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整体思想方法
八年（2）班 陈文集 指导师：杨克湖
在解数学问题中，我们往往遇到一些问题，涉及的问题的量特别多，使人感到迷茫，无法找到正确的解题思路。那我们要如何把握正确的解题方向，轻松找到简明的解法呢？
该类问题中局部情况相当复杂，盲目进入局部搜索，会陷入繁琐迷茫之中，所以能从整体把握方向，常会找到问题的简明解法，这如进入林海中需要望北斗，看年轮掌握方向一样。因此，整体思想是一种重要的数学解题思想方法。所谓整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性。
例题1：1024名乒乓球选手，用淘汰制争夺单打冠军，问应进行多少场比赛？为什么？
（解法1）用逐步分析法，因每两人比赛一场，第一轮比赛有场，第二轮比赛有场，第三、四、五、六、七、八轮比赛分别有场，第九轮比赛有场，第十轮比赛进行=1场，最总决出冠军。
可见，共应比赛
=512+256+128+64+32+16+8+4+2+1
=1023（场）
（解法2）从整体思想考虑，即从淘汰制看，每场比赛总要淘汰一名选手，现1024名选手要决出冠军，需淘汰1023名选手，因此要进行1023场比赛。
显然，通过对比上面两种解法中，解法2简洁明快，扣人心弦，从中可以品味到整体思想的特点：
1. 从整体看问题，使问题易懂，变得简单化，明了化。
2. 从整体看问题的本质，使问题容易理会，轻松即可找到解题思路。
3. 从解题过程中来看，避开了蛮力的计算，繁杂的推导。
4. 使我们体会到“捷径”中的“捷”字，更轻松地前进。
我想，这就是整体思想的魅力之所在，真正体验到简单，快速，易懂的感觉。
整体思想证明“不存在”问题
例题2：用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数（各用一次）组成的所有九位自然数中，有多少个是质数？
分析：如果用数字组成数逐个判定是否为质数，也都有切实可行的算法，这样做下去原则上可行，但手工操作费力费时。所以我们转向用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数构成的九位数的整体性质，由于这九个数的数字之和为45，45被9整除，根据被9整除的判定法知，所构成的九位数都是9的倍数，因此均为合数，一个质数也没有。
例题3：41名运动员所穿的运动服号码是1，2，3，4~~~~40,41这41个自然数，问能否使这41名运动员站成一圈，使得任意相邻两个运动员的号码之和都是质数？为什么？
分析：该问题即为1，2，3，4~~~~~~40，41随意排成一圈，能否使得任意相邻两个数之和都是质数。
显然，如果一个一个地排，希望凑成任意相邻两数之和都是质数，实际上使不可取的，这使我们想到应从整体上考虑问题。如果能摆成题设条件的排法，看所给的41个数整体应具有什么性质，再分析题设条件是否满足这个性质，如果不满足，当然就排不出来
假设这41名运动员排成一圈后，可使任意相邻两名运动员号码之和均为质数，因为最小为1+2=3，不可能等于偶质数2，所以这些质数都应是奇数。因此，相邻两个位一奇一偶，所以奇数和偶数的个数相同，而1到41中的奇数个数不等于偶数个数，这与奇数个数等于偶数个数相互矛盾，所以这41名运动员不可能排成一圈，满足题意。
例题4：把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
分析：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数。但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在球上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数。这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现。
例题5：如表（a）所示的3 3方格中填好了数，对表（a）中相邻的两格（两个有公共边的小格）中的两个数同时加上一个数，称为一次操作。问能否经过若干次操作，使表（a）边成表（b）？
0 3 2
6 7 0
4 9 5
1 0 1
0 0 0
1 0 1
表（a）
表（b）
分析：表(a)变为表（b），即变为4个角为1，其余嗾使0的状态。如果一次一次地试验，很繁杂，并且不能穷尽，我们不妨整体来看一下，表中的数究竟保持什么不变的性质？只要把这种隐藏在后面的不变性搞清楚了，问题就会迎刃而解。
因为相邻的两个格中加上相同的数，所以相邻的两个格内的数前后的差不变。所以如果设表中的数分别为a,b,c,d,e,f,g,h,i
a b c
d e f
g h i
所以（a+c+e+g+i）-(b+d+f+h)的值保持不变，表（a）中，值为（0+7+2+4+5）-（3+6+9+0）=0，而表（b）中为4，所以表（a）不可变为表（b）。
总结：整体思想在解“不存在”问题具有突出作用，它的基本方法是先假设原命题成立，然后从整体分析成立时应该具有某个性质，然而题设条件中不具备这些性质，所以矛盾，证明原命题不成立。整体思想方法抓住命题的性质可以轻易解出难解，一般做法无法下手的题目。
通过整体思想方法抓住命题性质就是解题的重要过程。
1. 我们可以从结论出发找性质。
2. 我们可以从题设的变化中寻找不变得因素，通过操作变换下的不变性或不变量解题。
数学家M.阿蒂亚告诉我们：“实际上，数学是一门艺术，是一门通过发展概念和技巧以使人们更为轻松地前进，从而避免蛮力计算的艺术.”适当掌握，应用整体思想方法就可轻松求解，这就是数学的魅力之一。

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