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第六章　平面向量及其应用
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【重要结论】　(1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．
(2)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
5．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线 x1y2－x2y1＝0．
6．平面向量的数量积
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
(2)数量积的定义、性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|·cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
【易错警示】　(1)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；(2)两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
(3)投影向量：设a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ ＝.
(4)平面向量数量积的运算律
①交换律：a·b＝b·a；
②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【拓展】　极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
7．正弦、余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形 a＝2R sin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C， R为△ABC的外接圆半径 cos A＝； cos B＝； cos C＝
8．三角形面积公式
S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
第七章　复数
1．复数的概念
(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：＝＝＝i(c＋di≠0)．
第八章　立体几何初步
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
(2) 特殊的四棱柱
(3)旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
【重要结论】　按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【拓展】　求空间几何体的体积的常用方法：公式法、割补法、等体积法．
5．4个基本事实
基本事实1　过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
基本事实2　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4　平行于同一条直线的两条直线平行．
推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．
6．空间点、线、面的位置关系
(1)空间两条直线的三种位置关系
(2)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(3)线面、面面平行(垂直)的判定与性质定理
关系 判定定理 性质定理
直线 与平 面平行 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
平面 与平 面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
直线 与平 面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行
平面 与平 面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
【必记结论】　三种关系之间的转化
(4)三种角的定义及范围
类别 定义 范围
异面直 线所成 的角 设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) (0°，90°]
直线和 平面所 成的角 一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角 [0°，90°]
二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 [0°，180°]
第九章　统计
1．普查与抽样调查
(1)全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．
①总体：调查对象的全体．
②个体：组成总体的每一个调查对象．
(2)抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法．
①样本：从总体中抽取的那部分个体．
②样本量：样本中包含的个体数．
2．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n(2)方法：抽签法和随机数法．
3．分层随机抽样
(1)一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则＝，＝.
4．作频率分布直方图的步骤
5．总体百分位数的估计
(1)百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝n×p%；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
(3)四分位数
①25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
②第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
6．总体集中趋势的估计
名称 概念
平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn)
中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数
7．总体离散程度的估计
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的
(1)方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
(2)标准差
s＝.
8．分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2．
以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则s2＝＋()2]}．
【重要结论】　(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
第十章　概率
1．样本空间与样本点
(1) 样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2) 样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间；称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件 (不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
3．两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 A B
相等关系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
4．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
5．古典概型
(1)古典概型试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
6．概率的基本性质
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
7．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．
模块综合测评
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)
A．1＋i　　 B．1－i
C．－1＋i 　 D．－1－i
B　[化简可得z＝＝＝1＋i，∴的共轭复数＝1－i，故选B.]
2．(2022·湖南长沙实验中学期末)“治国之道，富民为始．”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼．共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是(　　)
A．平均数小，方差大 　 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差大 　 D．平均数大，方差小
D　[方差反映的是一组数据的波动情况，方差越大说明数据偏离平均水平的程度越大，平均数是整体的平均水平，是一组数据的集中程度的刻画，所以最能体现共同富裕要求的是平均数大，方差小．故选D.]
3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列结论正确的是(　　)
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B．若m∥α，β⊥α，则m∥β
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，m⊥β，则α∥β
C　[若m∥α，不妨设m在α内的投影为m′，则m∥m′，对于选项A：若m∥α，m⊥n，则n⊥m′，结合线面垂直判定定理可知，n不一定垂直α，故A错误；
对于选项B：若m∥α，β⊥α，此时m与β可能相交、平行或m在β上，故B错误；对于选项C：若m∥α，n⊥α，则n⊥m′，从而m⊥n，故C正确；
对于选项D：若m∥α，m⊥β，则m′⊥β，结合面面垂直判定定理可知，α⊥β，故D错误．故选C.]
4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则(　　)
A．a＝＋1
B．A＝15°
C．C＝45°
D．△ABC为钝角三角形
D　[由正弦定理，＝ 有sin C＝，因为C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有两解，故ABC均错误，当C＝45°时，A＝180°－45°－30°＝105°，或当C＝135°时△ABC均为钝角三角形，故D正确．故选D.]
5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[由题知，基本事件的总数有25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、候、公，共5种情形，故所求事件的概率为1－＝＝.故选C.]
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[＝
＝)＋·
＝(－)＋
＝.
故选B.]
