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2024学年北师大版六下数学学霸速记巧练1：圆柱与圆锥（知识清单）
知识点一：面的旋转
1、点动成线，线动成面，面动成体。
2、将一个长方形以长(宽)为轴，快速旋转后可以形成一个圆柱。
圆柱有两个底面和一个侧面，两个底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，圆柱有无数条高，所有的高都相等。
3、将一个直角三角形沿一条直角边快速旋转，会形成一个圆锥。
圆锥的底面是一个圆，圆锥的侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。
面的形状不同，快速旋转后形成的立体图形也不同。
【典例一】下面的图形中，分别以虚线为轴旋转，可以形成圆柱的是（ ）。
A． B． C． D．
【分析】以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周所形成的几何体就是圆柱，据此解答。
【详解】A.以虚线为轴旋转，不可以形成圆柱；
B．以虚线为轴旋转，可以形成圆柱；
C．以虚线为轴旋转，不可以形成圆柱；
D．以虚线为轴旋转，可以形成圆锥体。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查圆柱的认识，掌握圆柱的特征是解答题目的关键。
【变式训练01】一个直角三角形，两条直角边分别为3厘米、4厘米，以它的任意一条直角边为轴旋转一周成（ ）。
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥
【分析】根据圆锥的特征：以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到的几何体是圆锥体；据此解答。
【详解】根据分析可知，一个直角三角形，两条直角边分别为3厘米、4厘米，以它的任意一条直角边为轴旋转一周成圆锥。
故答案为：D
【点睛】利用圆锥的特征进行解答。
【变式训练02】如图，过圆柱的底面直径把圆柱切割成两个相等的半圆柱（底面直径是8cm，高是10cm），截面是一个（ ）形，截面的面积是（ ）cm2。
【分析】由题意得截面是长10cm、宽8cm的长方形，面积是（8×10）平方厘米。
【详解】8×10＝80（cm2）
截面是一个长方形，截面的面积是80cm2。
【点睛】此题主要考查圆柱的特征和长方形面积公式的应用。
【变式训练03】用彩带捆扎一个圆柱形蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去彩带28厘米。捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带多少厘米？合多少米？
【分析】由图可知：所用彩带的长＝圆柱直径×8＋高×8＋打结处的长度，代入数据计算即可。
【详解】40×8＋15×8＋28
＝320＋120＋28
＝468（厘米）
468厘米＝4.68米
答：捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带468厘米，合4.68米。
【点睛】本题主要考查圆柱的特征，明确有几条直径、几条高是解题的关键。
知识点二：圆柱的表面积
1、圆柱的侧面积。
圆柱的侧面如果沿高剪开得到一个长方形。
长方形的长就是圆柱的底面的周长，长方形的宽就是圆柱的高。
圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示:S侧=Ch
圆柱侧面积公式的应用分为以下几种情况：已知底面周长和高，求侧面积，S侧=Ch；已知底面直径和高，求侧面积，S侧=πdh；已知底面半径和高，求侧面积，S侧=2πrh
2、圆柱的表面积。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积
圆柱的表面积公式：S表=2πr +2πrh。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积（S表=S侧+2S底）；
圆柱的底面积=圆的面积，也就是S底=πr 。
不同的圆柱形实物，它们的表面积也不相同。比如圆柱形烟囱的表面积等于烟囱的侧面积，圆柱形水桶的表面积就是水桶的侧面积加上一个底面积。
【典例一】一个圆柱的高是8厘米，如果将它的高缩短2厘米，那么表面积比原来减少了12.56平方厘米，原来这个圆柱的表面积是（ ）平方厘米。
A．81.64 B．62.8 C．50.24 D．56.52
【分析】根据题意可知，把这个圆柱的高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，表面积减少的是高为2厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出圆柱的底面周长，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。
【详解】12.56÷2÷3.14÷2
＝6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（厘米）
3.14×12×2＋3.14×1×2×8
＝3.14×1×2＋3.14×2×8
＝3.14×2＋6.28×8
＝6.28＋50.24
＝56.52（平方厘米）
一个圆柱的高是8厘米，如果将它的高缩短2厘米，那么表面积比原来减少了12.56平方厘米，原来这个圆柱的表面积是56.52平方厘米。
故答案为：D
【点睛】本题考查圆柱的侧面积公式和表面积公式以及圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【变式训练01】如下图是一个圆柱形茶叶罐，底面半径是3cm，高是15cm。给这个茶叶罐侧面贴上商标纸，高度如图所示，至少需要( )的商标纸。

【分析】由题意可知：商标纸的面积等于底面半径是3cm，高是10cm的圆柱的侧面积，将数据代入圆柱的侧面积公式：S＝2πrh计算即可。
【详解】3.14×3×2×10
＝9.42×2×10
＝18.84×10
＝188.4（cm2）
即至少需要188.4的商标纸。
【点睛】本题主要考查圆柱的侧面积公式的灵活运用。
【变式训练02】要想富，先修路，某村最近正在积极修建公路。一台压路机正在施工，压路机的滚筒是一个圆柱形，它的横截面周长是3.14米，长是1.5米，每滚一周能压多大的路面？如果转100周，压过的路面有多大？
