资源简介

1．功与功率
1．理解功的概念，知道W＝Fl cos α的适用范围，会用公式进行计算。
2．理解正、负功的概念，会根据公式计算多个力所做的总功。
3．理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝进行有关的计算。
　功
1．定义：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．公式：W＝Fl cos α。
3．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。
4．功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。
5．功的单位物理意义：1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m位移的过程中所做的功，即1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
【问题】
(1)小车(包括人)受到几个力作用？
(2)小车受到的力都对小车做功吗？
(3)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？
(4)拉力F一般分解为哪两个分力？F做的功与哪个分力做的功相同？
提示：(1)小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力。
(2)重力和支持力不做功，拉力和摩擦力做功。
(3)不等于，因为W＝Fl cos α。
(4)拉力可以分解为沿水平方向和竖直方向的两个分力，F做的功与水平方向分力做的功相同。
1．力对物体是否做功，决定于两个因素
(1)做功的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
注：力对物体做功与其他因素，诸如物体运动的快慢、运动的性质、接触面是否光滑、物体质量的大小等均无关系。
2．对公式W＝Fl cos α的理解
(1)某一恒力F对物体做的功，只与F、l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关。
(2)功是标量，没有方向，但是有正负。
(3)公式W＝Fl cos α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用。
(4)功是过程量，描述了力的作用效果在空间上的累积。
【典例1】　如图所示，力F大小相等，物体运动的位移l也相同，下列哪种情况F做功最少(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
D　[A图中，拉力做功为：W＝Fl，B图中，拉力做功为：W＝Fl cos 30°＝Fl，C图中，拉力做功为：W＝Fl cos 30°＝Fl，D图中，拉力做功为：W＝Fl cos 60°＝Fl，故D图中拉力F做功最少，故选项D正确。]
[跟进训练]
1．(2022·山东济宁一中月考)下列各图所描述的情境中，人没有对相应物体做功的是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
A　[根据功的定义可知，判断力对物体是否做功，关键是看力及力的方向上物体的位移两个因素，上述情境中，人推墙没推动，有力的作用但没有位移，人没有对墙做功，选项A符合题意；运动员把足球踢出，有力的作用且在力的方向上有位移，所以运动员对足球做了功，选项B不符合题意；人拉箱子前进，人对箱子做了功，选项C不符合题意；人通过滑轮提升重物，拉力对重物做了功，选项D不符合题意。]
　正功和负功
1．力对物体做正功和负功的条件
由W＝Fl cos α可知：
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功；
(2)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；
(3)当α＝时，W＝0，力对物体不做功。
2．总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做功的代数和。也就是这几个力的合力对物体所做的功。
质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，如图所示，物体始终相对斜面静止。
【问题】
(1)物体受哪些力的作用，试作出物体的受力分析图。
(2)在物体所受的各力中，哪些力做正功？哪些力做负功？
(3)物体所受各力所做的总功是多少？
提示：(1)物体受重力、支持力、摩擦力，受力分析如图所示。
(2)物体所受力中支持力FN做正功，重力不做功，摩擦力Ff做负功。
(3)物体各力所做总功为零。
1．根据力F与位移l的夹角α进行判断
0≤α＜时，力对物体做正功；α＝时，力对物体不做功；＜α≤π时，力对物体做负功。此方法一般用于研究物体做直线运动的情况，如图所示。
2．根据力F与速度v的夹角α进行判断
0≤α＜时，力对物体做正功；α＝时，力对物体不做功；＜α≤π时，力对物体做负功。此方法一般用于研究物体做曲线运动的情况。如图所示，人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由图示中的a点运动到b点的过程中，万有引力做负功。因为万有引力的方向和速度方向的夹角始终大于90°。
3．总功的计算
(1)先由W＝Fl cos α计算各个力对物体所做的功W1，W2，W3，…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合l cos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
　功的正负的判断
【典例2】　(多选)小狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速率行驶，如图所示为雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)，关于各力做功情况，下列说法正确的是(　　)
A．牵引力F做正功
B．摩擦力Ff做负功
C．F与Ff的合力做正功
D．F与Ff的合力不做功
ABD　[牵引力做正功，选项A正确；由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，摩擦力做负功，选项B正确；雪橇做匀速圆周运动，牵引力F及摩擦力Ff的合力提供向心力，指向圆心，与速度方向总垂直，所以不做功，选项C错误，D正确。]
　总功的计算
【典例3】　如图所示，一质量为m的物体在与水平方向成α角斜向上的拉力F作用下，沿动摩擦因数为μ的水平地面向右移动位移l，重力加速度为g，则：
(1)物体受到的各个力做的功是多少？各个力对物体所做功的代数和是多少？
(2)物体所受的合力是多少？合力所做的功是多少？
[思路点拨]　解此题注意以下两点：
(1)物体运动过程中所受拉力F、重力、支持力、摩擦力皆为恒力。
(2)重力、支持力的方向与物体位移方向垂直，不做功。
[解析]　(1)因重力、支持力的方向与位移方向夹角为90°，故WG＝0，WN＝0，拉力F所做的功W1＝Fl cos α
滑动摩擦力的大小f＝μN，又N＋F sin α＝mg
故滑动摩擦力所做的功
W2＝－μNl＝μ(F sin α－mg)l
各个力对物体所做功的代数和
W＝W1＋W2＝(F cos α＋μF sin α－μmg)l。
(2)根据正交分解法求得物体所受的合力F合＝F cos α－f
则F合＝F cos α＋μF sin α－μmg，合力方向向右，与位移同向。
合力所做的功W′＝F合l＝(F cos α＋μF sin α－μmg)l。
[答案]　见解析
　计算功的三点技巧
(1)计算功时，一定要明确哪个力对物体做了功。
(2)做功的数值与物体的运动状态是匀速还是变速无关，只取决于F、l及两者方向的夹角α。
(3)计算总功两种方法的选取：①物体处于平衡状态，或某一方向平衡，或做匀变速直线运动时，用W总＝F合l cos α更简捷。②物体运动过程中受力变化或有些力不做功，应选取W总＝W1＋W2＋…＋Wn。
[跟进训练]
2．如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，则下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做负功
B　[重力与位移同向，做正功，拉力与位移反向，做负功，由于物体向下做减速运动，所以物体所受合力向上，与位移反向，做负功，故B正确。]
3．如图所示，质量m＝50 kg 的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1。则运动员滑至坡底的过程中：(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计)
(1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
(2)各力对运动员做的总功是多少？
[解析]　(1)重力做的功为WG＝mg sin 37°·＝1.5×104 J。
(2)各分力对运动员做的总功与合力对运动员做的功相同，运动员所受合力为：
F合＝mg sin 37°－μmg cos 37°＝260 N
合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移
l＝＝50 m
合力做的功W合＝F合·l＝260×50 J＝1.3×104 J。
[答案]　(1)1.5×104 J　(2)1.3×104 J
　功率
1．定义：力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值。
2．定义式：P＝。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示。
4．意义：功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。
5．输入功率与输出功率。
(1)输入功率：机器工作时，外界对机器做功的功率。
(2)输出功率：机器对外界做功的功率。
(3)机械效率：η＝。
6．额定功率与实际功率。
(1)额定功率：机器长时间正常工作允许的最大输出功率。
(2)实际功率：机器实际工作时的输出功率。
(3)关系：实际功率往往小于额定功率。
7．功率与速度。
(1)关系：当一个力与物体运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与物体速度的乘积。
(2)关系式：P＝Fv。
①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的平均功率。
②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。
(3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
如图是正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船，将质量为m的坦克车匀速吊起，坦克车在t时间内匀速上升h高度。(重力加速度为g)
【问题】
(1)怎样计算吊车t时间内的平均功率？
(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h时，该过程中吊车的平均功率是多少？
(3)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升，则t时刻瞬时功率是多少？
提示：(1)坦克车匀速上升，根据平衡条件有吊车对坦克车的拉力F＝mg，则吊车对坦克车做的功W＝Fh＝mgh。功率P＝＝。
(2)由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，该过程中吊车的平均功率为＝＝＝。
(3)瞬时功率为P瞬＝Fv＝m(g＋a)at。
1．平均功率的计算
(1)利用＝。
(2)利用＝Fcos α，其中F为恒力，为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为瞬时速度。
(2)若vF为物体的速度在力F方向上的分速度，则P＝FvF。
(3)若Fv为物体所受外力在速度v方向上的分力，则P＝Fvv。
3．平均功率与瞬时功率的区别与联系
平均功率表示物体在某段时间内做功的平均快慢，瞬时功率表示力在某时刻做功的快慢。所以平均功率大，物体的瞬时功率不一定大。
【典例4】　质量为m＝0.5 kg的物体自由下落，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)从物体开始下落，前3 s内重力对物体做功的平均功率P；
(2)第3 s末重力对物体做功的瞬时功率P′。
[解析]　(1)由h＝gt2可得h＝×10×32 m＝45 m
重力所做的功为W＝mgh＝225 J
3 s内重力做功的平均功率为
P＝＝ W＝75 W。
(2)3 s末物体的速度为
v＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
重力在第3 s末对物体做功的瞬时功率为
P′＝mgv＝150 W。
[答案]　(1)75 W　(2)150 W
　计算功率应该注意的问题
(1)明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。
(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。
[跟进训练]
4．如图所示，质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度水平抛出，经过2 s落地。g取10 m/s2。关于重力做功的功率，下列说法正确的是(　　)
A．下落过程中重力的平均功率是400 W
B．下落过程中重力的平均功率是100 W
C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W
D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W
C　[物体2 s下落的高度为h＝gt2＝20 m，落地的竖直分速度为vy＝gt＝20 m/s，所以落到地面前的瞬间重力的瞬时功率是P＝mgvy＝400 W，下落过程中重力的平均功率是＝＝200 W，选项C正确。]
1．关于功的概念，以下说法正确的是(　　)
A．力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B．功有正、负，所以功也有方向
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有发生位移
D．一个恒力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移的大小及力和位移方向间夹角的余弦三者的乘积
D　[功是物体之间能量转化的量度，它是标量，故A错误；功有正、负之分，但功的正负不是表示方向，是表示力对物体的做功效果，故B错误；当力的方向和物体位移的方向垂直时，力对物体不做功，所以物体的位移并不一定是零，故C错误；根据功的定义可知，一个恒力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移的大小及力和位移间夹角的余弦三者的乘积，故D正确。]
2．(2022·福建厦门一中高一检测)图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼，图乙为一男士站立在履带式自动扶梯上匀速上楼。下列关于两人受到的力以及做功情况正确的是(　　)
A．甲图中支持力对人不做功
B．甲图中摩擦力对人做负功
C．乙图中支持力对人不做功
D．两人受到电梯的作用力的方向不相同
C　[对题图甲受力分析如图1所示，可知受重力和支持力作用，不受摩擦力作用，支持力与运动方向成锐角，根据做功的定义W＝Fl cos θ，支持力对人做正功，A、B错误；
对题图乙受力分析如图2所示，支持力与运动方向垂直，支持力对人不做功，C正确；两人均匀速运动，处于平衡状态，两人受到电梯的作用力均与重力平衡，即两人受到电梯的作用力均竖直向上，D错误。]
3．如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
[解析]　(1)木块所受的合外力
F合＝mg sin θ－μmg cos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木块的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移s＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为W＝mgs sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J。
(2)重力在前2 s内的平均功率为＝＝ W＝24 W。
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率P＝mg sin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
[答案]　(1)48 J　(2)24 W　(3)48 W
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．做功的两个必要因素是什么？
提示：力和在力的方向上的位移。
2．功的定义式是什么？如何计算总功？
提示：定义式W＝Fl cos α，总功的计算有两种方式
3．功率的计算有哪几种方式？
提示：平均功率P＝，瞬时功率P＝Fv cos α。
课时分层作业(十三)　功与功率
◎题组一　功的分析与计算
1．下列说法中正确的是(　　)
A．－10 J的功小于＋5 J的功
B．功是矢量，正、负表示方向
C．一个力对物体做了负功，但这个力不一定阻碍物体的运动
D．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
D　[功是标量，功的正负不表示方向，表示做功的效果，即力对物体做功还是物体克服力做功，A、B错误，D正确；一个力对物体做了负功，说明该力与位移方向相反或夹角为钝角，这个力一定阻碍物体的运动，C错误。]
2．(2022·西安四校高一期末)如图所示，人站在电动扶梯的水平台阶上，假若人与扶梯一起匀加速向上运动，在这个过程中人的脚所受的静摩擦力(　　)
A．等于零，对人不做功
B．水平向左，对人不做功
C．水平向右，对人做正功
D．沿斜面向上，对人做正功
C　[人与扶梯一起匀加速斜向上运动，人的脚所受的静摩擦力水平向右，与位移方向成锐角，静摩擦力做正功，故C正确。]
3．(2022·江苏淮安高一检测)如图所示，质量为m的小物体，从高为h、倾角为α的固定粗糙斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体从斜面顶端滑至斜面底端的过程中，摩擦力所做的功为(　　)
A．－μmgh·tan α　　　 B．－μmgh·cos α
C．－ D．－
C　[根据功的定义，摩擦力所做的功W＝－fs＝－μmg cos α·＝－，故A、B、D错误，C正确。]
4．(多选)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，受到与竖直方向成θ角的斜向下的恒定拉力F的作用，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平甲板之间的摩擦阻力大小恒为Ff，重力加速度为g，则在此过程中(　　)
A．摩擦力做的功为－Ffs
B．力F做的功为Fs cos θ
C．重力做的功为mgs
D．力F做的功为Fs sin θ
AD　[摩擦力大小为Ff，则摩擦力所做的功WFf＝－Ffs，选项A正确；由题意可知，拉力与位移方向的夹角为90°－θ，则力F做的功WF＝Fs·cos (90°－θ)＝Fs sin θ，选项B错误，D正确；由于竖直方向上没有位移，故重力不做功，选项C错误。]
◎题组二　功率的分析与计算
5．下列关于功率的计算式P＝和P＝Fv说法正确的是(　　)
A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