7．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
C　[如图所示，补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，
则所求角为∠BC1D，∵BC1＝，BD＝＝，C1D＝AB1＝，易得C1 D2 ＝，因此cos ∠BC1D＝＝＝，故选C.]
8．(2022·吉林期末)体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为(　　)
A．S球B．S球C．S正四面体D．S正方体B　[设球、正四面体和正方体的体积都为V，若球的半径为R，则V＝πR3，可得其表面积为S1＝4πR2＝.若正四面体的棱长为m，则V＝·m2·m＝m3，可得m＝，所以其表面积为S2＝4×m2＝m2＝.
若正方体的棱长为a，可得V＝a3，所以正方体的表面积为S3＝6a2＝6＝，可得S1二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)
9．为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分)．绘制了如图所示的六维能力雷达图．例如，图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下列说法正确的是(　　)
A．甲的逻辑推理指标高于乙的逻辑推理指标值　
B．甲的数学建模指标值高于乙的直观想象指标值
C．甲的数学运算指标值高于甲的直观想象指标值
D．甲的六维能力整体水平低于乙的六维能力整体水平
AD　[对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值高于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A正确；
对于B选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学建模能力指标值低于乙的直观想象能力指标值，故选项B错误；
对于C选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值低于甲的直观想象能力指标值，所以选项C错误.
对于D选项，甲的六维能力指标值的平均值为＝，乙的六维能力指标值的平均值为＝4>，所以甲的六维能力指标值整体水平低于乙的六维能力指标值整体水平，所以选项D正确．故选AD.]
10．已知复数z满足z＝2i，则(　　)
A．＝
B．z的虚部为－i
C．z的共轭复数为＝－1＋i
D．z是方程x2－2x＋2＝0的一个根
AD　[因为(i－1)z＝2i，所以z＝＝＝1－i，
对于A，＝＝，故选项A正确；
对于B，z的虚部为－1，故选项B错误；
对于C，z的共轭复数为＝1＋i，故选项C错误；
对于D，因为方程x2－2x＋2＝0的根为＝1±i，所以z是方程x2－2x＋2＝0的一个根，故选项D正确．故选AD.]
11．口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“第一次取出的是红球”，C＝“第二次取出的是红球”，D＝“取出的两球不同色”，下列判断中正确的(　　)
A．A与B相互独立 　 B．A与D互为对立
C．B与C互斥 　 D．B与D相互独立
ABD　[盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共4×3＝12个基本事件，事件A共有4个基本事件，事件B共6个基本事件，事件C共6个基本事件，事件D共8个基本事件，由题可得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(D)＝＝，P(AB)＝＝，P(BD)＝＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，P(BD)＝P(B)P(D)，所以A与B相互独立，B与D相互独立，故AD正确；对于B，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与D互为对立事件，故B正确；
对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误．故选ABD.]
12．已知正三棱台的上底面边长为6，下底面边长为12，侧棱长为6，则(　　)
A．棱台的高为2
B．棱台的表面积为126
C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D．棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为
BD　[在正三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1＝6，AB＝12，AA1＝6，在平面ABB1A1中，由点A1向AB作垂线，垂足为D，取线段BC的中点E，连接AE，在平面AEA1中，由点A1向AE作垂线，垂足为F，连接DF，在等腰梯形ABB1A1中，AB＝12，B1A1＝6，AA1＝6，则AD＝＝3，A1D＝＝3，所以棱台的表面积为3×(6＋12)×3×62＋×122＝126，故选项B正确；又三棱台为正三棱台，所以A1F为正三棱台ABC-A1B1C1的高，所以A1F⊥AB，由A1F∩A1D＝A1，所以AB⊥平面A1DF，AB⊥DF，在Rt△ADF中，AF＝＝＝2， 在Rt△A1AF中，A1 F＝＝＝2，所以棱台的高为2，故选项A错误；
棱台的侧棱与底面所成角为∠A1AE，cos ∠A1AE＝＝＝，故选项C错误；
棱台的侧面与底面所成二面角为∠A1DF，sin ∠A1DF＝＝＝，故选项D正确．故选BD.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在一次校园歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是________．
95　[依题意，先将上述6个分数从小到大排列为：88，89，92，93，95，99，6×75%＝4.5，向上取整为第5个数，即95．]
14．已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是________．
0.79　[∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，∴1－(1－0.5)(1－0.4)(1－0.3)≥a，解得a≤0.79．∴a的最大值是0.79．]
15．如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为，则此时圆柱母线与水面所在平面所成的角大小为________．
　[如图所示，由题意可知：∠ABC＝，
母线与水平面所成角为：∠EDB＝∠DBF＝＝.]
