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2024学年北师大版五下数学学霸速记巧练1：长方体（一）（知识清单）
知识点一：长方体的认识
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形叫做长方体或正方体的面；面和面相交的边叫做长方体或正方体的棱；三条棱又交于一点，这个点叫做顶点。
2、长方体和正方体的特点
3、正方体与长方体的关系
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。
4、判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体面和棱的特点一组一组地进行对比。
【典例一】做一个长6cm，宽5cm，高4cm的长方体框架，最少需要（ ）cm长的木条。
A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】求做这个长方体需要木条的长度，就是求这个长方体棱长总和，根据长方体棱长总共公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详解】（6＋5＋4）×4
＝（11＋4）×4
＝15×4
＝60（cm）
做一个长6cm，宽5cm，高4cm的长方体框架，最少需要60cm的木条。
故答案为：D
【点睛】熟练掌握长方体棱长总和公式是解答本题的关键。
【变式训练01】一个上下两层的长方体储物柜，每层高0.3米，后来往上又加了一层，这时储物柜的形状是正方体，这个储物柜现在占地（ ）平方米。
【分析】上下两层的长方体储物柜，又加了一层变成了正方体，每层高0.3米，证明正方体的棱长为0.3×3＝0.9（米），根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【详解】0.9×0.9＝0.81（平方米）
这个储物柜现在占地0.81平方米。
【点睛】此题主要考查正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【变式训练02】下图中，A面的面积是40cm2。那么：
（1）B面的面积是（ ）cm2。
（2）要做这个长方体框架，至少需要（ ）cm的铁丝。
【分析】（1）根据图分析，A面是一个长方形，宽是5cm，面积是40cm2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据求出A面的长是多少。A面的长，也是B面的长，同时也是整个长方体的长，B面的宽为7cm，代入长方形面积公式可求B面面积。
（2）根据长方体的特征，它有12条棱，分为3组，每组4条棱的长度相等，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，从图上可知该长方体高为5cm，宽为7cm，再利用上一问求出的长方体的长，计算即可。
【详解】（1）（1）40÷5＝8（cm）
8×7＝56（cm2）
B面的面积是56cm2。
（2）（8＋7＋5）×4
＝（15＋5）×4
＝20×4
＝80（cm）
要做这个长方体框架，至少需要80cm的铁丝。
【点睛】本题主要考查了长方形的面积公式和长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。
【变式训练03】一根绳子长6米，现要捆扎一种礼盒（如下图）。如果结头处要用掉绳子25厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？（单位：厘米）
【分析】通过观察图形可知，捆扎一个这样的礼品盒需要绳子的长度等于这个长方体的2条长，加2条宽，加4条高，再加上结头处要用的绳子25厘米，据此可以求出捆扎一个礼品盒需要绳子的长度，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【详解】6米＝600厘米
10×2＋15×2＋8×4＋25
＝20＋30＋32＋25
＝107（厘米）
600÷107＝5（个）……65（厘米）
答：这根绳子最多可以捆扎5个这样的礼盒。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和的计算方法及应用。
知识点二：展开与折叠
1、长方体的展开图。
长方体的展开图是由6个长方形组成的，相对面的面积相等，而且相邻面的面积一般不相等(特殊情况也有4个面的面积相等)。
2、正方体的展开图。
正方体的展开图是由6个正方形组成的，而且6个正方形的面积相等。
3、判断一个图形折叠后相对的面，可以根据长方体，正方体的特点，先确定一个面为下底面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物图折一折。
【典例一】下图是一个长方体的展开图（单位：），则阴影部分的面积是（ ）。
A．15 B．21 C．35 D．50
【分析】观察图形可知，长方体的长是7dm，宽是5dcm，高是3dm，阴影部分的长是等于长方体的长，等于7dcm，宽等于长方体的高，等于是3dm，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】7×3＝21（dm2）
则阴影部分的面积是21dm2。
故答案为：B
【点睛】解答本题的关键是根据长方体展开图的特征确定阴影部分的长和宽的长度。
