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北师版·九年级下册
8 圆内接正多边形
新课导入
几何画板
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探究新知
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
探究新知
怎样由圆得到多边形呢？
把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连接各分点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
探究新知
如图，五边形 ABCDE 是 ⊙O 的内接正五边形.
E
A
B
C
D
O
圆心O叫做这个正五边形的中心.
OA是这个正五边形的半径.
∠AOB是这个正五边形的中心角.
M
OM是这个正五边形的边心距.
A
B
C
D
E
F
O
β
α
r
γ
正 n 边形的每个中心角为
正 n 边形的每个内角为
正 n 边形的每个外角为
正 n 边形的周长 ln = nan（an为边长）
正 n 边形的面积 Sn = rln（r 为边心距，ln 为周长）
例 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径 OC = 4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
解：连接 OD.
∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴ △COD 为等边三角形.
∴ CD = OC = 4 .
在Rt△COG 中，OC = 4，
∴ 正六边形 ABCDEF 的中心角为60°， 边长为 4，边心距为
例 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径 OC = 4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
A
B
C
D
E
F
O
G
O
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法一
由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径 R . 所以，在半径为 R 的圆上，依次截取等于 R 的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形.
R
O
分别以F，C
为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，
与⊙O相交于点E，A和D，B，
如何用尺规作一个已知圆的内接正六边形呢？
作法二
作⊙O的任意一条直径FC，
F
C
E
A
D
B
则 A，B，C，D，E，F 是 ⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.
你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗？
O
C
D
A
B
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 各边都相等的圆内接多边形是正多边形
D. 各角都相等的圆内接多边形是正多边形
C
随堂练习
各角也要相等
边数是偶数的正多边形
内接矩形，各角都相等，但不是正多边形.
2. 分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
·
A
B
C
O
D
解：如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，OB=6cm，OD⊥BC．
等边三角形的内心和外心重合，所以OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；
∴ OD=OB·sin30°=6· =3 cm.
3.如图，点 O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点 O（使该角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积 n 等分，那么 n 的所有可能取值的个数是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
B
根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化成正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题！
课堂小结
通过本节课的学习，你对圆的内接正多边形还有哪些疑问？
课后作业
习题3.10
1.2.3.4.5

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