16．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60 m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m．
30　[如图所示，
设水柱CD的高度为h，
在Rt△ACD中，∵∠DAC＝45°，∴AC＝h，
∵∠BAE＝30°，∴∠CAB＝60°，
又∵B，A，C在同一水平面上，
∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴BC＝h，
在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos 60°，
∴＝h2＋602－2×60×h×，
即h2＋30h－1800＝0，解得h＝30．
∴水柱的高度是30 m．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2022·浙江台州期末)设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2＋i，z2＝1－2i.且________．请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答．
①z1＋z2∈R；②z1z2＝6－2i；③在复平面内复数z1对应的点在第一象限的角平分线上．
(1)求实数a的值；
(2)若＋b(b∈R)是纯虚数，求实数b的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)若选①：由z1＋z2＝3＋(a2－3)i∈R，得a2－3＝0，解得a＝±.
若选②：由z1z2＝2a2＋(a2－5)i＝6－2i ，解得a＝±.
若选③：由2＝a2－1得a＝±.
(2)＋b＝＋b＝－＋b＋i，由－＋b＝0，解得b＝.
18．(本小题满分12分)(2022·山东济南期末)已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为180，120，120．现采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学去敬老院参加献爱心活动．
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从该7名同学中随机抽取2名同学承担敬老院卫生打扫工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②记事件M＝“抽取的两名同学中至少有一名来自高一年级”，求P(M).
[解]　(1)由题意知，高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取7名同学．
故应从高一、高二、高三三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①由题意知，所有可能的抽取结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)．
②不妨设7名同学中来自高一的3人分别为A，B，C，则M＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)}，共含有15个样本点．
所以P(M)＝＝.
19．(本小题满分12分) 甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．
(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率．
[解]　记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A，B，C，则A，B，C两两相互独立．
(1)由题意得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，
∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5．
(2)∵A，B，C两两相互独立，
∴两两相互独立，
∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为
P(＝)＝0.8×0.75×0.5＝0.3，
∴这一小时内至少有一台需要照顾的概率为P＝1－P()＝1－0.3＝0.7．
20．(本小题满分12分)(2022·湖北十堰期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(1＋cos A，sin B)，n＝且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC的中点，AD＝1，求△ABC面积的最大值．
[解]　(1)由m＝(1＋cos A，sin B)，n＝且m∥n，
得(1＋cos A)b＝a sin B，
由正弦定理得(1＋cos A)sin B＝sin A sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴1＋cos A＝sin A，
∴2sin ＝1，
又∵A∈(0，π)，A－∈，∴A－＝，即A＝.
(2)由＝，得到＝＋＋2·)，
则4＝b2＋c2＋2bccos ∠BAC，
化简得b2＋c2＝4－bc≥2bc，∴bc≤，
当且仅当b＝c时，等号成立，
∴S△ABC＝bcsin A≤＝，
即△ABC面积的最大值为.
21．(本小题满分12分)(2022·湖北孝感重点中学联考期中)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；
(2)已知落在[50，60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2．
[解]　(1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030．
成绩落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65．
落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9．
设第80百分位数为m，
由0.65＋(m－80)×0.025＝0.80，得m＝86，
故第80百分位数为86．
设平均数为，由图中数据可知：
＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010)＝74．
(2)由图可知，成绩在[50，60)的市民人数为100×0.1＝10，
成绩在[60，70)的市民人数为100×0.2＝20．
故＝＝62，
s2＝[10×(56－62)2＋10×7＋20×(65－62)2＋20×4]＝23．
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．
22．(本小题满分12分)(2022·山东临沂期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AA1＝AC＝3．
(1)设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，判断l与AC的位置关系，并证明；
(2)求证：A1C⊥BC1；
(3)若A1C与平面BCC1B1所成的角为30°，求三棱锥A1-ABC内切球的表面积S.
[解]　(1)判断l∥AC.证明如下：连接BC1，
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴平面A1B1C1∥平面ABC，
∵A1C1 平面A1B1C1，∴A1C1∥平面ABC，
又平面A1BC1∩平面ABC＝l，A1C1 平面A1BC1，
∴A1C1∥l.
又∵A1C1∥AC，∴l∥AC.
(2)证明：连接AC1，
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB.
