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高考考查导数的五大热点问题
马兴奎
云南省文山州砚山一中，663100
导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。本文以2008年高考试题为例，谈谈高考考查导数的热点问题，供鉴赏。
一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。
【例1】（2008年，全国I卷）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
【分析及解】（Ⅰ）∵ ，导函数是二次函数，开口向上，
，下面讨论方程根的情况。分，，来讨论。
①：，即，或时，方程有两个不同实根，，
当或时， ， 当时，，∴在，上为增函数，在上为减函数。
②，即时，则对所有都有，故此时在上为增函数
③，即时，则对所有且都有，故此时在上为增函数
综上知：当时，在上为增函数，当，或时，
在，上为增函数，在上为减函数。
（Ⅱ）本问把函数思想与数形结合思想结合起来，可获得简单的解法，即
若函数在区间内是减函数，则说明对任意恒成立，转化为一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，结合二次函数图象，只需两根在区间外即可， 即只需
即解之得满足条件，所以实数的取值范围是．
二、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，极值点、最值等问题，这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题。解决极值，极值点问题转化为研究函数的单调性；参数的取值范围转化为解不等式的问题；有时需要借助于方程的理论来解决。从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想。
【例2】（2008年，陕西卷）已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值M和极小值m，并求时k的取值范围.
【分析及解】（I）∵是函数的一个极值点，
∴即得∵ ∴由此可知 ，
，即，由此方程的一个根为，另一个根由韦达定理容易计算为或
∴函数的另一个极值点为（或）
（II）由（I）知，现画一个函数图帮助理解，
∵且，则图象如图所示，
∴或，
1 当，即时，当或时，当时，上是增函数，在上是减函数，
∴，
又，∴，即，解之得满足。
②当，即时，当或时，当时，∴上是减函数，在上是增函数，
∴，又，∴，
即，解之得或，结合，∴
综上可知，所求k的取值范围为
三、、函数，导数，方程，不等式综合在一起，利用导数的几何意义，解决求函数的解析式、参数值、极值、切线方程，单调性及切线方程有关的问题，此类问题求单调性的过程就是解一元二次不等式和高次不等式的问题。从而达到考查化归与转化的数学思想。
【例3】（2008年，重庆卷）设函数曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间.
【分析及解】（Ⅰ）由已知，即
∵，依题意，即，∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
故当时，取得最小值－.
此时有从而，
，
所以，令，
解之得，当或时，，从而在，上为减函数，当时，，从而在上为增函数，
由此可见，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为
四、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，最值等问题。求极值的过程就是讨论函数单调性及解含参数的不等式问题；通过构造函数，以导数为工具，证明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。
【例4】（2008年，山东卷）已知函数为常数.
（Ⅰ）当n=2时，求函数的极值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当时，有
【分析及解】（Ⅰ）定义域为，当时，
∴
① 当时，，∵，∴恒成立，即在上恒成立，故在上为减函数，∴无极值。
②当时，由得，判别式，∴不等式对恒成立，从而在上恒成立，故在上为减函数，∴也无极值。
③当a>0时，由，即，判别式，∴方程有两个不同实根，解之得：
又时，恒成立，∴当时，，当时，
，故在上为减函数，故在上为增函数，
∴在处有极小值为
综上所述，n=2时，当a>0时，在处取得极小值，极小值为当a≤0时，无极值.
（Ⅱ）证明：当时，
当时，对任意的正整数n，恒有，∴
故只需证明即可，下面直接作差构造函数证明：
令
则当时，故在上单调递增，
因此　当时，，即成立.
故当时，　有　，即
五、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决求参数值、单调性问题；用导数探讨函数图像的交点，从而达到求解参数的取值范围和解决有关证明问题，常常借助极值的分布特征，再结合函数单调性，函数的零点值、端点值，画出原函数的草图来解决。值得强调的是：必须考虑函数的定义域，从而达到考查数形结合的思想。
【例5】（2008年，四川卷）已知的一个极值点.
（I）求a的值；
（II）求函数的单调区间；
（III）当直线的图象有3个交点，求b的取值范围.
【分析及解】（Ⅰ），∵是函数的一个极值点，
∴，即，因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，定义域为
，∵，∴恒成立，
∴当或时，，当时，，
从而在，上为增函数，在上为减函数。
∴的单调增区间为，，单调减区间为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为
下面画出原函数的草图：
由图可知：在的三个单调区间内，直线与的图象各有一个交点，当且仅当，因此，的取值范围为。
通过以上分析可知：对于这部分知识的学习，要认识到新课程中增加了导数内容，在学习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率，解决函数的单调性，极值等方面的作用，要全面学习，抓住导数基础知识学习．注意考题的难度逐年增大，要有意识地与解析几何(特别是切线,最值)，函数的单调性，函数的极值，最值，二次函数，方程、不等式、代数式的证明等知识进行交汇进行综合训练，特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题进行训练，提高应用导数知识分析问题和解决问题的能力。
3
1
y=b
y
x
O
1
k
c
O
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