C．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率
D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
D　[公式P＝中，做功W越大，但是时间t不知道，所以功率并不一定大，A错误；公式P＝是求一段时间的平均功率，B错误；P＝Fv中，当速度是瞬时速度时，求的是瞬时功率，当速度为平均速度时，求的就是平均功率，C错误；由P＝Fv可知，当P一定时，F与v成反比，D正确；故选D。]
6．某力做的功随时间变化的关系如图所示，该力做功的功率为(　　)
A．10 W B．20 W
C．30 W D．40 W
B　[由功率的计算公式P＝，可得W＝Pt，由图可知，W与t的数值关系式为W＝20t，即P＝20 W，故选项B正确。]
7．如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，重力加速度为g，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为(　　)
A．mg B．mg
C．mg D．mg
B　[小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as得，小孩滑行距离s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgv sin 30°＝mg，B正确。]
8．(2022·济南高一检测)质量为50 kg的同学做仰卧起坐运动。若该同学上半身的质量约为全身质量的，她在1 min内做了50个仰卧起坐，每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，g取10 m/s2，则她1 min内克服重力做的功W和相应的功率P约为(　　)
A．W＝4 500 J，P＝75 W
B．W＝4 500 J，P＝7.5 W
C．W＝3 600 J，P＝60 W
D．W＝3 600 J，P＝6 W
A　[每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，则她每一次克服重力做的功W＝mgh＝×50×10×0.3 J＝90 J，1 min内克服重力所做的功W总＝50W＝50×90 J＝4 500 J，相应的功率约为P＝＝ W＝75 W，故A正确，B、C、D错误。]
9．在光滑水平面上，t＝0时开始用水平恒力F拉一物体，物体从静止开始运动。在0～t0 时间内F做功为W1，在t0～2t0时间内F做功为W2，则W2∶W1为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
C　[物体受恒力作用由静止开始运动，故做初速度为零的匀加速直线运动，则根据匀变速运动规律可知，0～t0时间内的位移x1与t0～2t0时间内位移x2的比值为x1∶x2＝1∶3，根据公式可知W2∶W1＝Fx2∶Fx1＝3，故选项C正确。]
10．(多选)(2022·江西省靖安中学高一检测)一质量为1 kg的物体静止在水平地面上，受到大小为2 N的水平拉力作用后做匀加速直线运动，经5 s后撤去水平拉力，物体共运动10 s停止，已知g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．物体运动过程中受到的摩擦力大小为0.5 N
B．4 s末拉力F的功率为8 W
C．物体运动过程中拉力做功为25 J
D．物体运动过程中克服摩擦力做功为12.5 J
BC　[0到5 s过程中，F－f＝ma，v＝at1，5 s到10 s 过程中，f＝ma′，0＝v－a′·t2，解得f＝1 N，a＝a′＝1 m/s2，v＝5 m/s，故A错误；4 s末的速度为v4＝at4＝4 m/s，4 s末的功率为P＝Fv4＝8 W，故B正确；拉力做功为WF＝＝25 J，故C正确；运动过程中克服摩擦力做功为Wf＝＝25 J，故D错误。]
11．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为m0的汽车，车厢中有一质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．人对车的推力F做的功为FL
B．车对人做的功为maL
C．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
D．车对人的作用力大小为ma
ABC　[人对车的推力为F，在力F方向上车行驶了L，则推力F做的功为W＝FL，故A正确；人受到车对人的推力、摩擦力、支持力，支持力不做功，所以摩擦力与推力做的功即为车对人做的功，由牛顿第二定律可知二力的合力向左，大小为ma，人向左运动了L，故车对人做的功为W1＝maL，故B正确；竖直方向车对人的作用力大小为mg，则车对人的作用力F′＝，人在水平方向受到F的反作用力和车对人向左的摩擦力，则Ff－F＝ma，可得Ff＝ma＋F，则车对人的摩擦力做的功为W′＝(F＋ma)L，故C正确，D错误。]
12．(2022·江苏省太湖高级中学高一检测)如图所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动。已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，g＝10 m/s2(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从运动开始，物体前进12 m过程中拉力对物体做功的平均功率是多大？
[解析]　(1)对物体受力分析得
FN＝mg－F sin 37°＝40 N
由牛顿第二定律得物体的加速度
a＝＝6 m/s2
第2 s末，物体的速度v＝at＝12 m/s
拉力F对物体做功的功率P＝Fv cos 37°＝960 W。
(2)从运动开始，前进12 m用时
t′＝＝2 s
该过程中拉力对物体做功
W＝Fx cos 37°＝960 J
拉力对物体做功的平均功率P′＝＝480 W。
[答案]　(1)960 W　(2)480 W
13．(多选)如图所示，质量为m＝2 kg的小球，以v0＝15 m/s的初速度，朝着一个倾角为θ＝37°的斜面平抛出去，它落到斜面上时的速度方向刚好和斜面垂直，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
A．该小球落到斜面上的瞬间重力对小球做功的瞬时功率为500 W
B．该小球落到斜面上的瞬间重力对小球做功的瞬时功率为400 W
C．整个平抛运动过程中重力对小球做功的平均功率为200 W
D．整个平抛运动过程中重力对小球做功的平均功率为400 W
BC　[小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，故小球击中斜面瞬间，速度方向与竖直方向的夹角为θ，tan θ＝，解得vy＝20 m/s，此时重力做功的功率为P＝mgvy＝2×10×20 W＝400 W，故B正确，A错误；平抛运动的时间为t＝＝2 s，下降的高度为h＝gt2＝20 m，重力做功的平均功率P＝＝200 W，故C正确，D错误。]2．重力势能
1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算。
2．理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关。
3．知道重力势能的相对性和系统性。
4．理解弹性势能的概念，知道弹性势能具有相对性。
　重力做的功
1．表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，式中Δh指初位置与末位置的高度差。h1、h2分别指初位置、末位置的高度。
2．正负：物体下降时重力做正功，物体被举高时重力做负功。
3．特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
【问题】
(1)根据功的公式求出甲、乙两种情况下重力做的功。
(2)求出丙中重力做的功。
(3)重力做功有什么特点？
提示：(1)甲中WG＝mgh＝mgh1－mgh2，乙中WG′＝mgl cos θ＝mgh＝mgh1－mgh2。
(2)把整个路径AB分成许多很短的间隔AA1、A1A2…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看作一段倾斜的直线。设每段小斜线的高度分别为Δh1、Δh2…，则物体通过每小段斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2…，则物体通过整个路径时重力做的功WG″＝mgΔh1＋mgΔh2…＝mg(Δh1＋Δh2…)＝mgh＝mgh1－mgh2。
(3)物体运动时，重力对物体做的功只跟物体的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1．重力做功大小只与重力和物体高度变化有关，与受其他力及运动状态均无关。
2．物体下降时重力做正功，物体上升时重力做负功。
3．物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
【典例1】　如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达的D点时，速度为0。在这个过程中，重力做功为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C．mgh D．0
B　[根据重力做功的公式，W＝mg(h1－h2)＝。故B正确。]
[跟进训练]
1．如图所示，质量关系为m1＞m2＞m3的三个小球分别沿三条不同的轨道1、2、3由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、3光滑，轨道2粗糙，重力对小球做的功分别为W1、W2、W3，则下列判断正确的是(　　)
A．W1＞W2＝W3 B．W1＝W3＞W2
C．W1＝W2＝W3 D．W1＞W2＞W3
D　[重力做功只与物体重力和初、末位置的高度差有关，由于三个小球下滑的高度均为h，质量关系为m1＞m2＞m3，故W1＞W2＞W3，D正确。]
　重力势能　重力势能的相对性
1．意义：mgh的特殊意义在于它一方面与重力做的功密切相关，另一方面它随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，我们把mgh叫作重力势能。
2．表达式：Ep＝mgh。
3．重力势能是标量(选填“矢量”或“标量”)。
4．单位：焦耳，符号 J。1 J＝1 kg·m·s-2·m＝1 N·m。
5．重力做功与重力势能的关系。
(1)WG＝Ep1－Ep2(其中Ep1表示物体在初位置的重力势能，Ep2表示物体在末位置的重力势能)。
(2)两种情况：
①物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG＞0，Ep1＞Ep2。
②物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG＜0，Ep1＜Ep2。
6．重力势能的相对性。
(1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，在参考平面上，物体的重力势能取作 0。
(2)相对性：选择不同的参考平面，物体重力势能的数值不同(选填“相同”或“不同”)。
(3)正负的含义：参考平面上方物体的重力势能是正值，参考平面下方物体的重力势能是负值。
如图所示，幼儿园小朋友们正在兴高采烈地玩滑梯，请思考以下问题：
【问题】
(1)若选地面为参考平面，小朋友滑落到地面上时的重力势能一定为零吗？
(2)若选其他高度为参考平面，小朋友滑落到地面上时的重力势能一定为零吗？
(3)小朋友从最高点滑落到地面过程中重力势能是增加还是减少？
提示：(1)若选地面为参考平面，则小朋友滑落到地面上时的重力势能就一定为零。
(2)若选其他高度为参考平面，则小朋友滑落到地面上时的重力势能就一定不为零。
(3)根据重力势能的表达式知，小朋友沿滑梯下滑时，高度变低，重力做正功，重力势能减少。
1．对重力势能的理解
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点为参考平面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取及过程无关，它的变化量是绝对的。
2．重力做功与重力势能改变的关系
(1)表达式WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)重力做多少正功，重力势能减小多少；克服重力做多少功，重力势能增加多少。
【典例2】　如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是(　　)
A．mgh，减少mg(H－h)
B．mgh，增加mg(H＋h)
C．－mgh，增加mg(H－h)
D．－mgh，减少mg(H＋h)
D　[以桌面为参考平面，落地时小球在参考平面的下方，则重力势能为－mgh，初状态重力势能为mgH，即重力势能的变化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力势能减少了mg(H＋h)，D正确。]
[母题变式]
上例中，若选地面为参考平面，结果如何？
提示：落地时重力势能为0，重力势能的变化为减少mg(H＋h)。
[跟进训练]
2．如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h。(重力加速度为g)
(1)足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球克服重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？
(2)足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能减少了多少？
(3)足球由位置1运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能变化了多少？
[解析]　(1)足球由位置1运动到位置2时，重力所做的功为－mgh，足球克服重力所做的功为mgh，足球的重力势能增加了mgh。
(2)足球由位置2运动到位置3时，重力所做的功为mgh，足球的重力势能减少了mgh。
(3)足球由位置1运动到位置3时，重力做功为零，足球的重力势能变化为零。
[答案]　见解析
　弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为零；弹簧被压缩或被拉长时，就具有了弹性势能。
3．弹簧弹力做功与弹性势能的变化：
弹簧弹力做正功，弹簧的弹性势能减小；弹簧弹力做负功，弹簧的弹性势能增大。
4．弹性势能大小的相关因素：
(1)弹簧的劲度系数。
(2)弹簧的形变量。
蹦蹦杆是最近两年逐渐流行的运动器具，其主要结构是在一硬直杆上套一劲度系数较大的弹簧，弹簧的下端与直杆的下端固定，而弹簧的上端固定一踩踏板。如图所示，小明玩蹦蹦杆，不停地向上跳起和下落。
【问题】
(1)小明下落时将弹簧压缩，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？
(2)小明向上弹起，弹力做什么功？弹性势能怎样变化？
(3)弹簧弹力做功与弹性势能有何关系？
提示：(1)做负功，弹性势能增加。
(2)做正功，弹性势能减少。
(3)弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。
1．弹性势能的产生原因
2．弹性势能的影响因素
注：同一弹簧无论压缩还是伸长，形变量相同，弹性势能相同。
3．弹性势能与弹力做功的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。
【典例3】　(多选)将同一弹簧拉长或压缩相同长度，弹力大小变化相同，下列关于弹力做功和弹性势能变化的说法，正确的是(　　)
A．拉长时弹力做正功，弹性势能增加；压缩时弹力做负功，弹性势能减小
B．拉长和压缩时弹性势能均增加
C．对同一弹簧，从原长拉长或压缩相同长度时，弹性势能的改变量相同
D．对同一弹簧，形变量相同时，弹性势能相同
BCD　[拉长时弹力做负功，弹性势能增加；压缩时弹力也做负功，弹性势能同样增加，故A错误，B正确；根据影响弹性势能的因素，可知从原长拉长或压缩相同长度时，弹性势能的改变量相同，故C正确；对同一弹簧，形变量相同时，弹性势能也相同，故D正确。]
　理解弹性势能时应注意的三个问题
(1)弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或压缩的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。
(2)一般弹簧处于原长时，弹性势能为零，弹簧被拉长或压缩后弹性势能均为正值。
(3)弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化量时不必考虑零势能点的位置。
[跟进训练]
3．(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中(　　)
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧，重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧，重力做功不变，弹力不做功
BC　[用弹簧连接重物向下摆动时，重物的运动轨迹不是圆弧，弹簧要伸长，弹力做负功，弹簧的弹性势能增加，重力做正功，A错误，B正确；用不可伸长的细绳连接重物向下摆动时，重力做正功，由于细绳不可伸长，所以重物下落高度减少，则重力做的功减小，细绳的拉力的方向始终与速度方向垂直，所以弹力不做功，C正确，D错误。]
1．关于重力势能，以下说法中正确的是(　　)
A．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B．重力势能为零的物体，不可能对别的物体做功
C．物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D．只要重力做功，重力势能一定变化
D　[选取不同的参考平面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，A错误；重力势能为零只是表明物体处于参考平面上，它对其他物体同样可以做功，B错误；物体若在竖直方向做匀速直线运动，则物体的高度变化，重力势能也会发生变化，C错误；重力做功是重力势能变化的量度，故若重力做功，重力势能一定发生变化，故D正确。]
2．某游客领着孩子爬山时，孩子不小心将手中质量为m的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．从A到B的曲线轨道长度不知道，无法求出此过程中重力做的功
B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功
C．从A到B重力势能变化了mg(H＋h)
D．从A到B重力做功mgH
D　[重力做功与物体的运动路径无关，只与初、末状态物体的高度差有关。从A到B的高度差是H，故从A到B重力做功mgH，重力势能减少了mgH，D正确。]
3．(多选)如图所示，轻质弹簧拴着小球放在光滑水平面上，小球在O点时弹簧的长度为原长。现将小球拉至A点后释放，则小球在A、B间往复运动，下列说法正确的是(　　)
A．从B到O，小球的速度不断减小
B．在O处弹簧的弹性势能最小
C．从B到O，小球的速度不断增大
D．在B处弹簧的弹性势能最小
BC　[弹簧的弹性势能与它的形变量有关，小球在O点时弹簧的长度为原长，弹性势能最小，故B正确，D错误；从B到O，弹力方向向右，小球向右做加速度逐渐减小的加速运动，速度不断增大，故A错误，C正确。]
4．一只100 g的球从1.8 m的高度处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．球的重力势能一定减少0.55 J
D．球的重力势能一定增加1.25 J
C　[整个过程重力对球做正功，其大小为W＝mgΔh＝h1－h2)＝0.55 J，A、B错误；重力做正功，重力势能减少，且重力做多少正功，重力势能就减少多少，因此球的重力势能减少了0.55 J，C正确，D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．重力做功有什么特点？
