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第2课 数制
目
录
认识进制和数值转换
知识回顾
二进制数的编码
1
2
3
01
PART 1
知识回顾
要实现这个转变分几步走呢？
数值数据
0、1代码
分几步？
两个要素：
0和1组成的二进制数、
按一定规则编出的代码
数值数据的编码过程
接下来，我们首先来解决数值转换的问题。
02
PART 2
认识进制和数值转换
我们来玩个简单的小游戏吧，或许能够从中发现进制的一些端倪！
E卡片
1 3 5 7
9 11 13 15
17 19 21 23
25 27 29 31
D卡片
2 3 6 7
10 11 14 15
18 19 22 23
26 27 30 31
C卡片
4 5 6 7
12 13 14 15
20 21 22 23
28 29 30 31
B卡片
8 9 10 11
12 13 14 15
24 25 26 27
28 29 30 31
A卡片
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
探究：猜生日游戏的秘密
日期1-31是十进制数字，可以由5位二进制表示，最大值为(31)10=(11111)2，最小值为(1)10=(00001)2
A卡片的数字特点：每个数字的二进制第5位都是1
B卡片的数字特点：每个数字的二进制第4位都是1
C卡片的数字特点：每个数字的二进制第3位都是1
D卡片的数字特点：每个数字的二进制第2位都是1
E卡片的数字特点：每个数字的二进制第1位都是1
所以1到31内的任意一个数，只要用5位二进制0，1表示
这个数所处相应的位置，就能得到这个数的二进制数了。
A卡片
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
10000 10001 10010 10011
10100 10101 10110 10111
11000 11001 11010 11011
11100 11101 11110 11111
（那么十进制和二进制是怎么转换的呢？）
不着急，我们先来看看你真的会数数吗？
试想一下，当我们还是小孩子的时候，大家都有扳手指头数数的经验，小学一年级的时候，老师告诉我们当个位数到9的时候，再数一个就向前进一位，这一位我们称之为十位，十位数到9的时候，再向前进一位，也就是百位，以此类推。
如果稍加留意，你就会发现，数数的本质是做+1的计算
0+1
1+1
2+1
3+1
4+1
5+1
.....
为了探究其根本，就让我用一把豆子加三个罐子来模拟一下数数的过程。
可是，你数过
1+1=10？
这看起来不科学嘛！
十进制,每进一位乘以10
...... 百位 十位 个位
100
101
102
十进制，逢10进1
1
100
10
不同的位数对应不同的权值，权值用基数的幂表示。
用数学思维理解为：
但是，为何一定要数到9，也就是说为何非要是9加上1才要向前进一位呢？这是哪位大神定的？
逢10加1
试试数到6，我们就向前进一位。
我也要改规则！
在六进制里,每进一位乘以6，用数学思维理解为：
...... 36 6 1
60
61
62
所以，二进制呢,每进一位乘以几？
八进制呢？十六进制呢？R进制呢？
六进制，逢6进1
所谓“进制”，就是“进位的制度”，也就是在一位上放满几个向高位进1的制度。
这个时候，我们来试着数一数不同进制下的数。
在10进制下数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20....
嗯，我们一直都是这么数的，有点枯燥无味！
在6进制下数
1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21........25 30
六
六一
六二。。。。。。。
二六
二六一
三六
不叫十了
当然，对于十进制以外的数，我们在读10.20.21这种数的时候，其实并不需要读成刚才我说的那样，我刚才这么读只是为了说明它们到底代表什么意思，但是这样太麻烦且容易混淆，我们一般把单个数字读出来就好了，比如一0，二0，二一。
归纳常用进制
十进制 包含0~9 基数为10 逢10进1
二进制 只有0、1 基数为2 逢2进1
八进制 包含0~7 基数为8 逢8进1
十六进制 包含0~9，A, B, C, D, E,F 基数为16
逢16进1
10
11
12
13
14
15
(16)10
(1010)2
(20)8
(AF)16
小问题：为什么十六进制后面用A B C D E F来表示，原因何在？
把十进制数9，分成1个8和1个1两个数，把这两个数对应二进制的位置用1表示，其他位置用0表示。
二进制,只有0和1，每进一位乘以2，用数学思维理解为：
20
21
22
23
........ 8 4 2 1
1
0 0
1
所以1001就是9的二进制
而1×23+0×22+0×21+1×20=9
接下来，我们深入探究二进制
小问题：为什么9不能分成其它两个数或多个数？
(2 3 5. 2 5)10
=2×100+3×10+5×1+2×0.1+5×0.01
=2×102+3×101+5×100+2×10-1+5×10-2
2