【变式训练01】一个长方体的长是7厘米，宽是5厘米，高是3厘米。说出这个长方体的底面、前面和左面的面积各是多少平方厘米？
底面的面积是( )平方厘米。
前面的面积是( )平方厘米。
左面的面积是( )平方厘米。
【分析】根据题意可知，底面面积＝长×宽，前面面积＝长×高，左面面积＝宽×高，以此解答。
【详解】底面的面积：7×5＝35（平方厘米）
前面的面积：3×7＝21（平方厘米）
左面的面积：3×5＝15（平方厘米）
【点睛】此题主要考查学生对长方体表面积的理解与应用。
【变式训练02】如图，一张硬纸板剪下4个边长4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？
【分析】由题意可知，剪后的硬纸板的面积＝原长方形面积－4×小正方形面积，将数值代入长方形面积计算公式求值即可。
【详解】26×20－4×4×4
＝520－64
＝456（cm2）
答：剪后的硬纸板的面积是456平方厘米。
【点睛】此题主要考查了学生动手操作的能力，在计算不规则图形的面积时，一般都会把它转化成几个规则图形的面积之和或差，再利用规则图形的面积公式进行解答。
【变式训练03】熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了。数字1，2，3对面分别是多少？
【分析】从两次的图形中可以得知：3是和1、2、4、6相邻，所以3的对面就是5；由第二次看到的图形可以得知2与1、3、5、6相邻，据此可推出2的对面是4，进而推出1的对面是6。据此解答。
【详解】根据分析可得，以3为中心的展开图如下：
答：数字1的对面是数字6；数字2的对面是数字4；数字3的对面是数字5。
【点睛】本题的关键是明确数字6是靠着数字2的。
知识点三：长方体的表面积
1、长方体的表面积。
（1）长方体的表面积的意义:长方体6个面的面积之和叫作它的表面积。
（2）长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
或长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
2、正方体的表面积。
（1）正方体的表面积的意义:正方体6个面的面积之和叫作它的表面积。
（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6
【典例一】一个长方体的茶叶盒，长10厘米，宽8厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有（ ）平方厘米。
A．120 B．432 C．592 D．960
【分析】已知这个长方体的长宽高，且要求只围着侧面贴一圈商标纸，这就意味着只求长方体的前后两面、左右两面的面积之和即可。
【详解】（10×12＋8×12）×2
＝（120＋96）×2
＝216×2
＝432（平方厘米）
这张商标纸的面积至少有432平方厘米。
故答案为：B
【点睛】明确所求部分面积属于长方体的哪几个面，从而确定所运用的相关元素，这是解题关键。
【变式训练01】两块完全一样的长方体，长6dm、宽5dm、高4dm，把它们拼成一个大长方体后，大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少( )，最少减少( )。
【分析】此题考查的是立体图形的拆拼，解答此题的关键是，将两个长方体最大的两个面重叠在起，才能保证拼成的新长方体的表面积最小，将两个长方体最小的两个面重叠在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最大。
1、此题考查的是立体图形的拆拼，关键是分析哪两个面拼接表面积最大；
2、两个长方体拼成一个大长方体，要使表面积减少的最多，则可以把最大面6×5面相粘合，据此减少了两个6×5的面的面积；
3、反之，把最小面5×4面相粘合，表面积减少的最少，据此即可解答。
【详解】6×5×2
＝30×2
＝60（dm2）
5×4×2
＝20×2
＝40（dm2）
大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少60，最少减少40。
【点睛】本题解题关键是理解要使拼成的大长方体表面积减少最多，必须使原来两个长方体的最大面重合，反之减少最少即最小面重合，也就是两个长方体上下面重合的道理。
【变式训练02】饼干盒长10厘米、宽5厘米，高2厘米，将2盒饼干盒包装在一起，成为一个包装盒。
（1）最少用多少平方厘米的包装纸？
（2）如果用彩带系在包装盒上，打结部分为30厘米，至少用多少彩带？
【分析】（1）将2盒饼干盒包装在一起，成为一个包装盒，最少用纸应该把长方体中最大的两个面合在一起，求最少用多少平方厘米的包装纸，就是求的长是10厘米。宽是5厘米，高是2×2＝4厘米的长方体包装盒的表面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），代入数据，即可解答；
（2）彩带的长度是有2个长方体的长的长，2个长方体的宽的长，4个长方体高的长与打结部分的长的和，据此解答。
【详解】（1）2×2＝4（厘米）
（10×5＋10×4＋5×4）×2
＝（50＋40＋20）×2
＝（90＋20）×2
＝110×2
＝220（平方厘米）
答：最少用多少平方厘米的包装纸220平方厘米的包装纸。
（2）2×10＋2×5＋4×4＋30
