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让数学课堂教学插上探究的翅膀
[摘要]：探究式课堂教学是以探究为基本特征的一种教学活动形式，符合教学改革的实际，能使班级教学焕发出生机勃勃的活力。本文从九个方面论述了如何在课堂教学中开展探究式教学。
[关键词]：探究 知识与技能 数学思想和方法
所谓探究式教学，就是以探究为主的教学。具体说它是指教学过程是在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式。探究式课堂教学特别重视开发学生的智力，发展学生的创造性思维，培养自学能力，力图通过自我探究引导学生学会学习和掌握科学方法，为终身学习和工作奠定基础。教师作为探究式课堂教学的导师，其任务是调动学生的积极性，促使他们自己去获取知识、发展能力，做到自己能发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；与此同时，教师还要为学生的学习设置探究的情境，建立探究的氛围，促进探究的开展，把握探究的深度，评价探究的成败。学生作为探究式课堂教学的主人，自然是根据教师提供的条件，明确探究的目标，思考探究的问题，掌握探究的方法，敞开探究的思路，交流探究的内容，总结探究的结果。由此可知，探究式课堂教学是教师和学生双方都参与的活动，他们都将以导师和主人的双重身份进人探究式课堂。
1、在概念的教学中体验知识的形成过程，进行探究性学习
概念的形成有一个从具体到表象到抽象的过程，学生获得概念的过程，是一个抽象概括的过程。对抽象数学概念的教学，更要关注概念的实际背景与形成过程，让学生体验一些熟知的实例，克服机械记忆概念的学习方式，经历知识的形成过程。比如函数概念，学生很难理解课本中给出的定义，教学中不能让学生死记硬背定义，也不应只关注对其表达式、定义域、值域的讨论，而应选取具体事例，使学生体会函数能够反映实际事物的变化规律。如先让学生指出下列问题中哪些是变量，它们之间的关系用什么方式表达：①火车的速度是每小时60千米，在t小时内行过的路程是s千米；②用表格给出的某水库的存水量与水深；③等腰三角形的顶角与一个底角；④由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻。（①②④均为教材例子）然后让学生反复比较，得出各例中两个变量的本质属性：一个变量每取一个确定的值，另一个变量也相应地唯一确定一个值。再让学生自己举出函数的实例，辨别真假例子，抽象、概括出函数定义，至此学生能体会到函数“变”，但变化规律如何？教师要继续引导探究实际事例（如上例④），指导学生开展以下活动：①描点：根据表中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点。②判断：判断各点的位置是否在同一直线上。③求解：在判断出这些点在同一直线上的情况下，由“两点确定一条直线”，求出一次函数的表达式。④验证：其余各点是否满足所求的一次函数表达式。
2、在定理、法则的发现中进行探究性学习
著名教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个探索者、发现者、研究者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”在数学教育的各个环节，教师都不应当教现成的知识和方法而是安排一系列的数学活动，引导学生亲历知识的生长过程。由他们通过探索、反思、修改、完善，经历曲折和反复，最终得出定理和法则。如圆周角定理的教学，教师可以引导学生画图（1）：问都是弧所对圆周角和圆心角，两者的大小如何？学生用量角器测量后，交流发现，引导学生猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
合作探究：
从实验中得出的判断是否正确还需验证。学生把命题改成已知求证并画图。学生画图往往只画一种，教师让学生在黑板上画图并让其他学生补充后再证明。
3、联系生活创设情境，引导探究
探究性学习的过程是一个不断超越现实创新的过程。因此，教师在教学时应创设问题情境，激发学生想成为探索者、发现者、研究者的动机，鼓励学生超越自我、超越同学、超越老师。托尔斯太说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。” 根据中学生的心理特点，教师在教学中要想尽方法激发学生的求知欲望使学生在愉悦的气氛中学习。
如圆周角（二）中，对于例三讲解前，我们可以用以下的引例：
如图（2）在中超足球联赛上，上海申花与大连实德在拼抢中，申花队三名球员带球冲到对方门前，甲乙、丙分别在A、B、C三个位置且都有机会射门，如不考虑其他因素，如果你是教练，从射门的角度看，你认为哪一位球员射门更好？足球是大家熟知和喜爱的运动，此问题一出，学生表现出非常强烈的兴趣，都想解决这个问题。