1
0
-1
-2
权值
十进制数位权值如下：
把R进制数转换为十进制数，可使用位权相加法
不同的位数对应不同的权值，权值用基数的幂表示。
学中做，做中思：二进制转换十进制
(1 0 1. 1 1)2
=1×22+1×20+1×2-1+1×2-2
=4+1+ +
=(5.75)10
1
2
0
-1
-2
二进制
十进制
学中做，做中思：八进制转换十进制
(2 7)8
=2×81+7×80
=16+7
=(23)10
0
1
八进制
十进制
学中做，做中思：十六进制转换十进制
(2 B)16
=2×161+11×160
=32+11
=(43)10
1
0
B=11
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十六进制
十进制
探究:前面我们提出，十六进制后面为什么用字母符号来表示？
(98A)16
=9×162+8×161+10×160
=(2442)10
1
0
2
(9810)16
=9×163+8×162+1×161+0×160
=(38928)10
1
0
2
3
不用字母表示，数的位数发生变化，为两个不同的数。
十进制转换为二进制
【例】把(18)10 转换为二进制数
答案：(10010)2
18
2
9
2
4
2
2
2
1
2
0
余数
0
1
0
1
0
低位
高位
进阶：把十进制整数转换为R进制数，可使用除法，即“除R(基数)反向取余法”
(18.375)10 =( )2
整数部分：整数除2(基数)反向取余数
反向取余
将十进制数0.375转换为相应的二进制数
0
正向取整
1
1
进阶：把十进制小数转换为R进制小数，可使用乘法，即“乘R(基数)正向取整法”。
(18.375)10 =(10010.011)2
【例】将(175)10转换为16(R)进制
提示：当R>10时，可能会出现余数为二位数(10)的情况，此时要转换为对应的R进制的单个数字符号。
答案：(AF)16
175
16
10
16
0
余数
15
10
低位
高位
十进 制数 十六
进制数
1 1
2 2
… …
9 9
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F
反向取余
知识小结与迁移
练习
1、(23)10 =( )2
2、(23)10 =( )8
3、(23)10 =( )16
10111
27
17
二进制的算术运算（注意跳脱固有的10进制体系，适应新的进制体系）
03
PART 3
二进制数的编码
最后一步就是把二进制数编码为二进制代码
二进制代码分为：原码、反码、补码
原码就是一个数的二进制数的表达。其中对于有符号的数，
其最高位为符号位，正数为0，负数为1。
反码和补码是对原码进行某种转换编码方式。
对于正数，原码、补码、反码三者相同。
对于负数，反码是将原码除了符号位外的每一位数取反，0换为1，1换为0；补码是反码+1。
举例说明：
计算机中的数值数据以补码的方式表示。可是为什么不用原码或者反码？
计算机是只能做加法运算，不能直接做减法运算的，因为普通电脑硬件中没有减法器，做减法运算可以迂回的转换成加法。
以计算1-1为例，可以转成1+(-1)
原码：
00000001 + 10000001 = 10000010
10000010 是-2，计算错误。
则：原码不能做计算。
03
数值数据编码
计算【1 - 1 = 0】，若用反码计算：
00000001 + 11111110 = 11111111
此时的8个1是反码，转成原码，就是10000000，也就是 - 0
-0和0也算正确。
但是又会出来一个问题：
0就有两种表示方法：10000000或00000000。这在计算机中被认为是不合理的。则：反码不适合做计算。
计算【1 - 1 = 0】，若用补码计算：
00000001 + 11111111 = 00000000
计算过程中，产生进位，溢出了，所以结果是8个0，为0，计算正确，也解决了反码带来的问题。
则：用补码计算最好。
课后实践应用探究
主题：用二进制编码提升核酸检测效率
预设探究问题：
已知在本教室32个同学中有一个人感染了新冠病毒，我们怎样才能做一次核酸检测就找到他呢？要分几组试剂检测？应该怎么编组检测样本呢？
说明：所有的同学已采集了核酸样本并编号（样本可复制多份，多次使用），并且假设我们检测容器足够大，可以容纳若干份样本同时检测。
试剂1
试剂2
3号
11111
00000
试剂3
试剂4
试剂5
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
11号
12号
13号
14号
15号
16号
17号
18号
19号
20号
21号
22号
23号
24号
25号
26号
27号
28号
29号
30号
31号
0号
1号
2号
1号
2号
阴性
阳性
提示：共有32人，实际上只要做31人就行了，请同学们参考猜生日游戏的玩法，假如5个试剂都显示阳性，说明5个试剂的二进制为11111，对应的数字为31，是不是就意味着31号样本就是感染者呢？应该怎么编组样本呢？
课后实践应用探究
总结
谢谢！

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