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二、向量在几何中的应用
归纳总结：
1）平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、角度等都可以由向量的线性运算及数量积来解决.
2）向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
② 通过向量运算研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题.
③ 把运算结果“翻译”成几何关系.
【题干】1.在中，若，则是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【答案】A
【解析】分析：根据向量加减法三角形法则，向量数量积的运算公式，对式子进行化简，进而得到，由此即可判断出的形状.
∵，∴
∴，∴，则.
【点评】考查向量的加、减法，向量垂直的充要条件，进而判断三角形形状，关键在于条件的转化，难度一般.
【题干】2.若是非零向量，且，，则函数是（ ）.
A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数
C. 二次函数且是偶函数 D. 二次函数但不是偶函数
【答案】A
【解析】，又因为，即，所以，因为，所以是一次函数，且关于原点对称，所以是奇函数.
【题干】3.在四边形中，，，则该四边形的面积为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为在四边形中，，， .所以四边形的对角线互相垂直，又∵，，该四边形的面积：.
【点评】考查向量数量积，模的运算，因为，所以，从而判断出四边形的形状.
【题干】4.在所在的平面上有一点满足＋＋＝，则与的面积之比是________.
【答案】
【解析】由得，即，得，即，所以点是边上的第二个三等分点，故
【点评】因为＋＋＝，所以，即，
所以点是边上的靠近点的一个三等分点，故.难度一般.
【题干】5.如图，在中，已，则________.
【答案】
【解析】∵，，∴，
∴
∴，.
【点评】，因此，，难度一般.
【题干】6.在中，若，，且，则的面积为________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以， ，所以的面积为.
【点评】考查平面向量数量积的运算，结合余弦定理求三角形面积，难度一般.
【题干】7.在正方形中，，分别为，的中点，求证.
【答案】见解析
【解析】，，
垂直.
【点评】将 转化为，转化为向量问题求解，题目较易.
【题干】8.如图，平面直角坐标系中，已知向量，，，且.
（1）求与间的关系；
（2）若，求与的值及四边形的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴由，
得，故
（2）由，. ∵，
∴，又因为，∴ 或
当时，，当时，，故与同向，四边形的面积
【点评】考查平面向量的线性运算、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量平行、垂直的判定与性质.综合性较强，难度一般.
【题干】9.如图，梯形中，，，，，，是的一个动点， ，.
（1）当 最小时，求的值
（2）当时，求的值
【答案】（1） （2）
【解析】（1）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示直角坐标系.则，，，，，，有，，
有，当时，最小，此时，
在中 ，在，，所以
（2）由（1）知，，，，，
∵，∴， ，∴，整理得： ，此时
【点评】（1）本小题适宜用向量法求解，先建立坐标系，设出，根据建立关于的函数，然后再根据求函数最值的方法确定求最小值时点的位置，从而求出的值.
（2）在（1）的基础上，可用表示出，然后根据，，从而建立关于的方程，求出的值.从而确定点的位置，求出的值.
【题干】10.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的一平分线上，且，则__________.
【答案】
【解析】∵ 点在的一平分线上，∴ 设又，∴，得，
∴.
【题干】11.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B．
【解析】（法一）常规方法：，∵三点共线，故可设，又三点共线，故向量与为共线向量．
，，，从而有，
故．
（法二）几何法：由平面几何知识容易求得，倍长，
则.
（法三）排除法：同上计算出后，排除，
又由三点共线，排除.
【题干】12.若是内一点，，则是的( ）
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
【答案】D．
【解析】以、为邻边作平行四边形，则，
又，∴，∴，∴为的中点，、、共线，又为的中点，∴是中线的三等分点，且，
∴是的重心.
【题干】13.若点是的外心，且，则内角的大小为________.
【答案】
【解析】取边中点，连结知，，
从而，又为的中点，，所以四边形为菱形，又，故，为开始作的草图，为分析后作出的较符合题意的图．
【题干】14.在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值为________.
【答案】
【解析】如图，设，则，所以，故当时，取最小值.
【题干】15.已知点是的重心，，用表示．
【答案】，，.
【解析】延长分别交对边于，则，，．
【题干】16.在中，已知向量与满足且，
则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】非零向量与满足，即角的平分线垂直于，
∴，又，，所以为等边三角形.