【分析】压路的面积等于这个圆柱的侧面积，横截面周长×长＝滚一周压路面积的大小。转100周压过的路面＝滚一周压路面积×100；据此列式解答。
【详解】3.14×1.5＝4.71（平方米）
4.71×100＝471（平方米）
答：每滚一周能压4.71平方米的路面，如果转100周，压过的路面为471平方米。
【变式训练03】一根长2米的圆柱木料，横着截去2分米，剩下的圆柱体的木料表面积比原来减少了12.56平方分米，原来圆柱体的表面积是多少平方分米？
【分析】由题意知，截去的部分是一个高为2分米的圆柱体，并且表面积减少了12.56平方分米，其实减少的面积就是截去部分的侧面积，由此可求出圆柱体的底面周长，进一步可求出底面积是多少，利用表面积＝底面积×2＋底面周长×高，即可求出这个圆柱的表面积。
【详解】底面周长：12.56÷2＝6.28（分米）
底面半径：6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（分米）
底面积：3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方分米）
2米＝20分米
表面积：6.28×20＋3.14×2
＝125.6＋6.28
＝131.88（平方分米）
答：原来圆柱体的表面积是131.88平方分米。
【点睛】解答此题要注意两点：一是沿长截去一段后，表面积减少的部分就是截去部分的侧面积；二是要统一单位。
知识点三：圆柱的体积
1、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。
2、圆柱的体积的计算公式。
圆柱的体积=底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh,用字母表示：V=S×h。
3、圆柱体积公式的应用。
圆柱的体积=底面积×高。
①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。
②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
4、圆柱形容器的容积。
圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。
5、不规则物体的体积。
计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。
【典例一】一个圆柱，如果高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，体积减少，这个圆柱原来的体积是（ ）立方厘米。
A．251.2 B．125.6 C．94.2 D．62.8
【分析】根据题干，高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，减少部分就是高2厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积公式即可求得这个柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。
【详解】圆柱的底面半径为：
25.12÷2÷3.14÷2
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
减少部分的体积为：
3.14×22×2
＝3.14×4×2
＝12.26×2
＝25.12（立方厘米）
原来圆柱的体积为：
25.12÷＝125.6（立方厘米）
这个圆柱原来的体积为125.6立方厘米。
故答案为：B
【点睛】抓住高减少2厘米时，表面积减少25.12平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。
【变式训练01】把一根3米长的圆柱形木头平均截成3个小圆柱，表面积增加了12.56平方分米，这根木头的体积是( )立方分米。
【分析】把一根圆柱形木头平均截成3个小圆柱，要截2次，表面积比原来增加（2×2）个横截面的面积，据此用（12.56÷4）即可求出横截面的面积，就是圆柱的底面积，再根据“圆柱的体积公式V＝sh”进行计算即可。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
3米＝30分米
12.56÷4×30
＝3.14×30
＝94.2（立方分米）
即这根木头的体积是94.2立方分米。
【变式训练02】人民大会堂壮观巍峨，建筑平面呈“山”字形，两翼略低，中部稍高，四面开门。人民大会堂正门面对天安门广场，正门门额上镶嵌着中华人民共和国国徽，正门迎面有十二根浅灰色大理石门柱，正门柱每根直径2米，高25米。建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米？
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出1根大理石门柱所用石材的体积，再乘12即可求出建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米。
【详解】3.14×（2÷2）2×25×12
＝3.14×12×25×12
＝3.14×1×25×12
＝3.14×25×12
＝78.5×12
＝942（立方米）
答：建造这十二根大理石门柱共用石材942立方米。
【变式训练03】做一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。（单位：分米）
（1）你选择的是（ ）和（ ）搭配使用。（填序号）
（2）你选择的材料制成水桶需要铁皮多少平方分米？
（3）你选择的材料制成的水桶最多能装水多少升？（铁皮的厚度略去不计）
【分析】（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长，与之相配的是②号和③号；
（2）由于水桶无盖，使用只求这个圆柱的一个底面和侧面的总面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S＝ch，把数据代入公式解答；
（3）求水桶的容积就是求底面周长是12.56分米，高是5分米的圆柱的体积。
【详解】（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长，
2号周长是：3.14×4＝12.56（分米）
4号周长是：
2×3.14×3
＝6.28×3