提示：与路径无关，取决于两点的高度差。
2．重力势能有哪些特点？
提示：标量性、相对性、绝对性、系统性。
3．重力做功与重力势能变化有什么关系？
提示：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
估算建造明长城人工墙体所消耗的能量
长城是世界上伟大的军事防御工程，也是古代中国建筑工程的奇迹。从战国时期到明朝，长城的修建历时2 000余年。历经战争、自然灾害等因素的摧残，长城大部分已经被破坏，现存的长城遗迹主要为明朝所建的明长城。2009年结束的明长城资源调查工作所获数据显示，河北、北京、天津境内现存明长城广泛分布于三省(直辖市)境内的66个县(市、区)。其中构成明长城主干的墙体主线东起秦皇岛市山海关区，西行穿越38个县(市、区)到达晋、冀交界的太行山东麓。明长城总长度为8 851.8 km，其中人工墙体为6 259.6 km，天然段2 232.5 km，壕堑359.7 km。
　若把长城的城墙、烽火台、城台等看成是等高的，取长城的平均高度为7.8 m，平均宽度为6.5 m。制造长城的材料有青砖、石块、土坯等，我们可以把长城看成是密度为2 500 kg/m3的巨大石块。你能根据以上数据估算建造明长城人工墙体所消耗的能量吗？
提示：人工墙体在建造过程中所消耗的能量等于墙体重力势能的增加，即ΔE＝mg·＝6 259.6×103×7.8×6.5×2 500×10× J＝3.094×1013 J。
课时分层作业(十四)　重力势能
◎题组一　重力做功与重力势能
1．如图所示，A点距地面高为h，B点在地面上，一物体沿两条不同的路径ACB和ADB由A点运动到B点，则(　　)
A．沿路径ACB重力做的功多一些
B．沿路径ADB重力做的功多一些
C．沿路径ACB和路径ADB重力做的功一样多
D．无法判断沿哪条路径重力做的功多一些
C　[重力做的功与运动路径无关，只与初位置和末位置及重力的大小有关。选项C正确。]
2．如图所示是跳高运动员正在飞越横杆时的情景。对运动员从起跳到图示位置的过程，下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，重力势能增加
B．重力做正功，重力势能减少
C．重力做负功，重力势能增加
D．重力做负功，重力势能减少
C　[运动员从起跳到飞越横杆的过程中，重心升高，则重力做负功，重力势能增加。故选C。]
3．如图所示，静止的物体沿不同的光滑轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为H，桌面距地面高为h，物体质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　)
A．物体沿竖直轨道下滑到桌面上，重力势能减少最少
B．物体沿曲线轨道下滑到桌面上，重力势能减少最多
C．以桌面为参考平面，物体重力势能减少mgH
D．以地面为参考平面，物体重力势能减少mg(H＋h)
C　[重力做功与路径无关，物体滑到桌面上，重力做功为mgH，物体的重力势能减少mgH，A、B、D错误，C正确。]
4．(2022·浙江丽水四校期中联考)每年春节前浙江农村都有打年糕的习俗，借此来寓意“年年发财、步步高升”。如图所示，打年糕时，一人将石杵一起一落挥动，另一人在石杵挥动的间隙迅速翻动米粉团，直到米粉团柔软而有弹性。已知石杵质量为20 kg，每分钟上下挥动20下，每次重心上升的高度约为90 cm，g取10 m/s2，则人挥动石杵1 min做的功约为(　　)
A．60 J　　　　　　　　 B．180 J
C．3 600 J D．10 800 J
C　[挥动石杵一次所做的功W＝mgh＝20×10×0.9 J＝180 J，1 min内做的总功W总＝nW＝20×180 J＝3 600 J，故C正确。]
5．起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．重力做正功，重力势能减少5.0×103 J
B．重力做正功，重力势能增加5.0×103 J
C．重力做负功，重力势能减少5.0×103 J
D．重力做负功，重力势能增加5.0×103 J
D　[起重机将质量为50 kg的物体从地面提升到10 m高处，重力对物体做功W＝－mgh＝－50×10×10 J＝－5.0×103 J，克服重力对物体做多少功，重力势能增加多少，则重力势能增加5.0×103 J, 故D正确。]
◎题组二　弹性势能
6．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
C　[当弹簧变长时，它的弹性势能不一定增大，若弹簧处于压缩状态时，弹簧的弹性势能减小，选项A错误；若处于压缩状态，弹簧变短时，弹簧的弹性势能增大，选项B错误；在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，选项C正确；弹簧的弹性势能与弹簧的形变量有关，弹簧在拉伸时的弹性势能不一定大于压缩时的弹性势能，选项D错误。]
7．早期的弹弓，一般用“Y”形的树枝制作，如图所示。在树枝的两头分别系上两根相同的橡皮筋，两皮筋之间用一包裹弹丸的皮块连接。将弹丸包裹在皮块间，水平向后拉到某一位置后释放，弹丸被水平射出。下列说法正确的是(　　)
A．橡皮筋被拉伸的过程中，橡皮筋的弹力做负功
B．橡皮筋被拉伸的过程中，橡皮筋的弹力做正功
C．弹丸被射出的过程中，橡皮筋的弹性势能不变
D．弹丸被射出的过程中，皮块对弹丸做负功
A　[在橡皮筋拉伸的过程中，橡皮筋的弹力与橡皮筋的位移方向相反，则橡皮筋的弹力做负功，故A正确，B错误；弹丸被射出的过程中，橡皮筋的形变量减小，则弹性势能减小，故C错误；弹丸被射出的过程中，皮块对弹丸的力与弹丸的位移方向相同，则皮块对弹丸做正功，故D错误。]
8．(2022·江苏苏州高新区第一中学高一检测)如图所示，质量相等的两木块中间连有一竖直轻弹簧，木块A静止在弹簧上面，设弹簧的弹性势能为Ep1。现用力缓慢向上提A，直到B恰好离开地面；B刚要离开地面时，设弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2的大小关系及弹性势能的变化ΔEp，下列说法中正确的是(　　)
A．Ep1＝Ep2 B．Ep1>Ep2
C．ΔEp>0 D．ΔEp<0
A　[对于确定的弹簧，其弹性势能的大小只与形变量有关，设木块A静止时弹簧的形变量为x1，有kx1＝mg，设B刚要离开地面时弹簧的形变量为x2，有kx2＝mg，可知x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，A正确，B、C、D错误。]
9．(多选)如图甲为一种儿童玩具——不倒翁，其纵截面如图乙。底部是半球形，球心为O，顶点为P。“翁”静止时直立，用手推一下上部，“翁”倾斜，放手后来回摆动若干次后重新直立静止。下列判断正确的是(　　)
A．“翁”的重心位于O点
B．“翁”的重心位于O、P两点之间
C．摆动中“翁”从直立变倾斜过程，重力势能增加
D．摆动中“翁”从直立变倾斜过程，重力势能减少
BC　[假设“翁”的重心在O点，则倾斜后，支持力还是沿半径过球心，“翁”仍平衡，不会自动恢复直立，假设重心在O上方，“翁”倾斜后会倾倒，更不会自动直立，所以重心位于O、P连线上且在O点下方某处，故A错误，B正确；“翁”静止时重心位置最低，所以从直立变倾斜过程中，重心位置上升，重力做负功，重力势能增加，故C正确，D错误。]
10．物体从某高度处做自由落体运动，以地面为参考平面，下列所示图像中，能正确描述物体的重力势能与下落高度的关系的是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
B　[设物体开始下落时的重力势能为Ep0，物体下落高度h过程中重力势能减少量ΔEp＝mgh，故物体下落高度h时的重力势能Ep＝Ep0－ΔEp＝Ep0－mgh，即Ep-h图像为倾斜直线，B正确。]
11．起重机以的加速度将质量为m的物体沿竖直方向匀加速地提升高度h，则起重机钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做的功为多少？物体的重力势能变化了多少？
[解析]　由题意可知物体的加速度为a＝，方向竖直向上，物体上升的高度为h，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma，所以F＝mg＋ma＝mg；故拉力做的功为WF＝Fh＝mgh，重力做的功为WG＝－mgh，即物体克服重力做的功为mgh，物体的重力势能增加了mgh。
[答案]　mgh　mgh　增加了mgh
12．在离地面80 m处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面。求：
(1)在第2 s末小球的重力势能。
(2)在第3 s内重力所做的功和重力势能的变化。
[解析]　(1)以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球所处的高度为
h＝－gt2＝－×10×22 m＝－20 m
重力势能Ep＝mgh＝200×10-3×10×(－20) J＝－40 J
Ep<0，说明小球在参考平面的下方。
(2)在第3 s末小球所处的高度为
h′＝－gt′2＝－×10×32 m＝－45 m
第3 s内重力做的功为
W＝mg(h－h′)＝200×10-3×10×(－20＋45) J＝50 J
重力做正功，重力势能减少，则小球的重力势能减少了50 J。
[答案]　(1)－40 J　(2)50 J　小球的重力势能减少了50 J
13．如图所示，一根绳的两端分别固定在两座猴山的A、B处，A、B两点水平距离为16 m，竖直距离为 2 m，A、B间绳长为20 m。质量为10 kg的猴子抓住套在绳上的滑环从A处滑到B处。以A点所在水平面为参考平面，猴子在滑行过程中重力势能最小值约为(绳处于拉直状态)(　　)
A．－1.2×103 J B．－7.5×102 J
C．－6.0×102 J D．－2.0×102 J
B　[重力势能最小的点为最低点，由于同一根绳上张力大小相等，此时，两侧绳子与水平方向夹角相同，记为θ，并设右边绳长为a，则左边绳长为(20－a)，由几何关系，有a cos θ＋(20－a)cos θ＝16 m，a sin θ－(20－a)sin θ＝2 m，联立解得a＝ m，sin θ＝，所以最低点距离参考平面高度差为a sin θ＝7 m，再加上猴子自身高度，重心距套环约为0.5 m，故猴子重力势能最小值约为Ep＝－mgh＝－750 J，B正确。]3．动能和动能定理
1．理解动能的概念，会利用动能定义式进行计算。
2．理解动能定理表述的物理意义，并能进行相关分析与计算。
3．能够推导动能定理，并能应用动能定理分析求解相关问题。
　动能的表达式
1．动能的定义：物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek表示。
2．动能的表达式：Ek＝mv2。
3．动能的单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。
1 kg·(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。
地球同步卫星是人为发射的一种卫星，其中一种的轨道平面与赤道平面成0°角，从地面上看，卫星保持不动，故也称静止卫星，从地球之外看，卫星与地球以相同的角速度转动，故称地球同步卫星。
【问题】
(1)在卫星的运动过程中，其速度是否变化？
(2)其动能是否变化？
(3)物体运动动能的大小与哪些因素有关？
提示：(1)速度变化，卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的。
(2)动能不变，运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。
(3)由动能的表达式Ek＝mv2可知，物体的动能与物体的质量和运动速度有关。
1．对动能概念的理解
(1)动能是状态量，动能公式中的速度v是瞬时速度。
(2)动能是标量，且动能恒为正值。
(3)动能也具有相对性，同一物体，对不同的参考系物体的速度有不同值，因而动能也有不同值。计算动能时一般都是以地面为参考系。
2．动能的变化量
(1)末状态的动能与初状态的动能之差，即ΔEk＝。
(2)动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。
【典例1】　(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是(　　)
A．凡是运动的物体都具有动能
B．动能不变的物体，一定处于平衡状态
C．重力势能可以为负值，动能不可以为负值
D．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
ACD　[由动能的定义可知，凡是运动的物体都具有动能，故A正确；物体做匀速圆周运动时，物体的动能不变，但是物体的合力提供向心力，即合力不为零，物体处于非平衡状态，故B错误；重力势能可以有负值，其正负取决于所选择的参考平面，而动能没有负值，故C正确；由于速度为矢量，当方向变化时，若其速度大小不变，则动能并不改变；而动能变化时，一定质量的物体速度大小一定变化，故D正确。]
[跟进训练]
1．(多选)(2022·湖北荆门高一检测)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，小球碰墙过程中速度的变化为Δv，动能的变化为ΔEk。则下列说法正确的是(　　)
A．Δv＝10 m/s　　　　　 B．Δv＝0
C．ΔEk＝1 J D．ΔEk＝0
AD　[速度是矢量，以弹回的速度方向为正方向，故Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s，而动能是标量，初末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，选项A、D正确。]
　动能定理
1．动能定理的内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．动能定理的表达式
(1)W＝。
(2)W＝Ek2－Ek1。
说明：式中W为合力做的功，它等于各力做功的代数和。
3．动能定理的适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动的情况。
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
【问题】
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？
(3)其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大。
(3)汽车动能的变化量等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和。
1．对动能定理的理解
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
2．对动能定理的两点说明
(1)动能定理的表达式是一个标量式，不能在某一方向上应用动能定理，动能没有负值，但动能的变化量ΔEk有正负之分。
(2)应用动能定理涉及“一个过程”和“两个状态”。所谓“一个过程”是指做功过程，应明确该过程合力所做的总功；“两个状态”是指初、末两个状态物体的动能。
【典例2】　(多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则(　　)
A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量
B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍
C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功
D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
AB　[第一过程速度增量为Δv1＝v，动能增量为ΔEk1＝mv2，合外力做功W1＝ΔEk1＝mv2；第二过程速度增量Δv2＝2v－v＝v，动能增量ΔEk2＝＝mv2＝3ΔEk1，合外力做功W2＝ΔEk2＝mv2＝3W1，故选项A、B正确，C、D错误。]
　对W＝ΔEk的认识
(1)动能定理说明，合力做功是物体动能变化的原因，物体动能的变化用合力的功来度量。
(2)式中W＞0，ΔEk＞0(动力做功使动能增加)；W＜0，ΔEk<0(阻力做功使动能减少)。
(3)W＝ΔEk，既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。
[跟进训练]
2．下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是(　　)
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
C　[物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，如匀速圆周运动，A、B错误；物体的合外力做功，它的动能一定变化，速度大小也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误。]
　动能定理的应用
一架喷气式飞机，质量为5.0×103 kg, 起飞过程中从静止开始在跑道上滑跑的路程为5.3×102 m时，达到起飞速度60 m/s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重力的0.02倍。(g取10 m/s2)
【问题】
(1)如何应用动能定理求飞机受到的牵引力F
(2)能否应用动力学、运动学的公式来解？
(3)比较两种解法，你觉得哪一种更简明？
提示：(1)设飞机的牵引力为F，阻力为f，位移为l，则由动能定理可得Fl－fl＝mv2－0，
f＝0.02 mg
故F＝＋f≈1.8×104 N。
(2)设飞机的牵引力为恒力，根据牛顿第二定律有
F－f＝ma
根据初速度为0 的匀加速直线运动规律有
v2－0＝2al
联立解得F≈1.8×104 N。
(3)两种解法，殊途同归，用动能定理思路明快，而且飞机的牵引力不一定是恒力，动能定理可用于变力做功的问题，这是它最大的优越性！
1．应用动能定理解题的基本思路
2．动能定理的优越性
项目 牛顿运动定律 动能定理
适用条件 只能研究物体在恒力作用下做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下做直线运动或曲线运动均适用
应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法 矢量运算 代数运算
相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
结论 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错
【典例3】　质量为4 t的卡车，由静止出发在水平公路上行驶100 m后速度增大到54 km/h，若发动机的牵引力为5×103 N不变。则：
(1)牵引力做了多少功？
(2)卡车动能增加了多少？
(3)卡车克服阻力做了多少功？
[解析]　(1)W＝Fs＝5×103×100 J＝5×105 J。
(2)54 km/h＝15 m/s，ΔEk＝mv2－0＝×4×103×152 J＝4.5×105 J。
(3)由动能定理知W合＝ΔEk，即W－W阻＝ΔE
W阻＝W－ΔEk＝5×105 J－4.5×105 J＝5×104 J。
[答案]　(1)5×105 J　(2)4.5×105 J　(3)5×104 J
[拓展]　在上例中如果卡车速度从54 km/h继续行驶至速度为75.6 km/h，此过程中假设卡车所受牵引力与阻力数值不变，求卡车速度从54 km/h加速至75.6 km/h过程中，卡车前进的距离。
[解析]　设卡车前进过程中阻力为f，卡车由静止加速到54 km/h前进的位移为s，
由题知W阻＝fs，
即f＝＝ N＝5×102 N
卡车速度从54 km/h加速到75.6 km/h的过程由动能定理有Fs1－fs1＝
v2＝75.6 km/h＝21 m/s，v1＝54 km/h＝15 m/s
解得s1＝96 m。