心理学研究表明：“认知矛盾是动机的根源。”课堂上，教师创设认知不协调的问题情境，以激起学生研究问题的动机，通过探索，消除剧烈矛盾，获得积极的心理满足。创设问题情境应注意要小而具体、新颖有趣、有启发性，同时又有适当的难度。教师要善于将所要解决的课题寓于学生实际掌握的知识基础之中，造成心理上的悬念，把问题作为教学过程的出发点，以问题情境激发学生的积极性，让学生在迫切要求下学习。例如，在对“等腰三角形的判定”进行教学设计时，教师可以通过具体问题的解决创设出如下诱人的问题情境：
如图（3）,△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下了一条底边BC和一个底角 ∠C，请问，
有没有办法把原来的等腰三角形重新画出来？学生先画出
残余图形并思索着如何画出被墨水涂没的部分。各种画法
出现了，有的学生是先量出∠C的度数，再以BC为一边，B点为顶点作∠B=∠C， B与 C的边相交得顶点A；也有的是取BC中点D，过D点作BC的垂线，与∠C的一边相交得顶点A，这些画法的正确性要用“判定定理”来判定，而这正是要学的课题。于是教师便抓住“所画的三角形一定是等腰三角形吗？”引出课题，再引导学生分析画法的实质，并用几何语言概括出这个实质，即“△ABC中,若∠B=∠C，则AB=AC”。这样，就由学生自己从问题出发获得了判定定理。接着，再引导学生根据上述实际问题的启示思考证明方法。
4、挖掘课本例题，引导学生探究
在对“三角形的中位线”的教学时，
例 如图（4），已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别时AB，BC，CD，DA的中点求
证：四边形EFGH是平行四边形（至少用两种方法）
变式一：顺次连结以下四边形的四条边的中点，所得的是什么四边形？①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤梯形⑥直角梯形⑦等腰梯形
从中你能发现什么规律？，得到怎样的n边形？（分正n边形和一般的n边形两种情况说明）
探究二：顺次连结n(n3)边形的各边中点
探究三：分析该题添加辅助线的方法，从中你受到什么启发？能否得出在中点条件下添加辅助线的一些规律？
5、对数量关系、变化规律的探究
代数中的很多内容充满了用来表达各种数学规律的模型，如代数式、方程、函数、不等式等，教师要引导学生进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，探索事物的数量关系、变化规律。如完成下列计算：
比较下面各组算式的大小（在横线上选填“＜”、“＞”、“＝”）
(1)　　
(2)　　
(3)　　
(4)　　
从上面这些算式中你能发现什么？请用代数式来表示这个规律，并加以证明。让学生观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律），提出猜想的过程。教学中不仅关注学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了深入思考。如果有的学生不能独立发现其中的规律，教师要鼓励学生相互讨论，合作交流，进一步探索，教师也可适当提示，左边是两个数的平方和，右边是两个数乘积的两倍，联想到什么？
对于证明的关系，引导学生若把移到左边是什么，是什么数
把学生不熟悉的东西引到熟知的知识点上，该问题也就迎刃而解了。
6、数学问题在实际应用中的探究
《课程标准》中明确指出：＂让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等各方面得到进步与发展＂。因此，我们应引导学生通过实际背景材料，运用已有的数学知识，进行观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和归纳，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型。
如在学习了轴对称后，可让学生试一试：
1、如图（5），A、B是两个村庄，都在河流L的同旁，要在河边建一个水厂将水送到A、B两村，问该厂建在河边哪一点，可使所铺的自来水管最短，试在图中画出该点。（不写作法，但要保留作图痕迹。）
2、 同上题图（6），若A、B两村到河边的距离分别是AC=1公里，BD=3公里，CD=3公里，现要在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每公里20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用。
