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2024学年北师大版六下数学学霸速记巧练2：比例（知识清单）
知识点一：比例的认识
1、意义：表示两个比相等的式子，叫作比例。比例表示两个比相等的关系，是一个等式。
2、比例的基本性质。
（1）认识比例的项。
在比例里，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
（2）比例的基本性质。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
3、判断两个比能否组成比例。
【典例一】甲数的是乙数的，那么甲数与乙数的最简比是（ ）。
A．∶ B．7∶8 C．∶ D．8∶7
【分析】甲数的是乙数的，则甲数×＝乙数×。根据比例的基本性质，把甲数和看作比例的外项，乙数和看作比例的内项，据此即可求出甲数与乙数的比，再运用比的性质化简比。
【详解】通过分析，甲数×＝乙数×，则甲数∶乙数＝∶。
∶
＝（×28）∶（×28）
＝24∶21
＝（24÷3）∶（21÷3）
＝8∶7
那么甲数与乙数的最简比是8∶7。
故答案为：D
【点睛】本题考查了分数乘法、比例的基本性质、比的化简。根据分数乘法的意义写出等式，继而根据比例的基本性质把等式改写成比例形式是解题的关键。
【变式训练01】在一个比例中，两个比的比值都等于2，这个比例的外项是8和9，这个比例是( )。
【分析】根据“这个比例的外项为8和9”，可知如果把8当作前一个比的前项，那么9当作后一个比的后项，进而根据比的后项比的前项比值，比的前项比值比的后项，计算后即可写出符合题意的比例。
【详解】（1）把8当作前一个比的前项，9就作为后一个比的后项，那么
前一个比的后项：
后一个比的前项：
所以这个比例式是8∶4=18∶9
（2）把9当作前一个比的前项，8就作为后一个比的后项，那么
前一个比的后项：
后一个比的前项：
所以这个比例式是9∶4.5=16∶8
【点睛】此题考查求比的前、后项的方法，也考查了比例的意义，要注意此题要分两种情况解决。
【变式训练02】小莉用水和蜂蜜为一家人分别调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如下表。
四杯蜂蜜水的配比情况表：
第一杯 第二杯 第三杯 第四杯
蜂蜜/mL 12 11 10 14
水/mL 60 44 60 70
把最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第( )杯蜂蜜水，你判断的理由是( )。同样甜的两杯给爸爸和妈妈，请你根据这两杯蜂蜜水的配比情况写出一个比例是( )。
【分析】将蜂蜜的质量除以水的质量，求出每杯蜂蜜水中蜂蜜和水的比值。比值越大，蜂蜜水越甜；
比值相等的两杯蜂蜜水同样甜。比值相等的两个比可以组成一个比例。据此，写出一个比例即可。
【详解】12÷60＝0.2
11÷44＝0.25
10÷60＝
14÷70＝0.2
0.25＞0.2＞
所以弟弟喝的是第二杯蜂蜜水，理由是第二杯蜂蜜和水的比值最大（答案不唯一）。
同样甜的两杯是第一杯和第四杯，写成的比例可以是12∶60＝14∶70（答案不唯一）。
【变式训练03】有两个圆，直径分别是2cm和3cm。
（1）请你画出这两个圆。
（2）写出两个圆的直径比和周长比。
（3）这两个比能组成比例吗？
【分析】（1）确定圆的半径，画圆即可；
（2）小圆的直径∶大圆的直径即可求出两个圆的直径比，根据圆的周长＝π×直径，求出两个圆的周长比；
（3）根据比例：表示两个比相等的式子，来解答。
【详解】（1）两个圆的半径分别为：2÷2＝1（cm），3÷2＝1.5（cm），
作图如下：
。
（2）直径比：2∶3；
周长比：（3.14×2）∶（3.14×3）＝2∶3。
（3）能组成比例，因为2∶3＝（3.14×2）∶（3.14×3），所以能组成比例。
【点睛】考查了比例，判断两个式子是否成比例，只要看它们的比是否相等。
知识点二：比例的应用
1、解比例。
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。
解比例的方法：
（1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法等式，即一般方程；
（2）解方程求出未知项的值；
（3）把求出的结果代入比例中验算一下，看比例是否成立。
2、比例的应用。
根据比例的意义和基本性质，设未知数、解比例、解决实际问题。
【典例一】用5毫升的蜂蜜兑100毫升水调制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，为了使蜂蜜水的甜度不变，需要加入的水可以是（ ）。
A．10毫升 B．200毫升 C．原来的3倍 D．原来的4倍
【分析】根据蜂蜜水的甜度不变，即蜂蜜与水的比值一定，据此列比例解答即可。
【详解】解：设需要加入x毫升水。
5∶100＝10∶x
5x＝100×10
5x＝1000
x＝200
故答案为：B
【点睛】本题主要考查比例的实际应用，答题的关键是明确蜂蜜水的浓度不变，也就是蜂蜜与水的比值一定。
【变式训练01】配制一种药水，药粉和水的比是1∶39，现有药粉4.5千克，可以配制成 千克药水。
【分析】药粉与水的比是1∶39，意思就是1份的药粉配39份的水，现在药粉是4.5千克，也就是1份代表4.5千克，那么对应的水就是4.5×39，将药粉和水相加即可解答。