[答案]　96 m
　应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)。
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)。
(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)。
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)。
(5)根据动能定理列式、求解。
[跟进训练]
3．为了交通安全，在公路上行驶的汽车应保持必要的间距。已知某高速公路的最高限速vmax＝120 km/h，假设前车突然停止，后车司机从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移s′＝17 m，制动时汽车所受的阻力为汽车所受重力的0.5倍，则该高速公路上汽车间的安全距离至少应为多大？(g＝10 m/s2)
[解析]　汽车制动时，阻力对汽车做负功，有
W＝－fs＝－0.5 mgs
汽车的动能减小至零，根据动能定理W＝Ek2－Ek1，有－0.5mgs＝
＝120 km/h＝ m/s
汽车制动后滑行的距离
s＝ m≈111 m
因此，该高速公路上汽车之间的最小安全距离
s安全＝s＋s′＝(111＋17)m＝128 m。
[答案]　128 m
1．关于动能概念及公式W＝Ek2－Ek1的说法中正确的是(　　)
A．若物体速度在变化，则动能一定在变化
B．速度大的物体，动能一定大
C．W＝Ek2－Ek1表示功可以变成能
D．动能的变化可以用合力做的功来量度
D　[速度是矢量，而动能是标量，若物体速度只改变方向，不改变大小，则动能不变，A错；由Ek＝知速度大的物体质量可能小，动能不一定大，故B错；动能定理W＝Ek2－Ek1表示动能的变化可用合力做的功来量度，但功和能是两个不同的概念，有着本质的区别，故C错，D对。]
2．如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定(　　)
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
A　[受力分析，木箱受力分析如图所示，木箱在移动的过程中有两个力做功，拉力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可知：WF－Wf＝mv2－0，所以动能小于拉力做的功，故A正确，B错误；无法比较动能与摩擦力做功的大小，C、D错误。]
3．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s，则下坡过程中阻力所做的功为(　　)
A．－4 000 J　　　　　　 B．－3 800 J　
C．－5 000 J D．－4 200 J
B　[由动能定理有mgh＋Wf＝，解得Wf＝＝－3 800 J，故B正确。]
4．(2021·河北卷)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)(　　)
A． B．
C． D．2
A　[当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度h＝R＋＝R＋，根据动能定理有mgh＝，解得v＝，故A正确，B、C、D错误。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．什么是动能？动能的表达式是什么？
提示：物体由于运动而具有的能量；表达式Ek＝mv2。
2．动能是矢量还是标量？
提示：标量。
3．动能定理的内容是什么？表达式是什么？
提示：内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化；
表达式：W＝Ek2－Ek1＝。
课时分层作业(十五)　动能和动能定理
◎题组一　对动能的理解
1．(多选)关于动能，下列说法正确的是(　　)
A．公式Ek＝mv2中的速度v一般是物体相对于地面的速度
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
ABC　[动能是标量，与速度的大小有关，而与速度的方向无关，B正确；公式中的速度一般是相对于地面的速度，A正确；一定质量的物体动能变化时，速度的大小一定变化，但速度变化时，动能不一定变化，如匀速圆周运动，动能不变，但速度变化，故选项C正确，D错误。]
2．两个物体质量之比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为(　　)
A．1∶1 　　　　　　 B．1∶4　
C．4∶1 D．2∶1
C　[由动能表达式Ek＝mv2得＝·＝×＝4∶1，C正确。]
3．(2022·辽宁大连高一下阶段检测)改变消防车的质量和速度，能使消防车的动能发生改变。在下列几种情况下，消防车的动能是原来的2倍的是(　　)
A．质量不变，速度增大到原来的2倍
B．质量减半，速度增大到原来的4倍
C．速度不变，质量增大到原来的2倍
D．速度减半，质量增大到原来的2倍
C　[设物体的原始质量为2，原始的速度为1，由公式Ek＝mv2，代入数据得，原始动能Ek＝1。质量不变，则m＝2，速度变为原来的2倍，则v＝2，由公式Ek＝mv2，代入数据得动能Ek1＝4，动能变为原来4倍，故A错误；质量减半，则m＝1，速度变为原来的4倍，则v＝4，由公式Ek＝mv2，代入数据得动能Ek2＝8，动能变为原来的8倍，故B错误；速度不变，则v＝1，质量变为原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝mv2，代入数据得动能Ek3＝2，动能变为原来的2倍，故C正确；速度减半，则v＝，质量增大到原来的2倍，则m＝4，由公式Ek＝mv2，代入数据得动能Ek4＝，动能变为原来的，故D错误。]
◎题组二　对动能定理的理解
4．关于动能定理，下列说法中正确的是(　　)
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
D　[外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项A错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，选项B错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，选项C错误，D正确。]
5．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是(　　)
A．木块所受的合力为零
B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
C　[木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。]
6．如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是(　　)
A．对物体，动能定理的表达式为WN＝，其中WN为支持力做的功
B．对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C．对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝
D．对电梯，其所受合力做功为－mgH
C　[物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝，故选项C正确，A、B错误；对电梯，合力做功等于电梯动能的变化量，故选项D错误。]
◎题组三　动能定理的应用
7．一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点。小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示，则力F所做的功为(　　)
A．mgL cos θ B．mgL(1－cos θ)
C．FL sin θ D．FL cos θ
B　[由动能定理知WF－mg(L－L cos θ)＝0，则WF＝mgL(1－cos θ)，故B正确。]
8．(2021·山东卷)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为(　　)
A． B．
C． D．
B　[在木块运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，木块恰好完成一个完整的圆周运动，则末速度v＝0，根据动能定理有－f·2πL＝，可得摩擦力的大小f＝，故选B。]
9．如图所示，某滑雪运动员在一次训练中脚踩滑雪板从平台BC的C点沿水平方向飞出，落在倾斜雪道上的D点。已知倾斜的雪道与水平面的夹角θ＝37°，运动员从C点飞出时他和装备的动能为400 J。运动员及装备视为质点，不计空气阻力。取sin 37°＝0.60，重力加速度g＝10m/s2，则运动员(含装备)落到雪道上D点时的动能为(　　)
A．800 J B．900 J
C．1 300 J D．1 500 J
C　[在C点的动能Ek0＝＝400 J，由平抛运动知识可知，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍，即tan α＝2tan θ＝，到达D点竖直方向速度vy＝v0tan α，在D点的速度v＝＝，则运动员(含装备)落到雪道上D点时的动能为Ek＝mv2＝＝＝×400 J＝1 300 J，故选项C正确。]
10．从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是(　　)
A　　　　　B　　　　　C　　　　D
A　[小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，动能＝，即Ek＝m(v0－gt)2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，小球下落时做自由落体运动，v＝gt，Ek＝＝t2，Ek与t成二次函数关系，开口向上，故A正确。]
11．如图所示，某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10 kg的物体。定滑轮的位置比A点高3 m。若此人缓慢地将绳从A点拉到同一水平高度的B点，且A、B两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°，则此人拉绳的力做了多少功？(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计滑轮的摩擦)
[解析]　根据题意有h＝3 m，
物体升高的高度Δh＝－
取物体为研究对象，设绳的拉力对物体做的功为W
对全过程应用动能定理W－mgΔh＝0
联立解得W＝100 J
则人拉绳的力所做的功W人＝W＝100 J。
[答案]　100 J
12．如图所示，用与水平方向成θ角的恒力F，将质量为m的物体由静止开始从A点拉到B点后撤去力F，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为x，重力加速度为g。求：
(1)从A到B的过程中力F做的功W；
(2)物体在运动过程中的最大动能；
(3)物体的最大滑行距离。
[解析]　(1)由功的公式可求得W＝Fx cos θ。
(2)由题意知物体在AB段做加速运动，在B点有最大动能，在AB段，Ff＝μFN＝μ(mg－F sin θ)，
对物体从A点到B点的过程应用动能定理Fx cos θ－μ(mg－F sin θ)x＝Ek－0，
即物体在运动过程中的最大动能Ek＝Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx。
(3)撤去力F后，物体所受摩擦力变为μmg，设物体从B点到停止运动的位移为l，则
－μmgl＝0－E
物体的最大滑行距离
x总＝l＋x＝。
[答案]　(1)Fx cos θ　(2)Fx(cos θ＋μsin θ)－μmgx　(3)
13．(多选)北京冬奥会高台滑雪场地示意如图。一运动员(含装备)的质量为m，从助滑坡上A点由静止沿坡(曲线轨道)下滑，经最低点B从坡的末端C起跳，在空中飞行一段时间后着陆于着陆坡上D点。已知A、C的高度差为h1，C、D的高度差为h2，重力加速度大小为g，摩擦阻力和空气阻力不能忽略，运动员可视为质点。则下列判定正确的是(　　)
A．运动员在B点处于超重状态
B．运动员起跳时的速率vC>
C．运动员着陆前瞬间的动能EkD＝mg
D．运动员在空中飞行的时间t>
AD　[由题意知运动员在B点满足FN －mg＝，所以FN>mg，即运动员在B点处于超重状态，故A正确；从A到C由动能定理得mgh1－Wf＝，所以vC<，故B错误；从A到D由动能定理得mg(h1＋h2)－Wf′＝EkD，所以EkD，故D正确。]4．机械能守恒定律
1．知道什么是机械能，知道动能和势能是可以相互转化的。
2．掌握推导机械能守恒定律的方法。
3．掌握机械能守恒定律的内容，理解守恒条件。
4．掌握运用机械能守恒定律解决问题的方法。
　追寻守恒量
1．伽利略的斜面实验探究如图所示。
(1)过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上。
(2)实验现象：如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的高度，不会更高一点，也不会更低一点。
(3)实验结论：这说明某种“东西”在小球的运动过程中是不变的。在物理学上我们把这个不变量叫作能量或者能。
2．动能与势能的相互转化。
(1)重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，动能转化为重力势能。
(2)弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则弹性势能增加，物体的动能减少，动能转化为弹性势能。
(3)机械能：重力势能、弹性势能和动能都是机械运动中的能量形式，统称为机械能。
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下(忽略轨道的阻力和其他阻力) 。
【问题】
(1)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？
(2)动能和势能怎么变化？
(3)过山车下滑过程中动能与势能的和怎样变化吗？
提示：(1)过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功。
(2)动能增加，重力势能减少。
(3)动能与势能的和不变。
1．物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等。
2．只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，弹性势能与动能之和不变。
3．物体既受重力，又受弹力，重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，重力势能、弹性势能与动能之和不变。
【典例1】　(多选)奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．加速助跑过程中，运动员的动能增加
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加
D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加
ACD　[加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑杆从开始形变到撑杆恢复形变时，先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，杆的弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的重力势能增加，C正确；当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。]
[跟进训练]
1．如图所示的四种情景中，属于重力势能转化为动能的是(　　)
A．甲图运动员把弯弓拉开将箭射出
B．乙图跳伞运动员匀速下落
C．丙图跳水运动员从空中下落
D．丁图运动员骑自行车冲向坡顶
C　[运动员把弯弓拉开将箭射出，是弹性势能转化为动能的过程，故A错误；跳伞运动员匀速下落，质量不变，速度不变，则动能不变，高度减小，重力势能减小，所以重力势能转化为其他形式的能，故B错误；跳水运动员从空中下落，质量不变，速度增大，动能增大，高度减小，重力势能减小，此过程中，重力势能转化为动能，故C正确；运动员骑自行车冲向坡顶，运动员和自行车的质量不变，速度减小，动能减小，高度增大，重力势能增大，此过程中，动能转化为重力势能，故D错误。]
　机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒定律表达式
(1)Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减。
(2)Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
(3)E2＝E1。
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功。
如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力。
【问题】
(1)铅球在空中运动过程中，受哪些力的作用？
(2)铅球在空中运动过程中，实现了哪些能量间的转换？
(3)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(4)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
提示：(1)由于阻力可以忽略，铅球只受重力作用。
(2)铅球在空中运动过程中，动能和重力势能之间相互转化。
(3)铅球在空中运动过程中，机械能守恒。
(4)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
1．机械能守恒的两点说明
(1)“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，系统的机械能总量保持不变。
(2)机械能守恒的条件不是合力做的功等于零，也不是合力等于零。
2．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)。

(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)。

【典例2】　如图所示，下列说法正确的是(所有情况均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)(　　)
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空则机械能守恒，若加速升空则机械能不守恒
B．乙图中，物块在外力F的作用下匀速上滑，物块的机械能守恒
C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒
D．丁图中，物块A加速下落、物块B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D　[甲图中，不论是匀速还是加速，由于推力对火箭做功，火箭的机械能不守恒，是增加的，故A错误；乙图中，物块匀速上滑，动能不变，重力势能增加，则机械能必定增加，故B错误；丙图中，在物块A压缩弹簧的过程中，弹簧和物块A组成的系统只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，由于弹簧弹性势能增加，则A的机械能减小，故C错误；丁图中，对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。]
[跟进训练]
2．下列说法正确的是(　　)
A．物体做匀速直线运动的过程中，机械能一定守恒
B．物体做匀变速直线运动的过程中，机械能不可能守恒
C．物体做匀速圆周运动的过程中，机械能一定守恒
D．物体做抛体运动的过程中，机械能一定守恒