7、让复习课也充满“探究性”
复习课最难上。”这是许多数学教师经常发出的感叹。复习课既不象新授课那样有“新鲜感”，又不象练习课那样有“成功感”，复习课担负着查缺补漏、系统整理以及巩固发展的重任。当今，探究性学习方式的优势已得到广大教师的普遍认同，那么，我们如何也让复习课充满“探究性”呢？
在初一几何复习中，在教学生数线段时，可提问：1线段AB上有一个分点C时，图中有几条线段？3条（2+1）
再增加一个分点D后，图中有几条线段？（3+2+1）
再增加一个分点F后，图中有几条线段？（4+3+2+1）
把线段AB上增加到100个分点时，图中有几条线段？
学生合作讨论后，归纳得出规律：101+100+99+……+2+1
线段AB上增加n个分点时，（n+1）+n+……+2+1
讲完这个规律，让学生思考以下问题：
1、温州到杭州的火车途经青田、缙云、丽水、武义、永康、金华、义务、浦江、诸暨、萧山，假设任两站之间的票价不同，问一共有多少种不同的票价？
（2）图中共有几个角？（图7）
（3）图中的三角形有几个？（图8）
（4）图中的长方形有几个？（图9）
学生按由简单到复杂的顺序进行探究，最终他们自己发现计算三角形与长方形个数，都与计算线段条数有关，且方法类似。
8、开展第二课堂，进行探究活动
课堂内的45分钟是非常短的，受时间和范围的限制，我们无法进行大型的教学活动。但是，有了第二课堂这些不足我们都能解决。
在讲“一次函数的应用”这一课时，我选择了手机话费用这一日常生活中很普遍的现象作为一次函数应用的例子。课前，我就布置给学生任务：到电信局或移动电话入网点调查手机话费的问题，并解决一个问题：小周买了一部手机想入网，小周的亲戚朋友都在本地，请问小周该选哪一家入网才算最合算？教师组织学生利用双休日或节假日，到附近电信局或移动电话入网点收集资料，记录各种网名的月租费及基本通话费，通过小组合作讨论交流，然后在课堂上进行汇总交流，使学生既学到了知识，又解决了实际问题。充分体现了学数学用数学的宗旨，使学生能用数学知识解决日常生活问题，在学习中体会到了成功。
又如学习了多边形内角和定理后，让学生利用一种或几种地砖，设计一幅美丽的地板图案。学校建了新校舍，要在长100米，宽80米的矩形空地上建造一个花园，要求绿化面积是空地的一半，请为学校展示你的设计。
这些例子很多，不同水平的学生都可以参与，充分发挥自己的想象力和水平，按照自己的思考设计方案，真正做到自主创新，实施素质教育。数学教学能真正体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展
9、通过多媒体与实验相结合，创设情境，引导探究
在现今的教育和教学过程中，多媒体作为一种现代化的教学手段，已得到广泛运用。如果仍是一支粉笔一本书，把知识“奉给”学生，是提不起学生的兴趣的。随着现代教育媒体的不断创新，老师要熟练掌握操作投影、电脑、录像、多媒体等各种教学用具。利用多媒体进行辅助教学，将枯燥的数学教学富于情景之中，很轻松地将学生带入数学领域 ，达到趣味性与知识性的高度统一，从而激发学生的兴趣，吸引学生积极思考问题，自觉的探究。例如：勾股定理是几何中最重要定理之一，它把形的特征转化为数量关系（c2=a2+b2），它把数与形密切联系起来。而利用《几何画板》可以使数形结合得更加突出，使学生对勾股定理有更深的理解，从而充分培养了学生的创造性思维。我们可以利用《几何画板》开发这样一个课件，以直角三角形的每条边向外做三个正方形。测算并显示出这三个正方形的面积，然后在直角不变的情况下，变换这个直角形的三条边长，这时这三个正方形面积的读数也随之变化（图1）。同样根据《几何画板》的动态性特点可以发现：在不断变化的数据中的不变的几何关系，即两个直角边的平方和等于斜边的平方。此基础上，再介绍勾股定理的面积法，学生就不感到突然了，而且激发了他们学习数学的兴趣。　
又如学习了多边形内角和定理后，让学生利用一种或几种地砖，设计一幅美丽的地板图案。学校建了新校舍，要在长100米，宽80米的矩形空地上建造一个花园，要求绿化面积是空地的一半，请为学校展示你的设计。学生在电脑上尽情的施展他们的才华，设计出许多优秀的作品。这不仅让学生学到了知识，同时也体会到了创作的乐趣和成功的喜悦。
笔者相信，随着“课改”的深入开展，数学探究性教学必将成为数学“课改”实验教学中的一朵奇葩，愿更多的同行作进一步的研究。
参考资料：
1、张志远《初中数学课堂教学》湖南教育出版社 2000，11
2、郑松茹《数学新教材探究性教学的实践与认识》中学数学 2004、7
图（2）
B
A
D
C
图（9）
图（8）
图（7）
图（6）
图（4）
图（3）

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