【题干】17.已知，，，点在内，且，设 ，则等于（ ）
A．　 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，，，∴为直角三角形，其中，∴，
∴，即.
【题干】18.是平面内一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( )
A. 外心　　　　B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】B
【解析】设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，又，∴的方向与方向相同，而，∴点在上移动，∴点的轨迹一定通过的内心.
【题干】19.已知：如图所示，是菱形，和是它的两条对角线，求证.
【答案】见解析.
【解析】证法一：∵，，
∴＝（＋），
∴.
证法二：以所在直线为轴，以为原点建立直角坐标系，设，，，则由得，
∵，，∴，
∴.
【题干】20.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
【答案】见解析.
【解析】设，，则，，
∵共线，共线，∴可设，，
则，，
∵，即：，
∴，∵不平行，
∴
【题干】21.已知点，，及，
求：（1）为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限？
（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由.【答案】（1）当在轴上时，；当在轴上时，；当在第二象限时，；（2）四边形不能成为平行四边形.
【解析】（1）∵，，
∴，当在轴上时，有，
即；当在轴上时，有，即；当在第二象限时，
有，即.
（2）∵，，假如四边形能为平行四边形，则有，即，∴有，该方程组无解，∴假设不成立，
∴四边形不能成为平行四边形.
【题干】22.已知、、是直线上的不同的三点，是外一点，向量满足，记.求函数的解析式.
【答案】.
【解析】，∴、、三点共线，
∴，∴.
【题干】23.已知，是两个向量集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】因为，由可得，
故．
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二、向量在几何中的应用
归纳总结：
1）平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、角度等都可以由向量的线性运算及数量积来解决.
2）向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
② 通过向量运算研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题.
③ 把运算结果“翻译”成几何关系.
【题干】1.在中，若，则是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
【题干】2.若是非零向量，且，，则函数是（ ）.
A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数
C. 二次函数且是偶函数 D. 二次函数但不是偶函数
【题干】3.在四边形中，，，则该四边形的面积为（ ）.
A. B.
C. D.
【题干】4.在所在的平面上有一点满足＋＋＝，则与的面积之比是________.
【题干】5.如图，在中，已，则________.
【题干】6.在中，若，，且，则的面积为________.
【题干】7.在正方形中，，分别为，的中点，求证.
【题干】8.如图，平面直角坐标系中，已知向量，，，且.
（1）求与间的关系；
（2）若，求与的值及四边形的面积.
【题干】9.如图，梯形中，，，，，，是的一个动点， ，.
（1）当 最小时，求的值
（2）当时，求的值
【题干】10.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的一平分线上，且，则__________.
【题干】11.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【题干】12.若是内一点，，则是的( ）
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
【题干】13.若点是的外心，且，则内角的大小为________.
【题干】14.在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值为________.
【题干】15.已知点是的重心，，用表示．
【题干】16.在中，已知向量与满足且，
则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
【题干】17.已知，，，点在内，且，设 ，则等于（ ）
A．　 B． C． D．
【题干】18.是平面内一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的( )
A. 外心　　　　B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【题干】19.已知：如图所示，是菱形，和是它的两条对角线，求证.
【题干】20.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
【题干】21.已知点，，及，
求：（1）为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限？
（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由.
【题干】22.已知、、是直线上的不同的三点，是外一点，向量满足，记.求函数的解析式.
【题干】23.已知，是两个向量集合，则（ ）
A． B． C． D．
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一、向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
1）证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：.
2）证明垂直问题：常用数量积的运算性质.
3）求夹角问题：利用夹角公式 （为与的夹角）．
4）常见问题：
① 线平行，点共线，相似问题，利用向量共线定理.
② 垂直问题：利用数量积运算性质.
③ 夹角问题：(为与的夹角)．
④ 求线段长度：利用向量模长计算公式.
二、平面向量在物理中的应用
1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
2）物理学中的功是一个标量，这是力与位移的数量积．即 (为与的夹角)．
3）总结：
① 物理中的“功”可以看做向量数量积的原型，向量的三角形法则和平行四边形法则可以与物理中力，位移合成与分解类比.
② 解题步骤
a. 把题中的相关量用向量表示.
b. 转化成向量问题模型，通过向量运算解决.
③ 结果还原成物理问题.
三、主要考向
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．两条主线
1）向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
2）要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
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