D　[物体做匀速直线运动，只能保证动能不变，重力势能可能改变，机械能不一定守恒，A错误；物体做自由落体运动时，只有重力做功，机械能守恒，B错误；如果小球在竖直平面内做匀速圆周运动，则动能不变，重力势能在不断地变化，机械能不守恒，C错误；物体做抛体运动的过程中，只有重力做功，物体机械能守恒，D正确。]
　机械能守恒定律的应用
如图所示，质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当它滑到高度为h1的位置A时，速度的大小为v1，滑到高度为h2的位置B时，速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中(不计空气阻力)：
【问题】
(1)小球的重力势能减少了多少？
(2)小球的动能增加了多少？
(3)小球下滑过程中机械能守恒吗？若守恒，列出表达式。
(4)小球重力势能减少量等于动能的增加量吗？
提示：(1)重力势能的减少量为ΔEp＝mgh1－mgh2。
(2)动能增加量为ΔEk＝。
(3)小球下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，表达式为＝。
(4)由(3)变形可知，mgh1－mgh2＝，即小球重力势能减少量等于动能增加量。
1．机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从不同 状态看 守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须选 参考平面
从转化 角度看 转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选 参考平面
从转移 角度看 增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
(1)选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。
(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。
(4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。
　单个物体的机械能守恒
【典例3】　如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑雪道到达跳台的B点时速度多大？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多大？(设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦和空气阻力，g取10 m/s2。)
[解析]　法一　由Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2求解(必须选择参考平面)。
滑雪过程中只有重力做功，运动员的机械能守恒，取B点所在水平面为参考平面，由A到B的过程中，由机械能守恒定律得＝mgh1
h1＝5 m－1 m＝4 m
得vB＝＝4 m/s
从B点到C点的过程中，由机械能守恒定律得：
＝
其中h2＝10 m，
故vC＝＝2 m/s。
法二　由ΔEk＝－ΔEp求解(不需要选择参考平面)。
滑雪过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒
由A到B过程中，由机械能守恒定律得：
mghAB＝
hAB＝5 m－1 m＝4 m
得vB≈4 m/s
由B到C过程中，由机械能守恒定律得：
mghBC＝
hBC＝10 m
得vC＝2 m/s。
[答案]　4 m/s　2 m/s
　多物体的机械能守恒
【典例4】　如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m(g取10 m/s2)。
(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小是多少？
(2)B物体着地后A物体还能上升多高？
[思路点拨]　(1)在B下落过程中，A与B的速率时刻相等。
(2)在B下落过程中，A、B组成的系统机械能守恒。
(3)当B落地后，A的机械能是守恒的。
[解析]　(1)法一　由E1＝E2求解
对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为参考平面，B下落过程中，由机械能守恒定律得：mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2，
解得v＝2 m/s。
法二　由ΔEk＝－ΔEp求解
对于A、B组成的系统，有
(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)，解得v＝2 m/s。
法三　由ΔEA＝－ΔEB求解
对A、B组成的系统，有mAgh＋mAv2＝－，解得v＝2 m/s。
(2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒定律可得mAgh′＝，解得h′＝＝0.2 m。
[答案]　(1)2 m/s　(2)0.2 m
　应用机械能守恒定律解题的几点技巧
(1)应用机械能守恒定律求解多过程问题，要根据题目条件灵活选取研究过程，注意该过程一定要满足机械能守恒的条件。
(2)不论分阶段列式还是整个过程列式，只需考虑该过程的初、末状态，而不需要分析中间过程的复杂变化。
(3)分析多个物体组成系统的机械能是否守恒时，要注意准确处理用绳或杆相连的物体间的速度关系和高度变化的关系。
(4)灵活选择机械能守恒定律的表达式，优先选用ΔEp减＝ΔEk增或ΔEA减＝ΔEB增，以使问题简化。
[跟进训练]
3．如图所示，将一质量为m的小球从A点以初速度v斜向上抛出，小球先后经过B、C两点。已知B、C之间的竖直高度和C、A之间的竖直高度都为h，重力加速度为g，取A点所在的平面为参考平面，不计空气阻力，则(　　)
A．小球在B点的机械能是C点机械能的两倍
B．小球在B点的动能是C点动能的两倍
C．小球在B点的动能为mv2＋2mgh
D．小球在C点的动能为mv2－mgh
D　[不计空气阻力，小球在斜向上抛出的运动过程中只受重力作用，运动过程中小球的机械能守恒，则小球在B点的机械能等于在C点的机械能，A错误；小球在B点的重力势能大于在C点重力势能，根据机械能守恒定律知，小球在B点的动能小于在C点的动能，B错误；小球由A到B过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mv2，解得小球在B点的动能为EkB＝mv2－2mgh，C错误；小球由B到C过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mgh＋EkC，解得小球在C点的动能为EkC＝EkB＋mgh＝mv2－mgh，D正确。]
4．(2022·湖北黄冈中学模块验收测试)如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度。
[解析]　把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球最低点所在的平面为参考平面，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为＝2mgL
末状态(即到竖直位置)：
系统的动能为Ek2＝
重力势能为Ep2＝mg
由机械能守恒定律得
2mgL＝
又因为在自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB
联立解得vA＝，vB＝。
[答案]　　
1．(多选)(2022·天津二十五中月考)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能参考平面的选取有关
ABC　[运动员到达最低点前重力始终做正功，重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向与位移方向始终相反，弹力做负功，弹性势能增加，B正确；在运动员、地球和蹦极绳所组成的系统中，只有重力和弹力做功，则系统的机械能守恒，C正确；重力势能的改变量与重力做功有关，取决于初末位置的高度差，与重力势能参考平面的选取无关，D错误。]
2．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环。小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　)
A．它滑过的弧长
B．它下降的高度
C．它到P点的距离
D．它与P点的连线扫过的面积
C　[小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，其机械能守恒，下落h高度过程中，有mgh＝，解得v＝，选项B错误；设小环位置与P点连线所对的圆心角为θ，小环下滑过程滑过的弧长s＝Rθ，由几何关系知h＝R(1－cos )，则v＝，选项A错误；小环位置到P点的距离L＝2R sin ，h＝R(1－cos θ)，又1－cos θ＝2sin2 ，则h＝2R sin2 ＝，解得v＝＝L，可知v与L成正比，即小环的速率与小环到P点的距离成正比，选项C正确；小环位置与P点连线扫过的面积A＝R2θ－R2sin θ，分析知与v不成正比，选项D错误。]
3．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为参考平面，且不计空气阻力，则下列选项正确的是(　　)
A．物体落到海平面时的势能为mgh
B．重力对物体做的功为mgh
C．物体在海平面上的动能为＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为
BCD　[以地面为参考平面，则物体落到海平面时的势能为－mgh，选项A错误；重力对物体做的功为mgh，选项B正确；根据动能定理，物体在海平面上的动能为Ek＝＋mgh，选项C正确；物体在地面上时的机械能为，物体的机械能守恒，则在海平面上的机械能为，选项D正确。]
4．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻绳连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
A．2R　　　　　　　　 B．
C． D．
C　[设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，上升的高度为h′＝，解得h′＝R，此时绳子未绷直，故B上升的最大高度为R＋h′＝R，选项C正确。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或弹簧弹力做功。
2．机械能守恒的内容是什么？
提示：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3．机械能守恒的表达式？
提示：＋mgh1＝＋mgh2。
潮 汐 发 电
由于月球、太阳的引力以及地球自转的影响，海水和江水每天有两次的涨落现象，早上的称为潮，晚上的称为汐。潮汐作为一种自然现象，为人类的航海、捕捞和晒盐等活动提供了方便。
潮汐发电是一种水力发电的形式，其原理如图所示。在涨潮时将海水储存在水库内，储存重力势能；在退潮时放出海水，利用高、低潮位之间的落差，将海水的重力势能转化为动能，推动水轮机旋转，带动发电机发电，与河水不同的是，海水涨潮与退潮落差不大，但流量较大，并且呈间歇性。相比风能与太阳能这些受环境影响较大的能源，利用潮汐发电，工作时间可预知，能量规模庞大且稳定，能产生洁净无污染的高质量能源。
我国潮汐能资源丰富。据不完全统计，全国潮汐能蕴藏量为1.9亿千瓦，其中可供开发的约3 850万千瓦。我国潮汐能发展起步较早，1957年就在山东建成了第一座潮汐发电站。目前，我国潮汐电站总装机容量已有1万多千瓦，在我国优化电力结构、促进能源结构升级的大背景下，发展潮汐发电是顺应社会趋势之为。
　(1)潮汐发电站发电过程中发生了怎样的能量转化？
(2)若减少的重力势能全部用于发电，那么一装机容量为1 000 kW的发电站，每天至少有多少重力势能转化为电能？
提示：(1)重力势能转化为动能，推动水轮机转动，带动发电机发电。
(2)每天发出的电能即为至少转化的重力势能，大小为1 000×103×24×3 600 J＝8.64×1010 J。
课时分层作业(十六)　机械能守恒定律
◎题组一　机械能守恒条件及判断
1．(多选)神舟十四号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的(　　)
A．飞船升空的阶段
B．只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C．只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D．临近地面时返回舱减速下降的阶段
BC　[飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；返回舱在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，机械能守恒，故B正确；返回舱只在引力作用下向着地球做无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能守恒，故C正确；返回舱减速下降的阶段，克服空气阻力做功，故机械能减小，故D错误。]
2．(多选)如图所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是(　　)
A．图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动
B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高
C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连。小车在左右运动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图丙中如果小车运动时，木块相对于小车滑动
AC　[弹丸在碗内运动时，只有重力做功，系统机械能守恒，故选项A正确；运动员越跳越高，表明运动员在不断做功，机械能不守恒，故选项B错误；由于一对静摩擦力做功的代数和为0，系统中只有弹簧弹力做功不为0，机械能守恒，故选项C正确；滑动摩擦力做功的代数和不为0，系统机械能不守恒，故选项D错误。]
3．如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动。在此过程中(　　)
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．轻绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量
C　[斜面粗糙，小球受到重力、支持力、摩擦力、轻绳张力的作用，由于除重力做功外，支持力和轻绳张力总是与运动方向垂直，故不做功，摩擦力做负功，机械能减少，A、B错误，C正确；小球动能的变化量等于合外力对其做的功，即重力与摩擦力做功的代数和，D错误。]
4．(多选)(2022·山东济南外国语学校高一检测)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过轻杆中心的水平轴无摩擦转动，现让轻杆处于水平位置，静止释放小球后，重球b向下转动，轻球a向上转动，在转过90°的过程中，以下说法正确的是(　　)
A．b球的重力势能减少，动能增加
B．a球的重力势能增加，动能减少
C．a球和b球的机械能总和保持不变
D．a球和b球的机械能总和不断减小
AC　[在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，A正确，B错误；a、b两球组成的系统只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C正确，D错误。]
◎题组二　机械能守恒定律的应用
5．如图所示，以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛运动物体在最高点的速度方向水平)，则(　　)
A．h1＝h2>h3　　　　 B．h1＝h2C．h1＝h3

h2
D　[竖直上抛和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝，所以h＝，斜上抛运动物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝，所以h26．如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两侧液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(重力加速度大小为g)(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
A　[设液体总质量为m，当两侧液面高度相等时，相当于右管h高的液体移到左管，重心下降，这部分液体质量为，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得·＝，解得v＝，选项A正确。]
7．如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度为g)(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
B　[从小物块滑入轨道到轨道上端，根据机械能守恒定律有mv2＝＋mg·2R，小物块水平飞出后，根据平抛运动的规律有x＝v0t，2R＝gt2，联立可得x＝，结合数学知识可知，当R＝时，水平距离最大，选项B正确。]
8．如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(hA． B．
C． D．
A　[A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝(m＋3m)v2，解得v＝，又h9．(多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球；B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(　　)
A．A球到达最低点时速度
B．A球到达最低点时，B球速度为
C．摆动过程中AB两球组成的系统机械能守恒
D．摆动过程中A球机械能守恒
BC　[当A球到达最低点时，对AB组成的系统由动能定理得：(2mg－mg)·＝(2m＋m)v2，解得v＝，即此时AB两球的速度均为，则A错误，B正确；摆动过程中，AB组成的系统机械能守恒，A球机械能不守恒，选项C正确，D错误。]
10．(多选)(2022·北京西城区高一期末)如图所示，弧形光滑轨道的下端与轨道半径为R的竖直光滑圆轨道相接，使质量为m的小球从高h的弧形轨道上端自由滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。当小球通过圆轨道的最高点时，对轨道的压力大小等于小球重力大小。不计空气阻力，重力加速度为g，则(　　)
A．小球通过最高点时的速度大小为
B．小球在轨道最低点的动能为2.5mgR
C．小球下滑的高度h为3R
D．小球在轨道最低点对轨道压力的大小为7mg
ACD　[小球经过圆轨道最高点时，对轨道的压力N＝mg，依据牛顿第三定律可知轨道对小球的压力为mg，由牛顿第二定律有：mg＋mg＝m，解得v＝，故A正确；小球自开始下滑到圆轨道最高点的过程，依据动能定理有mg(h－2R)＝mv2，解得h＝3R，故C正确；设小球从高h的位置释放运动到最低点时的速度为v1，受轨道的支持力为N1，根据牛顿第二定律有N1－mg＝，小球由圆轨道最低点运动到最高点的过程，根据动能定理有－mg·2R＝，解得最低点动能＝3mgR，支持力N1＝7mg，由牛顿第三定律得，小球对轨道压力N1′＝7mg，故B错误，D正确。]
11．(2022·湖北孝感高一期末)如图所示，不可伸长细绳的一端固定在O点，另一端系着一金属小球，小球的质量为m，细绳长为l。将细绳拉直，让细绳从偏离水平方向30°的位置由静止释放小球，已知重力加速度为g。求：
