 用综合除法求除以的商式和余式．
规范解法
∴ 商式，余式＝10．
例2 用综合除法证明能被整除．
规范证法 这里，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）
因余数是0，所以能被整除．
当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．
例3 求除以的商式和余数．
规范解法 把除以2，化为，用综合除法．
但是，商式，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．
∴ 商式，余数．
为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．
用除以，得商式，余数为，即
∴
．
即 除以的商式，余数仍为．
2 / 4关于(a+b)2的推广
对于公式(a+b)2＝a2+2ab+b2，可以从两方面推广：一是从指数推广；一是从项数推广．
我们知道，
(a+b)2＝a2+2ab+b2． ①
　　由多项式的乘法，可以得到
(a+b)3＝(a+b)2(a+b)
＝(a2+2ab+b2)(a+b)
＝a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
＝a3+3a2b+3ab2+b3． ②
　　从展开式①，②中，可以看出如下规律：
　　项数与次数
　　项数比次数多1；
　　展开式中的字母a按降幂排列，第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列，末项b的指数也是二项式的次数；
　　 各项中a，b指数的和都等于二项式的次数．
　　系数
　　首末两项的系数都是1；
　　②式中第二项的系数是①式中第一、二项系数的和；
　　②式中第三项的系数是①式中第二、三项系数的和．
　　上述规律，从下面的表中可以很清楚地展示出来．
　　 按上述规律，
(a+b)4
　　展开式各项的系数为
1 4 6 4 1
　　再结合项数与次数的规律，可得
(a+b) 4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． ③
　　由多项式的乘法验证，③的结果是对的．
　　事实上，由③可以推出(a+b)5展开式各项的系数，等等．当二项式的次数不大时，我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来．例如
(a+b)5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
　　如果你有兴趣，不妨按照上述规律写出(a+b)6的展开式．
　　上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)一书中用过．杨辉在注释中提到，贾宪也用过上述办法．因此，我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角．
　　下面看一看(a+b)2项数推广的情形．
　　我们用语言表述公式
(a+b)2＝a2+2ab+b2 ①
　　为：两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍．
　　我们曾用多项式的乘法计算，得
(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac． ②
　　上式同样可用语言表述为：三数和的平方，等于这三个数的平方和，加上这三个数中每两个数的积的2倍．下面，我们用多项式的乘法计算四数和的平方．
　　(a+b+c+d)2＝[(a+b)+(c+d)]2
　　＝(a+b)2+2(a+b)(c+d)+(c+d)2
　　＝a2+2ab+b2+2ac+2ad+2bc+2bd+c2+2cd+d2
　　＝a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd． ③
　　同样，上式用语言表述为：四数和的平方，等于这四个数的平方和，加上这四个数中每两个数的积的2倍．
　　同学们如有兴趣，可利用公式②，③计算下列各题：
　　1．(a+2b-c)2．
　　2．(2x-y+3z)2．
　　3．(a+b-c-d)2．
　　4．(x-2y-z+2w)2．
2 / 2《同底数幂的乘法》备课资料
（参考例题）
一、参考例题
［例1］计算：
(1)(－a)2·(－a)3 (2)a5·a2·a
分析：(1)中的两个幂的底数都是－a; (2)中三个幂的底数都是a.根据同底数幂的乘法的运算性质：底数不变，指数相加.
解：(1)(－a)2·(－a)3
=(－a)2+3=(－a)5
=－a5.
(2)a5·a2·a=a5+2+1=a8
评注：(2)中的“a”的指数为1，而不是0.
［例2］计算：
(1)a3·(－a)4
(2)－b2·(－b)2·(－b)3
分析：底数的符号不同，要把它们的底数化成同底的形式再运算，运算过程中要注意符号.
解：(1)a3·(－a)4=a3·a4=a3+4=a7;
(2)－b2·(－b)2·(－b)3
=－b2·b2·(－b3)
=b2·b2·b3=b7.
评注：(1)中的(－a)4必须先化为a4,才可运用同底数幂的乘法性质计算；(2)中－b2和(－b)2不相同，－b2表示b2的相反数，底数为b,而不是－b,(－b)2表示－b的平方，它的底数是－b,且(－b)2=(+b)2,所以(－b)2=b2,而(－b)3=－b3.
