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高中学数学思维障碍的思考 临淮中学：丁军武
【摘 要】高中学生数学思维存在障碍，对高中学生数学成绩的提高有很大的阻碍作用。为了提高高中数学教学的针对性和实效性，本文结合教学中的具体实例作深入地剖析，以起到抛砖引玉的作用。
【关键词】数学 数学思维障碍 成因 对策
思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓而数学是科学最基础的学科，“是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，具有很强的概括性、抽象性和逻辑性”，是中小学教育必不可少的学科，对发展学生智力，培养学生能力，“特别是在培养人的思维方面，具有其它任何一门学科都无法替代的特殊功能”。而高中学生数学思维，是指学生在对高中数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握高中数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对高中数学知识本质和规律的认识能力。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，就是自己解题时，总感到困难重重，无从入手。有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异。也就是说，这时候学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于教学中的疏漏，而更多的则来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。
(一)高中学生数学思维障碍的形成原因初探
根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程。在这个过程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存。也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”。这样新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的“媒介点”时，这些新知识就会被排斥或经“校正”后吸收。因此，如果教师的教学脱离学生的实际，如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利“交接”，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。
(二)高中数学思维障碍的具体表现
由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别。所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：
1.数学思维的片面性
由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻地去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念。而任何一个数学概念都是内涵和外延的统一，学习概念，一方面要理解概念的内涵，同时也要明确概念的外延。所谓外延，即概念所涉及的范围和条件。实践告诉我们，学生弄清概念的内涵和外延是深化对概念的理解，正确运用数学概念解决实际问题的前提条件。如果概念的内涵或外涵不清楚，无形之中就会缩小或扩大概念的使用范围，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质，造成这样那样的错误。
由此而产生的后果：(1)学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如见到|a|≤1，|b|≤1，就通过三角代换来解决（设a=cosα，b=sinα），理由是|a|≤1，|b|≤1，而不管这两个毫不相干的量a、b有没有建立了具体的联系。(2)缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。例：解不等式|x-3|+|x+4|<5，只想着分段讨论，不会把它转化为数轴上数x对应的点到3和-4对应的点的距离来解。
2.数学思维的差异性
由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x＋2y=1，求是否2x＋2y的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易产生错误。还有学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。如函数y=f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)对任意实数x都成立，证明函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称。对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做(主要反映写不清楚)，我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数，反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。
3.数学思维定势的消极性
由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态。从反面说，这种思维定势对推理能力的发展和提高也具有一定的阻碍作用。在这种思维定势的作用下，往往自觉或不自觉地认为某种知识的应用范围是定向的，解决问题的方法是定型的。因此，在面对新的问题情境时，往往跳不出原有的框架，从而阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如：求lgcot1°、lgcot2°、lgcot3°……lgcot89°?
凭直觉我们可以从问题的结构中去寻求规律性，但这显然是知识经验所产生的负迁移。这种思维定势的干扰表现为思维的呆板性，而深刻地观察，细致地分析，克服了这种思维的弊端，形成自己有创见的思维模式。在这里，我们可以引导学生深入观察，发现题中所显示的规律只是一种迷惑人的假象，并不能帮助解题，突破这种定势的干扰，最终发现出题中的隐含条件lgcot45°=0这个关键点，从而能迅速得出答案。由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。
4.思维习惯上的单向性
由于每个学生的数学基础不尽相同，部分学生解题都是从已知出发的单向思维，这也会给解题过程带来不同的思维障碍。其实，逆向思维在数学教材中可谓无所不在，运算与逆运算，函数与反函数，分析与综合，顺证与反证都为逆向思维的培养提供了丰富的材料，因而对逆向思维的培养要贯穿于教学过程中。例：100个人站成一行，自1起报数，凡报奇数者离队，留下的再次自1起报数，凡报奇数者又离队，这样反复下去，最后留下一个人，问这个人第一次报数为多少？
解法探求：若按问题原程序，第一轮报数后划掉被淘汰者，第二轮报数后又划掉被淘汰者，如此下去要不了几轮就被搅乱了阵线。现逆转程序思考，最后被留者在倒数第1轮必2，在倒数第2轮必4，在倒数第3轮必8…，于是极易得出倒推过去此人报的是16，32，64。即第一轮报数64。
所以在正向思维受阻就应考虑逆向探求，正难则反。在数学中我们要首先重视正向思维的训练，同时要加强逆向思维的训练。在解题训练中培养学生双向思维的意识，有利于解题思路的开拓。
(三)高中学生数学思维障碍的对策
1.因材施教
在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种“跳一跳，就能摸到桃”的感觉，提高学生学好高中数学的信心。
2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识
数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价。数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做。至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理。有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性，熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2＋y2＝25，求u=的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形：转而构造几何图形容易求得u∈\[6，6\]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。
3.诱导学生暴露其原有的思维框架，消除思维定势的消极作用
在高中数学教学中，我们不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是我们的教学活动中相当重要的一部分。而诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、推论等对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。
例如：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问题，为此我们可设计如下问题：判断函数在区间\[2—6，2a\]上的奇偶性。不少学生由f（-x）=-f（x）立即得到f（x）为奇函数。教师设问：①区间\[2—6，2a\]有什么意义？②y=x2一定是偶函数吗？通过对这两个问题的思考学生意识到函数只有在a=2或a=1即定义域关于原点对称时才是奇函数。
使学生暴露观点的方法很多。例如，教师可以与学生谈心的方法，可以用精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论，这样学生的印象特别深刻。而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定势在解题中的影响。当然，为了消除学生在思维活动中只会“按部就班”的倾向，在教学中还应鼓励学生进行求异思维活动，培养学生善于思考、独立思考的方法，不满足于用常规方法取得正确答案，而是多尝试、探索最简单、最好的方法解决问题的习惯。发展思维的创造性也是突破学生思维障碍的一条有效途径。
当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中学生数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中学生的整体素质作出我们数学教师应有的贡献。
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