(1)细绳刚伸直时小球的速度大小；
(2)小球运动到最低点A时细绳受到的拉力。
[解析]　(1)小球先做自由落体运动，设细绳刚伸直时小球的速度大小为v1，由几何关系知小球下降的高度
h＝2l sin 30°
根据机械能守恒定律得mgh＝
解得v1＝。
(2)细绳伸直后瞬间，设小球在垂直细绳方向的速度为v2，根据速度的分解得
v2＝v1cos 30°＝
设小球运动到最低点A时的速度为v3，以A点所在的水平面为参考平面，小球由细绳刚伸直到最低点A的过程，根据机械能守恒定律得
＋mgl(1－sin 30°)＝
联立解得v3＝
小球在最低点，由牛顿第二定律得
T－mg＝
解得细绳对小球的拉力T＝3.5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到最低点A时细绳受到的拉力大小为3.5mg，方向竖直向下。
[答案]　(1)　(2)3.5mg，方向竖直向下
12．如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
[解析]　法一　(取整个铁链为研究对象)：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心与最初A点位置在同一水平面上
则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·L
由机械能守恒定律得
mv2＝mg·L
解得v＝。
法二　(将铁链看成两段)：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置(如图所示)。
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒得mv2＝mg·
则v＝。
[答案]　5．实验：验证机械能守恒定律
1．会用打点计时器打下的纸带计算物体运动的瞬时速度。
2．掌握利用落体法验证机械能守恒定律的原理和方法。
3．会使用气垫导轨、光电门，理解并掌握利用滑块沿导轨下滑验证机械能守恒定律的原理和方法。
类型一　实验原理与操作
【典例1】　“验证机械能守恒定律”的实验装置可以采用图示的甲或乙方案来进行。
(1)比较这两种方案，________(选填“甲”或“乙”)方案好些。
(2)在“验证机械能守恒定律”的实验中，直接测量的物理量是________。
A．重力加速度　　　　　 B．重物下落的高度
C．重物下落的瞬时速度 D．重物下落的平均速度
(3)在进行“验证机械能守恒定律”的实验时，应________。
A．先释放纸带，再接通电源
B．用手托住重物由静止释放
C．根据v＝gt计算重物在t时刻的速度
D．使重物下落的起始位置靠近打点计时器
[解析]　(1)甲方案摩擦阻力小，误差小，而且方便操作，所用实验器材少，所以甲方案好些。
(2)验证机械能守恒的实验，即验证重力势能减少量等于动能的增加量，所以重力加速度是已知的，无需测量，A错误；实验要计算重力势能的减少量，所以需要测量重物下落的高度，B正确；本实验下落的瞬时速度是根据纸带处理得到，无法直接测量，而平均速度本实验用不到，C、D错误。
(3)在实验时应先接通电源，打点稳定后再释放纸带，A错误；释放时，纸带应竖直，减少与限位孔的摩擦，所以释放时，应按题图中所示用手竖直提起纸带，B错误；因为要验证机械能守恒，所以速度需根据实际的纸带计算，而不能用自由落体公式计算，因为自由落体运动只受重力，机械能一定守恒，C错误；释放纸带前，重物应靠近打点计时器，这样可以充分利用纸带，D正确。
[答案]　(1)甲　(2)B　(3)D
类型二　数据处理和误差分析
【典例2】　某实验小组“用落体法验证机械能守恒定律”，实验装置如图甲所示。实验中测出重物自由下落的高度h及对应的瞬时速度v，计算出重物减小的重力势能mgh和增加的动能mv2，然后进行比较，如果两者相等或近似相等，即可验证重物自由下落过程中机械能守恒。请根据实验原理和步骤完成下列问题：
(1)(多选)关于上述实验，下列说法中正确的是________。
A．重物最好选择密度较小的木块
B．重物的质量可以不测量
C．实验中应先接通电源，后释放纸带
D．可以利用公式v＝来求解瞬时速度
(2)如图乙是该实验小组打出的一条点迹清晰的纸带，纸带上的O点是起始点，选取纸带上连续的点A、B、C、D、E、F作为计数点，并测出各计数点到O点的距离依次为27.94 cm、32.78 cm、38.02 cm、43.65 cm、49.66 cm、56.07 cm。已知打点计时器所用的电源是50 Hz的交流电，重物的质量为0.5 kg，则从计时器打下点O到打下点D的过程中，重物减小的重力势能ΔEp＝_______J；重物增加的动能ΔEk＝_______J，两者不完全相等的原因可能是_______。(重力加速度g取9.8 m/s2，计算结果保留三位有效数字)
(3)实验小组的同学又正确计算出图乙中打下计数点A、B、C、D、E、F各点的瞬时速度v，以各计数点到A点的距离h′为横轴，v2为纵轴作出图像，如图丙所示，根据作出的图线，能粗略验证自由下落的物体机械能守恒的依据是_____________________________________________________________________。
[解析]　(1)重物最好选择密度较大的铁块，受到的阻力较小，故A错误；本题是以自由落体运动为例来验证机械能守恒定律，需要验证的方程是mgh＝mv2，因为我们是比较mgh、mv2的大小关系，故m可约去比较，不需要用天平测量重物的质量，故B正确；实验中应先接通电源，后释放纸带，故C正确；不能利用公式v＝来求解瞬时速度，否则体现不了实验验证，变成了理论推导，故D错误。
(2)重力势能减小量ΔEp＝mgh＝0.5×9.8×0.436 5 J≈2.14 J。利用匀变速直线运动的推论：vD＝＝ m/s＝2.91 m/s，EkD＝＝×0.5×(2.91)2 J≈2.12 J，动能增加量ΔEk＝EkD－0＝2.12 J。由于存在阻力作用，所以重力势能减小量大于动能的增加量。
(3)根据表达式mgh＝mv2，则有v2＝2gh；当图像的斜率为重力加速度的2倍时，即可验证机械能守恒，而图像的斜率k＝ m/s2＝19.52 m/s2，因此能粗略验证自由下落的物体机械能守恒。
[答案]　(1)BC　(2)2.14　2.12　重物下落过程中受到阻力作用　(3)图像的斜率等于19.52，约为重力加速度g的两倍，故能验证
类型三　创新实验设计
【典例3】　(2022·河北卷)某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺等器材验证系统机械能守恒定律，实验装置如图甲所示。弹簧的劲度系数为k，原长为L0，钩码的质量为m。已知弹簧的弹性势能表达式为E＝kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，当地的重力加速度大小为g。
(1)在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置，测得此时弹簧的长度为L。接通打点计时器电源。从静止释放钩码，弹簧收缩，得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加速上升阶段的部分纸带如图乙所示，纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T(在误差允许范围内，认为释放钩码的同时打出A点)。从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为________，钩码的动能增加量为________，钩码的重力势能增加量为________。
(2)利用计算机软件对实验数据进行处理，得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械能增加量分别与钩码上升高度h的关系，如图丙所示。由图丙可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是__________________________
____________________________________________________________________。
[解析]　(1)从打出A点到打出F点时间内，弹簧的弹性势能减少量为
ΔEp弹＝k(L－L0)2－k(L－L0－h5)2
整理有ΔEp弹＝
打F点时钩码的速度为vF＝
由于在误差允许的范围内，认为释放钩码的同时打出A点，则钩码动能的增加量为
ΔEk＝－0＝
钩码的重力势能增加量为ΔEp重＝mgh5。
(2)钩码机械能的增加量，即钩码动能和重力势能增加量的总和，若无阻力做功则弹簧弹性势能的减少量等于钩码机械能的增加量。现在随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，而两条曲线在纵向的间隔即阻力做的功，则产生这个问题的主要原因是钩码和纸带运动的速度逐渐增大，导致空气阻力逐渐增大，以至于钩码克服空气阻力做的功也逐渐增大。
[答案]　　　mgh5　(2)见解析
1．用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律，若按正确的实验步骤进行，并选出如图乙所示的纸带，回答下列问题：
(1)纸带的________(选填“左”或“右”)端与重物相连。
(2)下面列举了该实验的几个操作步骤(示意图如图所示)：
A．按照图示的装置安装器件；
B．将打点计时器接到电源的交流输出端上；
C．用天平测量出重物的质量；
D．释放悬挂纸带的夹子，同时接通电源开关打出一条纸带；
E．测量纸带上打出的某些点之间的距离；
F．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能。
指出其中没有必要进行的和操作不恰当的步骤，将其选项对应的字母填在下面的横线上，并改正不恰当的步骤：
没有必要进行的步骤是________，理由是________，操作不恰当的步骤是________，改正为________。
[解析]　(1)物体做加速运动，纸带上的相邻点之间的距离越来越大，故纸带左端与重物相连。
(2)在验证机械能守恒时，左右两边式子均有质量m，可以约去，没有必要用天平测重物的质量；先接通电源，待打点稳定后再释放纸带，D错误。
[答案]　(1)左　(2)C　在验证机械能守恒时，左右两边式子的质量m可以约去　D　先接通电源，待打点稳定后再释放纸带
2．现利用如图所示装置“验证机械能守恒定律”。图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出。让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为5.00×10-2 s、2.00×10-2 s。已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0.54 m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度。(结果均保留三位有效数字)
(1)滑块通过光电门1时的速度v1＝________m/s，通过光电门2时的速度v2＝________m/s。
(2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为____________J，重力势能的减少量为____________J。
(3)实验可以得出的结论： ______________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
[解析]　(1)v1＝＝ m/s＝1.00 m/s，v2＝＝ m/s＝2.50 m/s。
(2)动能增加量ΔEk＝＝5.25 J。重力势能的减少量：ΔEp＝mgs sin 30°≈5.29 J。
(3)在实验误差允许的范围内，滑块的机械能守恒。
[答案]　(1)1.00　2.50　(2)5.25　5.29　(3)在实验误差允许的范围内，滑块的机械能守恒
3．某同学根据机械能守恒定律，设计实验探究弹簧的弹性势能与压缩量的关系。
(1)如图甲，将轻质弹簧下端固定于铁架台上，在上端的托盘中依次增加砝码，测量相应的弹簧长度，部分数据如表所示。由数据算得劲度系数k＝________N/m。(g取9.80 m/s2)
砝码质量/g 50 100 150
弹簧长度/cm 8.62 7.63 6.66
(2)取下弹簧，将其一端固定于气垫导轨左侧，如图乙所示；调整导轨使滑块自由滑动时，通过两个光电门的速度大小________。
(3)用滑块压缩弹簧，记录弹簧的压缩量x；释放滑块，记录滑块脱离弹簧后的速度v。释放滑块过程中，弹簧的弹性势能转化为________。
(4)重复(3)中的操作，得到v与x的关系如图丙，由图可知，v与x成________关系。由上述实验可得结论：对同一根弹簧，弹性势能与弹簧的________成正比。
[解析]　(1)由k＝＝ N/m＝50 N/m。
(2)要调整气垫导轨水平，使滑块自由滑动时，通过两个光电门的速度大小相等。
(3)根据机械能守恒定律，释放滑块后，弹簧的弹性势能转化为滑块的动能。
(4)由题图丙可知，x与v成正比，即v＝kx，由Ep＝Ek＝＝mk2x2，因此弹簧的弹性势能与弹簧的压缩量的平方成正比。
[答案]　(1)50　(2)相等　(3)滑块的动能　(4)正比　压缩量的平方
4．用如图甲所示实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒。m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是实验中获得的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点(图中未标出)，计数点间的距离如图所示。已知m1＝50 g，m2＝150 g，打点计时器所接交流电频率f＝50 Hz，则：(结果保留两位有效数字)
(1)从纸带上打下计数点5时的速度v＝________m/s。
(2)从打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增加量ΔEk＝________J，系统势能的减少量ΔEp＝______J。(当地的重力加速度g取10 m/s2)
(3)若某同学作出v2-h图像如图丙所示，则当地的重力加速度g＝________m/s2。
[解析]　(1)因为每相邻两计数点间还有4个点，则相邻计数点的时间间隔为t＝＝0.1 s，在纸带上打下计数点5时的速度v5＝＝ m/s＝2.4 m/s。
(2)从打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增加量ΔEk＝＝×(0.05＋0.15)×2.42 J≈0.58 J，系统势能的减少量ΔEp＝(m2－m1)gh＝(0.15－0.05)×10×(38.40＋21.60)×10-2 J＝0.60 J。
(3)由(2)可知在实验误差允许的范围内，系统机械能守恒，则有(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh
可得v2＝h，由题图丙中图线可知
斜率k＝＝
则g＝9.7 m/s2。
[答案]　(1)2.4　(2)0.58　0.60　(3)9.7
5．为了验证小球在竖直平面内摆动过程的机械能是否守恒，利用如图甲装置，不可伸长的轻绳一端系住一小球，另一端连接力传感器，小球质量为m，球心到悬挂点的距离为L，小球释放的位置到最低点的高度差为h，实验记录轻绳拉力大小随时间的变化如图乙，其中Fm是实验中测得的最大拉力值，重力加速度为g，请回答以下问题：
(1)小球第一次运动至最低点的过程，重力势能的减少量ΔEp＝____________，动能的增加量ΔEk＝____________。(均用题中所给字母表示)
(2)观察图乙中拉力峰值随时间变化规律，试分析造成这一结果的主要原因：_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
(3)为减小实验误差，实验时应选用密度________(选填“较大”或“较小”)的小球。
[解析]　(1)小球第一次摆动至最低点的过程，重心下降了h，则重力势能的减少量为ΔEp＝mgh
小球第一次摆动至最低点，初速度为零，最低点速度为vm，由牛顿第二定律有Fm－mg＝
而动能的增加量为ΔEk＝－0，联立解得
ΔEk＝。
(2)根据F-t图像可知小球做周期性的摆动，每次经过最低点时拉力最大，而最大拉力逐渐变小，说明经过最低点时的最大速度逐渐变小，则主要原因是空气阻力做负功，导致机械能有损失。
(3)为了减小因空气阻力带来的误差，应选择密度大、体积小的小球进行实验。
[答案]　(1)mgh　　(2)空气阻力做负功，机械能有损失　(3)较大素养提升课(五)　变力做功和机车启动问题
1．掌握变力做功的求解方法，并能解决实际问题。
2．理解公式P＝Fv的意义，并用来分析牵引力与速度的关系。
3．会利用P＝Fv结合动力学知识分析机车启动问题。
　求变力做功的几种方法
W＝Fl cos α，此公式中F为恒力，如果物体受到变力作用，变力做的功可按下列方法进行计算：
1．化变力为恒力
(1)分段法：
力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。
(2)平均力法：
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力＝，由W＝l cos α求功。
例如：弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝。
(3)微元法：
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。
例如：质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功WFf＝FfΔx1＋FfΔx2＋FfΔx3…＝Ff (Δx1＋Δ x2＋Δx3…)＝Ff·2πR。
(4)转换研究对象法：
如图所示，人站在地上以恒力拉绳子，使小车向左运动，求绳子拉力对小车所做的功。绳子拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人拉绳的力所做的功来求绳子拉力对小车做的功。
2．图像法
(1)若作用在物体上的力只是大小变化，而方向始终与位移在同一直线上，外力做功就不能用矩形表示。不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段过程所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整个过程外力做功的大小就等于所有小矩形面积之和，如图甲所示。
(2)如图乙所示，l轴上方的“面积”表示力对物体做正功的多少，用正数表示，l轴下方的“面积”表示力对物体做负功的多少，用负数表示。总功为上、下两“面积”的代数和。
【典例1】　如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500 N，运动的半径为1 m，则驴拉磨转动一周所做的功为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．500 J
C．500π J D．1 000π J
D　[由于F的方向与作用点的速度方向保持一致，因此F做功不为零。把圆周划分成很多小段研究，如图所示，当各小段的弧长Δsi足够小(Δsi→0)时，在Δsi内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故驴拉磨转动一周所做的功为WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3…＝F·2πR＝1 000π J，故A、B、C错误，D正确。]
[跟进训练]
1．一物体所受的力F随位移l变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做的功为(　　)
A．3 J B．6 J
C．7 J D．8 J
B　[力F对物体做的功等于l轴上方梯形“面积”所表示的正功与l轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和。W1＝×(3＋4)×2 J＝7 J，W2＝－×(5－4)×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，故选项B正确。]