又∠BAC＝90°，A1A∩AC＝A，
∴AB⊥平面ACC1A1．
又A1C 平面ACC1A1，∴AB⊥A1C，
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC，
∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C，
∵AC1∩AB＝A，AC1 平面ABC1，AB 平面ABC1，∴A1C⊥平面ABC1．
又∵BC1 平面ABC1，∴A1C⊥BC1．
(3)过A1作A1D⊥B1C1，垂足为D，连接CD，如图所示，
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴BB1⊥平面A1B1C1，又A1D 平面A1B1C1，
∴BB1⊥A1D，
∵B1C1⊥A1D，BB1∩B1C1＝B1，
∴A1D⊥平面BCC1B1，
∴∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角，即∠A1CD＝30°，
∵AA1＝AC＝3，∴A1C＝3，
∴sin ∠A1CD＝sin 30°＝＝＝，
∴A1D＝，∴在Rt△A1C1D中，sin ∠A1C1D＝＝＝，
∴∠A1C1D＝45°，又∠B1A1C1＝90°，∴A1B1＝A1C1＝3．
设三棱锥A1-ABC内切球的半径为r，球心为O，连接OA，OB，OC，OA1(图略)，则由＝V三棱锥O-ABC＋＋＋得×3×3×3＝r，即r＝＝＝，
∴三棱锥A1-ABC内切球的表面积S＝4πr2＝＝π．第六章　平面向量及其应用
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【重要结论】　(1)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1．
(2)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
4．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
5．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线 x1y2－x2y1＝0．
6．平面向量的数量积
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
(2)数量积的定义、性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|·cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
【易错警示】　(1)两个向量a，b的夹角为锐角 a·b＞0且a，b不共线；(2)两个向量a，b的夹角为钝角 a·b＜0且a，b不共线．
(3)投影向量：设a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝.
(4)平面向量数量积的运算律
①交换律：a·b＝b·a；
②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【拓展】　极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].
7．正弦、余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C， R为△ABC的外接圆半径 cos A＝； cos B＝； cos C＝
8．三角形面积公式
S＝absin C＝ac sin B＝bc sin A.
第七章　复数
1．复数的概念
(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．
3．复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：＝＝＝i(c＋di≠0)．
第八章　立体几何初步
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
(2) 特殊的四棱柱
(3)旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形 任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
【重要结论】　按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
4．柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
【拓展】　求空间几何体的体积的常用方法：公式法、割补法、等体积法．
5．4个基本事实
基本事实1　过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
基本事实2　如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4　平行于同一条直线的两条直线平行．
推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．
6．空间点、线、面的位置关系
(1)空间两条直线的三种位置关系
(2)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(3)线面、面面平行(垂直)的判定与性质定理
关系 判定定理 性质定理
直线 与平 面平行 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
平面 与平 面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
直线 与平 面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 垂直于同一个平面的两条直线平行
平面 与平 面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
【必记结论】　三种关系之间的转化
(4)三种角的定义及范围
类别 定义 范围
异面直 线所成 的角 设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) (0°，90°]
直线和 平面所 成的角 一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角 [0°，90°]
二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 [0°，180°]
第九章　统计
1．普查与抽样调查
(1)全面调查(普查)：对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查．
①总体：调查对象的全体．
②个体：组成总体的每一个调查对象．
(2)抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法．
①样本：从总体中抽取的那部分个体．
②样本量：样本中包含的个体数．
2．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n(2)方法：抽签法和随机数法．
3．分层随机抽样
(1)一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
(2)如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则＝，＝.
4．作频率分布直方图的步骤
5．总体百分位数的估计
(1)百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据；
第2步，计算i＝n×p%；
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
(3)四分位数
①25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
②第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
6．总体集中趋势的估计
名称 概念
平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么(x1＋x2＋…＋xn)就是这组数据的平均数，用表示，即＝(x1＋x2＋…＋xn)
中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数
众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数
7．总体离散程度的估计
假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的
(1)方差
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
(2)标准差
s＝.
8．分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2．
以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则s2＝＋()2]}．
【重要结论】　(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2．
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．
第十章　概率
1．样本空间与样本点
(1) 样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2) 样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间；称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
2．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件 (不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．
3．两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 A B
相等关系 B A且A B A＝B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
4．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
5．古典概型
(1)古典概型试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
6．概率的基本性质
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0．
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0．
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
7．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．
(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与与B，与也都相互独立．

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