＝18.84（分米）
所以相配的是②号和③号。
（2）3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5
＝3.14×4＋12.56×5
＝12.56＋62.8
＝75.36（平方分米）
答：你选择的材料制成水桶需要铁皮75.36平方分米。
（3）3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝3.14×20
＝62.8（立方分米）
＝62.8（升）
答：你选择的材料制成的水桶最多能装水62.8升。
【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式V＝Sh＝πr2h在实际生活中的应用。
知识点四：圆锥的体积
1、意义：圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。
2、圆锥的体积公式。
一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
圆锥的体积=圆柱的体积×
用字母表示为V=Sh
V=πr2h×
3、求圆锥体积时，方法如下：
（1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。
（2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。
（3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。
【典例一】一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是2∶9。如果圆锥的高是3厘米，那么圆柱的高是（ ）厘米。
A．54 B．13.5 C．9 D．4.5
【分析】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是2∶9；由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是2∶3，根据圆锥高于与圆柱高的比例关系进行解答即可得到答案。
【详解】解：设圆柱和圆锥的底面积为S，圆锥高为h，圆柱的高为H。
圆锥的体积∶圆柱的体积
Sh∶SH＝2∶9
2SH＝3Sh（S一定）
h∶H＝2∶3
所以圆锥与圆柱高的比是2∶3。
圆柱的高：2∶3＝3∶H
2H＝9
2H÷2＝9÷2
H＝4.5
圆柱的高是4.5厘米。
故答案为：D
【点睛】此题主要根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的这一关系，由已知圆锥和圆柱体积的比是2∶9，推导出这个圆锥与圆柱高的比是2∶3；由此解答即可。
【变式训练01】一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，已知圆柱的高是20厘米，底面周长是62.8厘米，那么长方形的长是( )厘米，圆柱的底面直径是( )厘米。这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )。（得数保留一位小数）
【分析】将一个圆柱的侧面展开，得到一个长方形，长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；圆柱的底面直径＝周长÷π；圆柱的侧面积＝底面周长×高；圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；圆柱的体积＝底面积×高；与它等底等高的圆锥的体积＝圆柱的体积×，得数保留一位小数看小数点后面第二位，然后运用“四舍五入”法即可解答。
【详解】由分析可知，长方形的长是62.8厘米，
62.8÷3.14＝20（厘米）
即圆柱的底面直径是20厘米；
62.8×20＝1256（平方厘米）
即这个圆柱的侧面积是1256cm2；
1256＋3.14×（20÷2）2×2
＝1256＋3.14×100×2
＝1256＋314×2
＝1256＋628
＝1884（平方厘米）
即圆柱的表面积是1884cm2；
3.14×（20÷2）2×20
＝3.14×100×20
＝314×20
＝6280（立方厘米）
即圆柱的体积是6280cm3；
6280×≈2093.3（立方厘米）
即与它等底等高的圆锥的体积是2093.3立方厘米。
【变式训练02】一个圆柱形容器，从里面量得底面直径是12厘米，此时水面高度是底面直径的，将一底面直径比圆柱底面直径少的圆锥形钢材放入，待完全浸入水中后，水面上升到16厘米（水没有溢出），圆锥形钢材的高是多少厘米？
【分析】根据题意，首先求出圆柱形容器的水面高度和圆锥钢材的底面直径，圆柱形容器内放入圆锥后，上升部分水的容积等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥钢材的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把数据代入公式解答即可。
【详解】1215（厘米）
12
＝12
6（厘米）
3.14×（12÷2）2×（16－15）
＝3.14×62×1
＝3.14×36×1
＝113.04（立方厘米）
113.04×3÷[3.14×（6÷2）2]
＝339.12÷[3.14×9]
＝339.12÷28.26
＝12（厘米）
答：圆锥形钢材的高是12厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【变式训练03】测量与计算。
有一顶圆锥帐篷，底面直径约6米，高约3.6米。（取3.14）
（1）它的占地面积约是多少平方米？
（2）它内部的空间约是多少立方米？
【分析】（1）半径＝直径÷2，据此求出该底面半径，根据圆的面积公式：S＝r2，将数值代入求出占地面积；
（2）根据圆锥的体积（容积）公式：V＝Sh，把数据代入求值即可。
【详解】由分析可得：
（1）3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：它的占地面积约是28.26平方米。
（2）×28.26×3.6
＝9.42×3.6
＝33.912（立方米）
答：它内部的空间约是33.912立方米。
【点睛】本题主要考查圆的面积公式和圆锥体积公式的掌握和灵活运用，解题的关键是熟记公式。
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