2．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第1次相同，那么第二次钉子进入木板的深度是(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C． D．d
B　[铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，可利用平均力法来处理。根据题意可得第一次做功W＝d＝d。第二次做功W＝d′＝d′，联立解得d′＝(－1)d，选项B正确。]
3．如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑环，用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑环从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
A　[由于用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，所以轻绳对滑环的拉力做的功与拉力F做的功相等。从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，根据几何关系可知轻绳对滑环的拉力与光滑竖直杆的夹角α越来越大。已知AB＝BC，即滑环从A点上升至B点的位移等于从B点上升至C点的位移。轻绳拉着滑环的拉力是恒力，夹角α越来越大，则cos α越来越小，因为F大小恒定，故F在竖直方向上的分量F cos α随α的增大而减小，显然滑环从A点上升至B点过程中轻绳对滑环做的功大于从B点上升至C点的过程中轻绳对滑环做的功，所以W1＞W2，故A正确。]
　机车的两种启动方式
1．两种启动过程对比
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
牵引力的变化图像
OA段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变 P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段 过程 分析 F＝Ff a＝0 Ff＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 — F＝Ff a＝0 Ff＝，以vm做匀速直线运动
2．几个重要关系式
(1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。
(4)P＝Fv中F为机车的牵引力而不是合力。
【典例2】　在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。
(1)求汽车所能达到的最大速度；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？
[思路点拨]　(1)汽车速度达到最大的条件是a＝0，即F＝Ff。
(2)汽车以恒定加速度a匀加速运动的“收尾”条件是：P＝P额，此时的速度为匀加速运动的最大速度。
(3)汽车速度为v′时牵引力F′＝。
[解析]　(1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度
vmax＝＝ m/s＝12 m/s。
(2)设汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有－Ff＝ma
得v＝＝ m/s＝8 m/s
由v＝at得这一过程维持的时间t＝＝ s＝16 s。
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力F′＝＝ N＝3×104 N
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a′＝＝ m/s2＝5 m/s2。
[答案]　(1)12 m/s　(2)16 s　(3)5 m/s2
　用公式P＝Fv处理机车启动问题时应注意的问题
(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合外力。
(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力Ff大小。
(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm。
[跟进训练]
4．(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，(g＝10 m/s2)则(　　)
A．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B．汽车的额定功率为120 kW
C．汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D．当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
BD　[汽车在前5 s内做匀加速直线运动，由题图像可知加速度a＝3 m/s2，由牛顿第二定律F－f＝ma，得F＝f＋ma＝(0.1×2×103×10＋2×103×3)N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝＝ m/s＝60 m/s，C错误；当汽车速度为20 m/s时，则F1＝＝ N＝6×103 N，F1－f＝ma1，得a1＝2 m/s2，D正确。]
5．(2022·江西南昌十中高一期末)京沪高铁采用CR400系列“复兴号”列车运行。假设一列16节车厢的高铁列车总质量m＝800 t，发动机的额定功率P＝8×103 kW，设列车在水平轨道上行驶时所受阻力Ff是车重的0.01倍，g＝10 m/s2。求：
(1)高铁列车在水平轨道上行驶的最大速度；
(2)若列车在水平长直轨道上从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一匀加速过程维持的最长时间t为多少。
[解析]　(1)当F＝Ff时，列车行驶速度达到最大，由P＝Fvm，Ff＝0.01mg
则vm＝＝，解得vm＝100 m/s。
(2)设保持匀加速运动所需牵引力为F1，由牛顿第二定律有F1－Ff＝ma
匀加速能达到的最大速度v1＝
匀加速运动的时间t＝
代入数据计算得t≈33.3 s。
[答案]　(1)100 m/s　(2)33.3 s
素养提升练(五)　变力做功和机车启动问题
一、选择题
1．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则(　　)
A．不断增大牵引力和牵引力的功率
B．不断减小牵引力和牵引力的功率
C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率
D．不能判断牵引力功率怎样变化
C　[汽车保持匀加速直线运动，所受合力不变，其中牵引力也不变，但速度增大，牵引力的功率增大，C对，A、B、D错。]
2．“嫦娥五号”上升器在月面点火，顺利将携带月壤的上升器送入预定环月轨道。“嫦娥五号”上升器以3 000 W的恒定功率上升，发动机工作6分钟做的功约为(　　)
A．1×104 J　　　　　　 B．1×105 J
C．1×106 J D．1×107 J
C　[功率恒定，加速上升，因此牵引力减小，为变力做功，根据题干信息得W＝Pt＝3 000×6×60 J≈1×106 J，故选项C正确。]
3．如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以某一初速度在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，若小方块恰能全部进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为(　　)
A．μMgl B．μMgl
C．μMgl D．2μMgl
A　[由于小方块受到的滑动摩擦力Ff从零开始均匀增大至μMg，故可作出如图所示的Ff-x图像进行求解，其图线与横轴围成图形的面积即滑动摩擦力做功的大小，即μMgl，故选项A正确。]
4．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点O处的小物块，在水平拉力F的作用下沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示。已知纵、横坐标轴单位长度代表的数值相同，纵、横坐标单位均为国际单位，曲线部分为半圆，则小物块运动到x0处时拉力所做的功为(　　)
A．Fmx0
B．(Fm＋F0)x0
C．(Fm－F0)x0＋F0x0
＋F0x0
C　[F-x图像与x轴所围的“面积”等于拉力做功的大小，则得到拉力做的功W＝F0x0＋π()2＝，由题图乙看出，Fm－F0＝，故W＝(Fm－F0)x0＋F0x0，选项C正确。]
5．(多选)质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是(　　)
A．at是汽车额定功率下的速度最大值
B．at不是汽车额定功率下的速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．题中所给条件求不出汽车的额定功率
BD　[汽车在额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝＝，故A项错误，B项正确；汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，故C项错误；由F－Ff＝ma可知，F＝Ff＋ma，因Ff未知，则求不出F，故求不出汽车的额定功率，故D项正确。]
6．一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，汽车发动机的牵引力将(　　)
A．保持不变
B．不断减小
C．突然减小，再增大，后保持不变
D．突然增大，再减小，后保持不变
C　[由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝Ff，加速度a＝0，若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小，整个过程中阻力Ff恒定不变，即减小油门后F＜Ff，所以汽车将减速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大，当F＝Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。选项C正确。]
7．(多选)如图所示，小球质量为m，悬线的长为L，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置B，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力f的大小不变，重力加速度为g，关于该过程，下列说法正确的是(　　)
A．重力做的功为mgL
B．悬线的拉力做的功为0
C．空气阻力f做的功为－mgL
D．空气阻力f做的功为－fL
ABD　[如图所示，因为拉力T在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即WT＝0，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A、B两点连线在竖直方向上的投影，为L，所以WG＝mgL，故A、B正确；将整个运动过程分成无数小段，空气阻力所做的总功等于每段小圆弧上f所做功的代数和，即Wf＝－＝－fL，故C错误，D正确。]
8．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，能正确表示从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系的是(　　)
A 　　　　　　B
C 　　　　　　D
C　[汽车在匀速行驶时牵引力等于阻力，而当功率减半时速度不变，由此可知牵引力减半，故阻力大于牵引力，车将减速，因功率恒定，而牵引力变大，由a＝知加速度逐渐减小，故做变减速运动。当牵引力等于阻力后，汽车将做匀速运动。由以上分析可知C项正确。]
9．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间关系图像和水平拉力的功率与时间关系图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．0～6 s内物体的位移大小为20 m
B．0～6 s内拉力做功为100 J
C．滑动摩擦力的大小为5 N
D．0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
D　[由题图甲可知，在0～6 s内物体的位移大小为x＝×(4＋6)×6 m＝30 m，故A错误；由题图乙可知，P-t图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则0～6 s内拉力做功为WF＝×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，摩擦力Ff＝F＝＝ N，故C错误；在0～6 s内物体的位移大小为30 m，滑动摩擦力做负功，即Wf＝－×30 J＝－50 J，D正确。]
10．(多选)如图所示是汽车牵引力F和车速倒数的关系图像，若汽车质量为2×103 kg，由静止开始沿平直公路行驶，阻力恒定，最大车速为30 m/s，则以下说法正确的是(　　)
A．汽车的额定功率为6×104 W
B．汽车运动过程中受到的阻力为6×103 N
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车做匀加速运动的时间是5 s
AD　[由题图像可知，汽车先做牵引力恒定的匀加速运动，再做功率恒定的变加速运动，P额＝F·vm＝2×103×30 W＝6×104 W，A正确，C错误；当汽车速度最大时牵引力F＝f＝2×103 N，B错误；汽车做匀加速运动的加速度a＝＝2 m/s2，汽车刚达到额定功率时的速度v′＝＝10 m/s，所以汽车做匀加速运动的时间t＝＝5 s，选项D正确。]
二、非选择题
11．若汽车的质量为2×103 kg(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动(如图甲所示)，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v-t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力Ff1的大小；
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。
[解析]　(1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有F1＝Ff1
P＝F1v1
解得Ff1＝＝ N＝2 000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有F2＝Ff2，P＝F2v2
解得Ff2＝＝ N＝4 000 N
刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1，根据牛顿第二定律，有Ff2－F1＝ma
解得a＝1 m/s2。
[答案]　(1)2 000 N　(2)1 m/s2
12．汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
[解析]　(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝0.1mg＋mg sin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因为F＝f时，额定功率P＝fvm
所以vm＝＝ m/s＝12.5 m/s。
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2匀加速行驶，由牛顿第二定律，有F′－f＝ma
解得F′＝ma＋f＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度，设为vm′，有
vm′＝＝ m/s＝ m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间
t＝≈13.9 s。
[答案]　(1)12.5 m/s　(2)13.9 s素养提升课(六)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用
1．会利用动能定理分析多过程问题，提升综合分析问题的能力。
2．能正确选择机械能守恒定律或动能定理解决实际问题。
3．理解力做功与能量转化的关系，能运用功能关系解决问题。
　利用动能定理处理多过程问题
1．平抛运动、圆周运动属于曲线运动，若只涉及位移和速度而不涉及时间，应优先考虑用动能定理列式求解。
2．用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，让草图帮助我们理解物理过程和各量关系。
3．若物体的运动过程包含多个运动阶段，可分段应用动能定理，也可全程运用动能定理。若不涉及中间量，全程应用动能定理更简单、更方便。若涉及多个力做功，应注意力与位移的对应性。
【典例1】　如图所示，ABCD为一竖直平面内的轨道，其中BC水平，A点比BC高出10 m，BC长1 m，AB和CD轨道光滑。一质量为1 kg的物体，从A点以4 m/s的速度开始运动，经过BC后滑到高出C点10.3 m的D点速度为0。求：(取g＝10 m/s2)
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数；
(2)物体第5次经过B点时的速度。
[思路点拨]　(1)重力做功与物体运动路径无关，其大小为mgΔh，但应注意做功的正、负。
(2)物体第5次经过B点时在水平面BC上的路径为4sBC。
[解析]　(1)物体由A运动到D的过程，由动能定理得－mg(h－H)－μmgsBC＝，解得μ＝0.5。
(2)物体第5次经过B点时，物体在BC上滑动了4次，
由动能定理得mgH－μmg·4sBC＝，
解得v2＝4 m/s。
[答案]　(1)0.5　(2)4 m/s
[拓展]　在上例中，不改变任何条件，物体最后停止的位置(距B点多少米)。
[解析]　分析整个过程，由动能定理得
mgH－μmgs＝，
解得s＝21.6 m
所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m，
故距B点的距离为2 m－1.6 m＝0.4 m。
[答案]　距B点0.4 m
　动能定理在多过程问题中的应用技巧
(1)当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
(2)研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关心中间运动的细节。
[跟进训练]
1．如图所示，一根放置于水平地面的轻质弹簧一端固定在竖直的墙壁上，处于原长时另一端位于C点，一质量为1 kg的物体以4 m/s的初速度沿水平地面的A点处向右运动，物体可视为质点，压缩弹簧反弹后刚好停在了AC的中点B，已知物体与水平地面的动摩擦因数为0.2,A、C之间的距离为2 m，则整个过程中弹簧的最大弹性势能为(g取10 m/s2)(　　)
A．3 J　　　　　　　　 B．4 J
C．5 J D．6 J
A　[由A点到B点应用动能定理得－μmg(xAC＋xCB＋2Δx)＝，由A点到压缩弹簧到最短位置应用动能定理得－μmg(xAC＋Δx)－Epm＝，联立可解得Epm＝3 J，故A正确，B、C、D错误。故选A。]
2．小明用如图所示轨道探究滑块的运动规律。长L1＝1 m的斜轨道倾角为α＝37°，斜轨道底端平滑连接长L2＝0.1 m的水平轨道，水平轨道左端与半径R＝0.2 m的光滑半圆形轨道底端B平滑连接。将质量m＝0.05 kg的滑块(可不计大小)从斜轨道顶端释放，滑块与斜轨道及水平轨道间的动摩擦因数均为μ＝0.3。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。
(1)若无初速度释放滑块，求滑块到达B点时对半圆形轨道压力FN的大小；