【详解】水：4.5×39＝175.5（千克）
药水：175.5＋4.5＝180（千克）
4.5千克的药粉可以配制成180千克药水。
【点睛】此题主要考查学生对比例的实际应用，同时此题还可以利用设未知数，解比例进行解答。
【变式训练02】王阿姨和李阿姨做一批仿真花，王阿姨已经做的与李阿姨已经做的数量比是，已知王阿姨已经做了72朵，李阿姨已经做了多少朵？（用比例解）
【分析】设李阿姨已经做了x朵，根据王阿姨已经做的与李阿姨已经做的数量比是9∶11，列出比例即可。
【详解】解：设李阿姨已经做了x朵。
72∶x＝9∶11
9x＝792
9x÷9＝792÷9
x＝88
答：李阿姨已经做了88朵。
【点睛】找出题目中的等量关系，是解答此题的关键。
【变式训练03】请你选择一个问题填在横线上，并用比例知识解答出来。
黎明5分钟可以走325米，照这样计算，
①18分钟可以走多少米？
②从家到学校相距1300米，他要走多少分钟？
【分析】（1）假设18分钟可以走x米，然后利用速度相等，通过速度＝路程÷时间解比例解答；
（2）假设他要走x分钟，然后利用速度相等，通过速度＝路程÷时间解比例解答；
【详解】①解：设18分钟可以走x米。
325∶5＝x∶18
5x＝325×18
5x＝5850
x＝1170
答：18分钟可以走1170米。
②解：设他要走x分钟。
325∶5＝1300∶x
325x＝5×1300
325x＝6500
x＝20
答：他要走20分钟。
【点睛】此题考查学生利用解比例解决实际问题的能力。
知识点三：比例尺
1、意义。
一副图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
2、比例尺的书写形式。
图上距离：实际距离=比例尺或=比例尺。
3、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；
（2）图上距离：实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
3、比例尺的分类。
比例尺根据表现形式的不同，可分为线段比例尺和数值比例尺；根据世纪距离是缩小还是方法，还可分为缩小比例尺和放大比例尺。
【典例一】有一张边长为65cm的正方形图纸，要在上面画出长为120m、宽为90m的长方形菜地的平面图，你认为最合适的比例尺是（ ）。
A．200∶1 B．1∶150 C．1∶200 D．1∶20000
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出长方形的长和宽的图上距离，再与65cm对比即可。
【详解】120m＝12000cm；90m＝9000cm。
A．12000×200＝2400000（cm）
比例尺是扩大比例尺，不合适；
B．12000×＝80（cm）
因为正方形图纸的边长是65cm，所以比例尺不合适；
C．12000×＝60（cm）
9000×＝45（cm）
因为正方形图纸的边长是65cm，所以比例尺合适；
D．12000×＝0.6（cm）
9000×＝0.45（cm）
画出来的图形太小，所以比例尺不合适
有一张边长为65cm的正方形图纸，要在上面画出长为120m、宽为90m的长方形菜地的平面图，你认为最合适的比例尺是1∶200。
故答案为：C
【变式训练01】我国“神舟六号”载人飞船着陆在内蒙古的四子王旗，在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得四子王旗和北京的图上距离为9cm，则两地之间的实际距离大约是 km。
【分析】要求两地之间的实际距离大约是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。
【详解】9÷
＝9×5000000
＝45000000（cm）
45000000cm＝450km
两地之间的实际距离大约是450km。
【点睛】此题考查了比例尺的实际应用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。
【变式训练02】学校要建一个长80m、宽60m的长方形操场。按1∶2000的比例尺，先计算出操场长和宽的图上距离，再画出操场的平面图。
【分析】根据图上距离＝比例尺×实际距离，求出长方形操场的长和宽在图上的长度，再画出图形。
【详解】80米＝8000厘米
60米＝6000厘米
8000×＝4（厘米）
6000×＝3（厘米）
如图：
【点睛】考查了应用比例尺画图，注意单位的换算。
【变式训练03】迷人的乐园设施如下图。
（1）百宝园距开心乐园门口有300米，图上距离是（ ）厘米，这个示意图的比例尺是（ ）。
（2）若卡卡从展台出发，经过开心乐园门口，到书画乐园的实际距离是（ ）米。
（3）游乐园在展台北偏东45°，距展台实际距离为400米处，请在图中标出游乐园的位置。
【分析】（1）首先测量出百宝园到开心乐园门口的图上距离，再根据比例尺的意义，图上距离∶实际距离＝比例尺，据此求出这幅图的比例尺。
（2）量出展台到开心乐园再到书画乐园门口的图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求出卡卡从展台出发，经过开心乐园门口，到书画乐园的实际距离。
（3）首先根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出展台到游乐园的图上距离，然后根据方向和距离确定游乐园的位置。