［例3］计算：
(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1
(2)(x－y)2(y－x)3
分析：分别把(2a+b),(x－y)看成一个整体，(1)是三个同底数幂相乘；(2)中底不相同，可把(x－y)2化为(y－x)2或把(y－x)3化为－(x－y)3,使底相同后运算.
解：(1)(2a+b)2n+1·(2a+b)3·(2a+b)m－1
=(2a+b)2n+1+3+m－1
=(2a+b)2n+m+3
(2)解法一：(x－y)2·(y－x)3
=(y－x)2·(y－x)3
=(y－x)5
解法二：(x－y)2·(y－x)3
=－(x－y)2(x－y)3
=－(x－y)5
评注：(2)中的两个幂必须化为同底再运算，采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.
［例4］计算：
(1)x3·x3 (2)a6+a6 (3)a·a4
分析：运用幂的运算性质进行运算时，常会出现如下错误：am·an=amn,am+an=am+n.例如(1)易错解为x3·x3=x9;(2)易错解为a6+a6=a12;(3)易错解为a·a4=a4,而(1)中3和3应相加；(2)是合并同类项；(3)也是易忽略的地方，把a的指数1看成0.
解：(1)x3·x3=x3+3=x6;(2)a6+a6=2a6;(3)a·a4=a1+4=a5
二、在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.
(a－b)=－(b－a)
(a－b)2=(b－a)2
(a－b)3=－(b－a)3
(a－b)2n－1=－(b－a)2n－1(n为正整数)
(a－b)2n=(b－a)2n(n为正整数)
2 / 2●备课资料
有趣的“3x+1问题”
现有两个代数式：3x+1 ①
x ②
如果随意给出一个正整数x,那么我们都可以根据代数式①或②求出一个对应值.我们约定：若正整数x为奇数，我们就根据①式求出对应值；若正整数x为偶数，我们就根据②式求出对应值.例如，根据这种规则，若取正整数x为18(偶数)，则由②式求得对应值为9；而9是奇数，由①式求得对应值为28；同样正整数28(偶数)对应14……我们感兴趣的是，从某一个正整数出发，不断地这样对应下去，会是一个什么样的结果呢？也许这是一个非常吸引人的数学游戏.
下面我们以正整数18为例，不断地做下去，如a所示，最后竟出现了一个循环：4，2，1，4，2，1…
再取一个奇数试试看，比如取x为21，如b所示，结果是一样的——仍然是一个同样的循环.
大家可以随意再取一些正整数试一试，结果一定同样奇妙——最后总是落入4，2，1的“黑洞”，有人把这个游戏称为“3x+1问题”.
是不是从所有的正整数出发，最后都落入4，2，1的“黑洞”中呢？有人借助计算机试遍了从1到7×10的所有正整数，结果都是成立的.
遗憾的是，这个结论至今还没有人给出数学证明(因为“验证”得再多，也是有限多个，不可能把正整数全部“验证”完毕).这种现象是否可以推广到整数范围？大家不妨取几个负整数或0再试一试.
1 / 1整式的加减法
问题1： 已知-5am+1b2n-1c与a2m-1b2cp+1是同类项，求m，n和p的值，并写出这两个同类项．
问题2： 如图所示，由三个边长分别为a，b，c的正方体粘合成的模型，要在它的表面涂上油漆，试用代数式表示这个模型的表面积。
问题3： 如图是由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由n个正方形组成。用n表示第n个图形中火柴棒的根数。
参考答案
问题1：分析： 根据同类项的定义可列出三个方程，分别求出m，n和p．
答案：因为-5am+1b2n-1c和a2m-1b2cp+1是同类项，所以
m+1=2m-1，2n-1=2，p+1=1．
分别解这三个方程．得m=2. n= . p=0．
-5am+1b2n-1c=-5a3b2c，a2m-1b2cp+1=a3b2c．
问题2： 5a+4b+b-a+5c+c-b=4a+4b+6c
问题3： 3n+1
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