(2)为保证滑块能到达半圆形轨道顶端A，应至少以多大速度v1释放滑块？
[解析]　(1)滑块从斜轨道顶端滑到B点的过程，根据动能定理有：mgL1sin α－μmgL1cos α－μmgL2＝mv2
在B点由牛顿第二定律得：F－mg＝m
解得F＝2.15 N
由牛顿第三定律得滑块到达B点时对半圆形轨道压力FN的大小为2.15 N。
(2)若滑块恰能到达半圆形轨道顶端A，到达A时速度记为v2，则mg＝
解得v2＝ m/s
从斜轨道顶端到A由动能定理有：
mgL1sin α－μmgL1cos α－μmgL2－2mgR＝
解得：v1＝ m/s。
[答案]　(1)2.15 N　(2) m/s
　机械能守恒定律和动能定理的综合应用
1．机械能守恒定律和动能定理的比较
项目 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制
研究对象 系统(或单个物体) 单个物体
关注角度 守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合力做功情况
2．适用范围
(1)动能定理：恒力做功、变力做功、分段做功、全程做功等均可适用。
(2)机械能守恒定律：只有系统内的弹力或重力做功。
【典例2】　如图所示为2022年北京冬奥会跳台滑雪场馆“雪如意”的赛道示意图，由助滑区、空中飞行区、着陆缓冲区等组成。运动员保持蹲踞姿势从A点由静止出发沿直线向下加速运动，经过距离A点s＝20 m处的P点时，运动员的速度为v1＝50.4 km/h。运动员滑到B点时快速后蹬，以v2＝90 km/h 的速度飞出，经过一段时间的空中飞行，以v3＝126 km/h的速度在C点着地。已知B、C两点间的高度差h＝80 m，运动员的质量m＝60 kg，重力加速度g取9.8m/s2，计算结果均保留两位有效数字。求：
(1)A到P过程中运动员的平均加速度大小；
(2)以B点为零势能参考点，到C点时运动员的机械能；
(3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，运动员克服阻力做的功。
[解析]　(1)v1＝50.4 km/h＝14 m/s
由速度—位移的关系式得＝2as
代入数据解得a＝4.9 m/s2。
(2)v2＝90 km/h＝25 m/s
v3＝126 km/h＝35 m/s
以B点为零势能参考点，到C点时运动员的机械能为
E＝
代入数据解得E≈－1.0×104 J。
(3)从B点起跳后到C点落地前的飞行过程中，由动能定理得
mgh－W＝
代入数据解得W≈2.9×104 J。
[答案]　(1)4.9 m/s2　(2)－1.0×104 J　(3)2.9×104 J
[跟进训练]
3．在足球比赛中，甲队队员在乙队禁区附近主罚定位球，并将球从球门右上角贴着球门射入，如图所示。已知球门高度为h，足球飞入球门时的速度为v，足球质量为m，不计空气阻力和足球大小，则该队员将足球踢出时对足球做的功为(　　)
A．mv2 B．mgh＋mv2
C．mgh D．mv2－mgh
B　[运动员将球踢出时做的功等于足球获得的动能，根据动能定理得W＝；足球从被运动员以速度v0踢出到飞入球门的过程中，只有重力做功，机械能守恒，以地面为参考平面，则＝mgh＋mv2，故W＝＝。故B正确，A、C、D错误。]
4．跷跷板是一种常见的游乐设施。两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端上升，另一端下落，如此反复。如图所示，质量分别为2m、m的甲、乙两人对坐在跷跷板的两端，跷跷板的长度为L，开始时甲所在端着地，跷跷板与水平面之间的夹角为α＝30°，甲蹬地后恰好让乙所在端着地，该过程中甲、乙两人的速度大小始终相等且乙的脚未与地面接触。假设在跷跷板转动过程中甲、乙两人均可看成质点，跷跷板的质量、转轴处的摩擦和甲蹬地过程中跷跷板转动的角度均忽略不计，重力加速度为g，求：
(1)甲蹬地结束时甲的速度大小v；
(2)甲蹬地结束至乙所在端着地过程中，跷跷板对乙做的功W。
[解析]　(1)甲蹬地结束时，甲、乙的速度大小均为v，乙所在端恰好着地说明此时甲乙速度均为0，以水平地面为参考平面，跷跷板转动过程中，对甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律得＋mgL sin α＝2mgL sin α
解得v＝。
(2)甲蹬地结束至乙所在端着地过程中，对乙由动能定理得W＋mgL sin α＝0－mv2
解得W＝－mgL。
[答案]　(1)　(2)－mgL
　能量守恒定律、功能关系的理解和应用
1．能量守恒定律
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．功能关系概述
(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程。
(2)功是能量转化的量度。做了多少功，就有多少能量发生转化。
3．功与能的关系：由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下表。
功 能量转化 关系式
重力做功 重力势能的改变 WG＝－ΔEp
弹力做功 弹性势能的改变 WF＝－ΔEp
合力做功 动能的改变 W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功 机械能的改变 W＝ΔE机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功 内能的改变 Ff x相对＝Q
【典例3】　(多选)如图所示，倾角为θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端平齐。用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　　)
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少了mgl
C．物块减少的重力势能等于软绳克服摩擦力所做的功
D．软绳减少的重力势能小于其增加的动能与克服摩擦力所做的功之和
BD　[以物块为研究对象，细线对物块做负功，物块机械能减少，选项A错误；开始时软绳的重心在最高点下端l sin 30°＝处，物块由静止释放后向下运动，当软绳刚好全部离开斜面时，软绳重心在最高点下端处，故软绳的重心下降了l，软绳重力势能共减少了mgl，选项B正确；根据功能关系，细线对软绳做的功与软绳重力势能的减少量之和等于其动能的增加量与克服摩擦力所做的功之和，物块减少的重力势能等于克服细线拉力所做的功及其动能的增加量，选项D正确，C错误。]
[跟进训练]
5．(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度由底端冲上倾角为30°的固定斜面，上升的最大高度为h，其加速度大小为g。在这个过程中，物体(　　)
A．重力势能增加了mgh
B．动能减少了mgh
C．动能减少了
D．机械能损失了
AC　[物体重力势能的增加量等于克服重力做的功，选项A正确；合力对物体做的功等于物体动能的变化量，则可知动能减少量为ΔEk＝ma＝mgh，选项B错误，选项C正确；物体机械能的损失量等于克服摩擦力做的功，因为mgsin 30°＋Ff＝ma，所以Ff＝mg，故克服摩擦力做的功Wf＝Ff＝mg＝mgh，选项D错误。]
素养提升练(六)　动能定理、机械能守恒定律及功能关系的应用
一、选择题
1．木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度如图所示，从子弹开始射入到共同上摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．子弹的机械能守恒
B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块总机械能守恒
D．子弹和木块上摆过程中机械能守恒
D　[子弹射入木块过程中，系统中摩擦力做负功，机械能减少；而共同上摆过程中，系统只有重力做功，机械能守恒。综上所述，整个过程机械能减少，减少部分等于克服摩擦力做功产生的热量。]
2．某运动员在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功100 J。该运动员在此过程中(　　)
A．动能增加了1 900 J
B．动能增加了2 000 J
C．重力势能减小了1 900 J
D．重力势能减小了2 000 J
C　[由题可得：重力做功WG＝1 900 J，则重力势能减小1 900 J，故选项C正确，D错误；由动能定理得WG－Wf＝ΔEk，克服阻力做功Wf＝100 J，则动能增加1 800 J，故选项A、B错误。]
3．如图所示，假设在某次比赛中运动员从10 m高处的跳台跳下，设水的平均阻力约为其体重的3倍，在粗略估算中，运动员可看作质点，为了保证运动员的人身安全，池水深度至少为(不计空气阻力)(　　)
A．5 m　　　　　　　 B．3 m
C．7 m D．1 m
A　[设水深h，对全程运用动能定理得mg(H＋h)－fh＝0，f＝3mg，即mg(H＋h)＝3mgh。所以h＝5 m。]
4．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(　　)
－μmg(s＋x)
－μmgx
C．μmgs
D．μmg(s＋x)
A　[根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为Wf＝μmg(s＋x)，由能量守恒定律可得＝W弹＋Wf，解得W弹＝－μmg(s＋x)，故选项A正确。]
5．(多选)质量为m的物体，在距地面h高处以的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的有(　　)
A．物体的重力势能减少
B．物体的重力势能减少了mgh
C．物体的动能增加
D．重力做功mgh
BD　[物体在下落过程中，重力做正功为mgh，则重力势能减小mgh，A错误，B、D正确；物体的合力为，则合力做功为，所以物体的动能增加，C错误。]
6．如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P点相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为(　　)
A．mgl B．mgl
C．mgl D．mgl
A　[由题意可知，PM段细绳的机械能不变，未拉起时，MQ段细绳重心在MQ中点处，与M距离为，Q拉到M点时，MQ段细绳重心与M距离为，则MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加ΔEp＝mg·＝mgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W＝mgl，故选项A正确，B、C、D错误。]
7．(多选)如图所示，一木块放在光滑的水平面上，一颗子弹水平射入木块的过程中，子弹受到的平均阻力为f，射入木块的深度为d，此过程木块移动了s，则该过程有(　　)
A．子弹损失的动能为f(s＋d)
B．子弹对木块做功为fs
C．子弹动能的减少量等于木块动能的增加量
D．子弹、木块组成的系统损失的机械能为fd
ABD　[对子弹，根据动能定理有－f (s＋d)＝ΔEk1，可知子弹损失的动能为f(s＋d)，A正确；对木块，有fs＝ΔEk2，可知木块增加的动能为fs，则子弹对木块做功为fs，B正确；根据能量守恒，子弹动能的减少量等于木块动能的增加量和系统产生的热量之和，C错误；系统机械能损失为E损＝f(s＋d)－fs＝fd，D正确。]
8．(2022·西南大学附属中学高一期中)如图所示，水平固定粗糙长杆上套有物块a，细线跨过O点的轻质光滑定滑轮一端连接物块a，另一端竖直悬挂物块b，开始时a位于杆上P点，当a、b静止释放后b向下运动，已知所有物体装置均处于同一竖直面上，忽略空气阻力。当a在水平杆P、C间向右运动过程，下列说法正确的是(　　)
A．物块b减少的重力势能等于物块b增加的动能
B．物块b的机械能在增加
C．物块b重力做的功等于物块b动能的增加量
D．物块a克服杆的作用力做的功等于物块a、b组成的系统减少的机械能
D　[由于绳子拉力对物块b做负功，物块b的机械能不守恒，机械能在减少，B错误；物块b的机械能不守恒，则物块b减少的重力势能不等于物块b增加的动能，A错误；对物块b根据动能定理有WG－WF＝ΔEk，即物块b重力做的功不等于物块b动能的增加量，C错误；对于a、b系统，根据能量守恒定律，物块a与粗糙长杆之间的摩擦产生的热量等于系统的机械能的减少量，即物块a克服杆的作用力做的功等于物块a、b组成的系统减少的机械能，D正确。故选D。]
二、非选择题
9．如图甲所示，在水平地面上放置一个质量为m＝4 kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，g取10 m/s2，求：
(1)出发时物体运动的加速度大小；
(2)物体能够运动的最大位移。
[解析]　(1)由牛顿第二定律得F－μmg＝ma，
由题图乙可知出发时推力F0＝100 N，
代入数据得a＝20 m/s2。
(2)根据题图像得推力对物体做的功等于图线与x轴围成的面积，则推力对物体做功
W＝F0x0＝250 J，
根据动能定理可得W－μmgxm＝0，
解得xm＝12.5 m。
[答案]　(1)20 m/s2　(2)12.5 m
10．如图所示，传送带的速度是3 m/s，两圆心的距离s＝4.5 m，现将m＝1 kg的小物体轻放在左轮正上方的传送带上，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.15，电动机带动传送带将物体从左轮运送到右轮正上方时，求：(g取10 m/s2)
(1)小物体获得的动能Ek；
(2)这一过程克服摩擦产生的热量Q；
(3)这一过程电动机多消耗的电能E。
[解析]　(1)设小物体与传送带达到共同速度时，物体相对地面的位移为x
由动能定理可得μmgx＝mv2，
解得x＝3 m＜4.5 m，
即物体可与传送带达到共同速度，此时
Ek＝mv2＝×1×32 J＝4.5 J。
(2)由μmg＝ma得a＝1.5 m/s2，
由v＝at得t＝2 s，
则Q＝μmg(vt－x)＝0.15×1×10×(6－3) J＝4.5 J。　
(3)由能量守恒知，E＝Ek＋Q＝4.5 J＋4.5 J＝9 J。
[答案]　(1)4.5 J　(2)4.5 J　(3)9 J
11．如图所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20 m、h2＝0.10 m，BC水平距离L＝1.00 m。轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高。当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g＝10 m/s2)
(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；
(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；
(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由。
[解析]　(1)由机械能守恒定律可得：
E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1
＝0.05×10×0.2 J＝0.1 J
由ΔEk＝可得，v0＝2 m/s。
(2)当弹簧压缩量为2d时，由E弹∝d2可得
E弹′＝4E弹＝4mgh1
对滑块从弹簧释放运动到C点的过程，由能量守恒定律可得：E弹′＝mg(h1＋h2)＋μmgL，解得μ＝0.5。
(3)设螺旋圆形轨道的半径为R，滑块恰能通过螺旋圆形轨道最高点必须满足的条件是mg＝m
由机械能守恒定律可得：E弹＝mv2，由(1)可知
E弹＝mgh1，
解得Rm＝0.4 m
即0＜R≤0.4 m时，
滑块能上升到B点；
当R>0.4 m时，
滑块会脱离螺旋圆形轨道，
不能上升到B点。
[答案]　(1)0.1 J　2 m/s　(2)0.5　(3)见解析主题提升课2 机械能及其守恒定律
主题一　能量观念的建立及应用
1．理解重力势能与重力做功的关系，理解动能定理和机械能守恒定律，学会从机械能转化和守恒的视角分析物理问题，形成初步的能量观念。
2．在应用机械能守恒定律解决问题的过程中，体会守恒的思想，领悟从守恒的角度分析问题的方法，增强分析和解决问题的能力。
【典例1】　放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的关系图像和拉力的功率与时间的关系图像如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．物体的质量为 kg
B．滑动摩擦力的大小为5 N
C．0～6 s拉力做的功为30 J
D．0～2 s内拉力做的功为20 J
A　[由题中v-t图像知，在2～6 s内，物体做匀速直线运动且速度v＝6 m/s，P＝10 W，则滑动摩擦力为f＝F＝＝ N＝ N，故B错误；当P′＝30 W时，v＝6 m/s，得到牵引力F′＝＝ N＝5 N，0～2 s内物体的加速度a＝＝3 m/s2，根据牛顿第二定律得F′－f＝ma，代入数据可得m＝ kg，故A正确；在0～2 s内，由P-t图像围成的面积表示拉力做的功，可得W1＝t1＝30 J，同理在2～6 s内，拉力做的功W2＝Pt2＝10×(6－2) J＝40 J，故0～6 s 拉力做的功为W＝W1＋W2＝70 J，故C、D错误。]
【典例2】　(多选)如图所示，一根原长为L的轻弹簧，下端固定在水平地面上，一个质量为m的小球，在弹簧的正上方从距地面高度为H处由静止下落压缩弹簧。若弹簧的最大压缩量为x，小球下落过程受到的空气阻力恒为Ff，则小球从开始下落至最低点的过程(　　)
A．小球动能的增量为0
B．小球重力势能的增量为mg(H＋x－L)
C．弹簧弹性势能的增量为(mg－Ff)(H＋x－L)
D．系统机械能减少FfH
AC　[小球下落的整个过程中，开始时速度为零，结束时速度也为零，所以小球动能的增量为0，选项A正确；小球下落的整个过程中，重力做功WG＝mgh＝mg(H＋x－L)，根据重力做功量度重力势能的变化得WG＝－ΔEp，则小球重力势能的增量为－mg(H＋x－L)，选项B错误；根据动能定理得WG＋Wf＋W弹＝0，所以W弹＝－(mg－Ff)(H＋x－L)，根据弹簧弹力做功量度弹性势能的变化得W弹＝，则弹簧弹性势能的增量为(mg－Ff)(H＋x－L)，选项C正确；系统机械能的减少量等于重力、弹力以外的力做的功，小球从开始下落至最低点的过程，克服阻力做的功为Ff(H＋x－L)，所以系统机械能减少Ff(H＋x－L)，选项D错误。]
主题二　科学规律的探究
1．通过实验，验证机械能守恒定律，理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
2．能明确实验需要测量的物理量，由此设计实验方案。会使用所提供的实验器材进行实验并获得数据，通过对数据的分析发现其中的特点，进而归纳出实验结论，并尝试对其作出解释。
【典例3】　利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置如图所示，水平桌面上固定一倾斜的气垫导轨，导轨上A点处有一带长方形遮光片的滑块，其总质量为M，左端由跨过轻质光滑定滑轮的细绳与一质量为m的小球相连；遮光片两条长边与导轨垂直；导轨上B点有一光电门，可以测量遮光片经过光电门时的挡光时间t，用d表示A点到光电门B处的距离，b表示遮光片的宽度，将遮光片通过光电门的平均速度看作滑块通过B点的瞬时速度，实验时滑块在A处由静止开始运动。
(1)滑块通过B点的瞬时速度可表示为________；
(2)某次实验测得倾角θ＝30°，重力加速度用g表示，滑块从A处到达B处时m和M组成的系统动能增加量可表示为ΔEk＝______，系统的重力势能减少量可表示为ΔEp＝______，在误差允许的范围内，若ΔEk＝ΔEp，则可认为系统的机械能守恒。
[解析]　(1)由于遮光片的宽度b很小，所以我们用很短时间内的平均速度代替瞬时速度，则滑块通过光电门B的速度为vB＝。
(2)滑块从A处到达B处时m和M组成的系统动能增加量为ΔEk＝(M＋m)＝；系统的重力势能减少量可表示为ΔEp＝mgd－Mgd sin 30°＝gd。
[答案]　(1)　(2)　gd

展开更多......

收起↑