【详解】（1）百宝园到开心乐园门口的图上距离是3厘米；
3厘米∶300米
＝3厘米∶30000厘米
＝3∶30000
＝1∶10000
所以这个示意图的比例尺是1∶10000。
（2）展台到开心乐园门口的图上距离是2厘米；开心乐园门口到书画乐园的图上距离是5厘米；
（2＋5）÷
＝7÷
＝70000厘米
＝700（米）
（3）游乐园距展台实际距离为400米，图上距离为：
40000×＝4（厘米）
作图如下：
【点睛】此题考查的目的是理解比例尺的意义，掌握比例尺的实际应用，以及利用方向和距离确定物体位置的方法及应用。
知识点四：图形的放大和缩小
1、图形的放大和缩小是生活中常见的现象。
保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变大了，叫做图形的放大；保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变小了，叫做图形的缩小。
2、图形的放大与缩小的意义。
把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。
3、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；
一看：看原图形每边各占几格；
二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；
三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
【典例一】将如图图形按1∶2的比缩小后的图形是（ ）。

A． B． C． D．
【分析】把圆按1∶2缩小，就是将圆的半径缩小到原来的，缩小后圆的半径与原来圆的半径比是1∶2，据此按缩小后的半径画圆，据此解答。
【详解】A．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意；
B．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意。
C．，是按照1∶2的比缩小后的图形，符合题意；
D．，不是按照1∶2缩小后的图形，不符合题意。
将图形按1∶2的比缩小后的图形是。
故答案为：C
【点睛】本题考查的目的是理解掌握图形放大、缩小的方法以及应用。
【变式训练01】亮亮画了一个底是2cm，高是3cm的直角三角形，按3∶1放大后，这个三角形的底是（ ）cm，高是（ ）cm，放大后三角形的面积是（ ）cm2。
【分析】把三角形按3∶1放大，三角形的每条边都扩大到原来的3倍，据此求出放大后的三角形的底和高；三角形的面积＝底×高÷2，据此把放大后的数据代入公式计算。
【详解】2×3＝6（cm），3×3＝9（cm），则按3∶1放大后，这个三角形的底是6cm，高是9cm；6×9÷2＝27（cm2），放大后三角形的面积是27cm2。
【点睛】本题主要考查图形的放大与缩小。把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍。
【变式训练02】一张奖状长40厘米，宽30厘米，笑笑把它的平面图画在纸上，平面图的长是10厘米，宽是2厘米，笑笑画得像吗？
【分析】根据比例尺的公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，把图形按照比例放大或缩小，才能保证奖状整体形状不变，只是大小变化，据此即可解答。
【详解】40∶10
＝（40÷10）∶（10÷10）
＝4∶1
30∶2
＝（30÷2）∶（2÷2）
＝15∶1
由于长的图上距离和实际距离的比值与宽的图上距离和实际距离不相等。
答：笑笑画得不像。
【点睛】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。
【变式训练03】在“垃圾不落地，普宁更美丽”活动中，流沙某街道办准备增加垃圾桶的投放量。这种垃圾桶内胆是一个铁皮做的无盖圆柱，高45厘米，直径30厘米。（π取3）
（1）请你按照1∶15的比例尺为工人师傅画出内胆的展开图（焊接部分忽略不计）。
（2）做一个这样的垃圾桶内胆需要多少平方厘米铁皮？（结果保留整十厘米）
（3）这个垃圾桶的内胆的容积是多少立方厘米？
【分析】（1）按照1∶15的比例尺画图，就是把直径和高缩小到原来的，再根据圆柱展开图的特征画出即可；
（2）无盖的圆柱的表面积就是圆柱的底面积加圆柱的侧面积，根据圆的的表面积公式：底面积＋侧面积，代入数据，即可；
（3）再根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】（1）圆柱的底面直径：30×＝2（厘米）
底面周长：3×2＝6（厘米）
圆柱的高：45×＝3（厘米）
（2）3×（30÷2）2＋3×30×45
＝3×225＋90×45
＝675＋4050
＝4725
≈4730（平方厘米）
答：做一个这样的垃圾内胆需要4730平方厘米铁皮。
（3）3×（30÷2）2×45
＝3×225×45
＝675×45
＝30375（立方厘米）
答：这个垃圾的内胆的容积是30375立方厘米。
【点睛】根据图形的放大和缩小、圆柱的表面积公式以及体积公式进行解答。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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