＝20＋10＋16＋30
＝30＋16＋30
＝46＋30
＝76（厘米）
答：至少用76厘米的彩带。
【点睛】解答本题的关键明确最少用纸应该把长方体中最大的两个面合在一起。
【变式训练03】有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？
【分析】根据在正方体打一个边长为1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一个边长为5厘米的正方形空洞（打通），可知棱长是5厘米的正方体表面积减少了4个边长是1厘米的正方形面积，即减少的面积为：1×1×4＝4平方厘米；同时也增加了8个长是5厘米，宽是1厘米的长方形面积，再从中去掉一个棱长1厘米的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可求出剩余面积，据此解答。
【详解】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6
＝25×6－1×4＋5×8－1×6
＝150－4＋40－6
＝146＋40－6
＝186－6
＝180（平方厘米）
答：剩余部分的表面积是180平方厘米。
【点睛】解答本题的关键是两个空洞相交，需要减去重复的面积，即一个正方体的表面积，利用正方体表面积公式，长方体表面积公式，进行解答。
知识点四：露在外面的面
1、数露在外面的面的方法：逐一观察每一个小正方体，把它们露出来的面的数量分别数出来，然后相加。
2、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个时，先观察小正方体的摆放特点，再从中找出正方体的个数与露在外面的面的个数间存在的规律。
3、计算堆放在墙角的正方体露在外面的面积的方法：先数露在外面的面的总个数，再用1个面的面积乘露在外面的面的总个数。
【典例一】按下图方式，将小正方体摆在地面上，这样摆100个，有（ ）个小正方形的面露在外面。
A．202 B．302 C．402 D．502
【分析】因为该组合体是放在地面上，所以可以从前、后、上、左、右几个方位观察。通过对该组合体的观察，该组合体从前面看，有100个小正方形；从上面看，有100个小正方形；从右面看，有1个小正方形；从左面看，有1个小正方形；从后面看，有100个小正方形，把这几个方位能看见的小正方形数量加起来即可。
【详解】由分析可得：
100＋100＋1＋1＋100
＝200＋1＋1＋100
＝201＋1＋100
＝202＋100
＝302（个）
故答案为：B
【点睛】本题主要考查求组合体露在外面的面的个数问题，解题的关键是从各个方向看，能看到几个正方形，要求学生有一定的空间想象能力。
【变式训练01】将6个棱长为2cm的小正方体按如图所示的方式堆放在墙角处，则露在外面的面积是( )cm2。
【分析】数出露在外面的面的个数，乘每个面的面积，根据正方形的面积＝边长×边长即可求解。
【详解】12×（2×2）
＝12×4
＝48（cm2）
即露在外面的面积是48 cm2。
【点睛】本题主要考查露在外面的面的面积，关键数出露在外面的面的个数。
【变式训练02】将一个由4个棱长是8cm的正方体拼成的长方体拆开（如图），4个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。
【分析】4个正方体的表面积之和＝棱长×棱长×6×4，将一个由4个棱长是8cm的正方体拼成的长方体拆开，表面积增加了6个面的面积。
【详解】8×8×6×4
＝64×6×4
＝1536（cm2）
将一个由4个棱长是8cm的正方体拼成的长方体拆开，表面积增加了6个面的面积，与原来长方体的表面积不相等。
答：4个正方体的表面积之和是1536cm2，与长方体的表面积不相等。
【点睛】考查了立体图形的切拼，解题的关键是分析出将长方体拆开，表面积增加了6个面的面积。
【变式训练03】淘气将正方体按下面的方式摆放在桌面上。
（1）填一填。
小正方体的个数 1 2 3 4
露在外面的面/个
（2）你发现了什么规律？
（3）根据你发现的规律，10个这样的小正方体这样摆放，有（ ）个露在外面的面。
【分析】（1）观察图形，小正方体的个数为1时，露在外面的面有5个面，小正方体的个数为2时，露在外面的面有（5＋3）个面，小正方体的个数为3时，露在外面的面有（5＋3×2）个面，小正方体的个数为4时，露在外面的面有（5＋3×3）个面，据此完成填空。
（2）通过前面计算出来的数据，我们可以看出随着小正方体的个数的增多，露在外面的面的个数也在增加，具体的变化规律是当前图形露在外面的面的个数比前一个露在外面的面的个数要多3个。
（3）依次类推，小正方体的个数为n时，露在外面的面有个面，当n＝10时，把数据代入，即可求出有多少个露在外面的面。
【详解】（1）5＋3＝8（个）
5＋3×2
＝5＋6
＝11（个）
5＋3×3
＝5＋9
＝14（个）
填表如下：
小正方体的个数 1 2 3 4
露在外面的面/个 5 8 11 14
（2）答：我发现当前图形露在外面的面的个数比前一个露在外面的面的个数要多3个。
（3）小正方体的个数为n时，露在外面的面有个面，
当n＝10时，
＝
＝
＝5＋27
＝32（个）
【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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