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3.1 圆
第三章 圆
如图，一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标都是图中的花瓶. 如果他们呈“一”字排开，这样的队形对每个人都公平吗 你认为他们应当排成什么样的队形才公平
·
r
O
A
问题 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
1
探究圆的概念
合作探究
圆的定义
平面上，一条线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 形成的图形叫做圆．
以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”.
知识回顾
O
r
A
·
圆心
半径
问题1：(1) 圆上各点到定点(圆心 O )的距离有什么特点？(2) 到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
O
r
A
·
圆上各点到定点(圆心 O )的距离都等于定长(半径 r )；
O
r
A
·
到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上.
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
在目标周围围成一个圆排队，
因为圆上各点到圆心的
距离都等于半径.
问题2：现在你能回答本课最开始的问题了吗？
问题3：观察下图，刚才的投圈游戏设计中，已经站了4 人同时游戏，还可以站更多的人吗？站在哪里？
可以，站在以 O 点为圆心的圆上.
追问1 在公平游戏的前提下，花瓶不动，平面有多少个点可供站位游戏？
O
无数个.
追问2 这些站位点的都满足什么关系？
到花瓶的距离相等.
11111
圆的集合定义
圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
追问3 我们曾经学习过点动成线，那么圆作为曲线，是由怎样特性的点形成的呢？
O
一是圆心，确定其位置；二是半径，确定其大小．
确定一个圆的要素
典例精析
例1 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：A、B、C、D 四个点在以 O 为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = OC，OB = OD.
又∵ AC = BD，
∴ OA = OB = OC = OD.
∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心， OA 为半径的圆上.
圆的有关概念
2
探究一 连接圆上任意两点，尝试画出不同的线段.说说这些线段有什么区别？
部分过圆心...
有最长的线段...
总结
·
C
O
A
B
弦：连接圆上任意两点的______.
例如：AB、AC.
直径：经过_______的______. 例如：AB.
直径是_____的弦.
线段
圆心
弦
最长
半径是否是弦？
知识要点
探究二 用弦将圆分成两部分，请动手画画有几种情况.
A
B
B
A
弦将圆分成两个______的圆弧.
直径将圆分成两个____的圆弧.
相等
不相等
合作探究
总结
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
·
C
O
A
B
知识要点
总结
优弧：大于半圆的弧，例 .
劣弧：小于半圆的弧，例 .
·
C
O
A
B
探究三 已知 r = 5cm，请分别画两个圆，绘制过程中观察两个圆是否能够重合.
重合
总结
等圆：能够完全重合的两个圆.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
合作探究
不可能完全重合，
这两条弧弯曲程度不同.
“等弧”≠“长度相等的弧”
如图，如果 AB 和 CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
︵
︵
D
C
A
B
想一想：长度相等的弧是等弧吗？
独立思考
例2 如图，回答下列问题：
(1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧；
(2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径；
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 是直径.
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 .
典例精析
3
点和圆的位置关系
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，
点在圆外.
问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？
问题3 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
总结
点 P 在⊙O 内
点 P 在⊙O 上
点 P 在⊙O 外
d＜r
d = r
d＞r
设⊙O 的半径为 r，点到圆心的距离 OP = d ，则有：
符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”的左右两端可以互相推出.
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
设 AB = 3 cm，画图说明满足下列要求的图形：
(1) 到点 A 和点 B 的距离都等于 2 cm 的所有点组成的图形.
(2) 到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形.
做一做
P
Q
P
Q
1.(青海 )点 P 是非圆上一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则⊙O的半径是_____________cm.
① 点在圆内
② 点在圆外
6.5 或 2.5
链接中考
圆
定义
旋转定义
要画一个确定的圆，关键是
确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
有关
概念
弦（直径）
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
同心圆
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧
点与圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
1. 填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以 A 为一个端点的优弧有 条，劣弧
有 条．
直径
半径
一
二
四
四
A
B
C
D
O
F
E
2. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A .
上
外
上
3. ⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，则点 P 与 ⊙O 的位置关系为 （ ）
A. 在⊙O 内 B. 在⊙O 上
C. 在⊙O 外 D. 在⊙O 上或⊙O 外
B

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